数学渗透于中国古代文化的方方面面

□文/孙明源

春秋时期战车复原图。中国古人不仅能利用数学观天测地，还能将数学应用于技术创造

从《易经》中二进制的滥觞、《老子》中三进制的创立，到《九章算术》中对于零、正负数的运算等，直至“宋元四杰”将变量引进数学，中国古代数学达到高峰期……在中国古代著作中，常常可以窥见现代数学思想的萌芽。各国学者近百年来的研究成果表明，中国传统数学是世界数学主流极其重要的一部分。而且，数学和国学也并非没有交集。

“国学不仅有人文国学，还有数学国学、科技国学。”中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员周向宇认为，如果说国学代表古代中国人的精神世界，那么这个世界不应只是文史哲的专场，数学也是国学的一部分。

古中国已有数学符号的萌芽

加减乘除等运算符号、从0 到9 的数字符号是现在每个孩童走近数学的路标，也是现代科学文明的“通行文字”。但是，这些符号的发明和传播有着一个漫长而曲折的历史过程，其背后的思想尤为重要。

周向宇指出，人类早期文明遇到的计数问题与运算问题，即如何用少量简洁的符号表示所有数以及如何方便灵活地用它们进行计算。

我国先以结绳、后以书契计数，在商代已有十进制的萌芽，甲骨文中所记载的最大数字已达3 万多，符号复杂。西周时期，十进制得到了进一步的发展。作为“君子六艺”之一，数学教育始于西周，至春秋战国时期，筹算已经盛行开来。中国古代创立了以筹计数的十进位值制思想，除了赋予每个符号一个绝对的值，还给不同的位置赋予不同的符号，从思想层面解决了计数问题。这种思想反映了使用符号的思想，一直影响至今。成书于约公元4 世纪的《孙子算经》清晰记载了十进位值制算筹计数法。

中国古代还引进了负数，使小数可以减大数，并引入正负数的运算规律，即正负术。《九章算术》对此有明确记载。方程术、求解线性方程组、算π、求根、多项式方程数值解、天元术等，都是中国古代在代数学方面的贡献。

实现抽象与具象的融合

《易经》中有一句话：“探赜索隐，钩深致远。”周向宇认为，虽然中国古代没有“科学”一词，但是《易经》中的这8 个字就可以将科学的真谛概括其中。

在《周髀算经》中，周公问商高：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是，天没有阶梯可以攀登，地没有尺子可以度量，请问有什么办法可以知道天之高、地之广？商高说：“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”也就是说，可以通过方和圆的关系来进行探究。随后，商高提出折矩思想、勾股定理的证明。周公听后，由衷赞叹：“大哉言数。”周向宇认为，这些思想体现了数学的辩证内涵，也表明了中国古代数学是抽象与具象的融合。

“中国古代数学早有变化和运动的思想，与《易经》研究变化的思想一脉相承，如商高的‘环而共盘’思想，商高、赵爽的‘形诡而量均，体殊而数齐’之‘形体不变量’思想；中国古代数学还有无穷和极限思想，如惠子的万世不竭说与墨子的非半弗斫说，就是关于不竭、无穷与竭、极限的思想，这些正是几何、微积分等现代数学领域的基本思想。”周向宇说。

古代数学不只是应用的学问

中国古代科学技术具有高度的实用性，数学也不例外。

比如，《史记·夏本纪》中有记载，禹“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山”，意思是禹随身带着测平直的准平与绳墨、画图用的圆规与矩尺，以及装载测定时令的仪器，用来开辟九州的土地，打通九州的道路，修筑九州的堤坝，测量九州的山岳。古人还会用圆方、圭表观测天象判定节气，并通过观察日出和日影推算节历、时间。

再比如，中国古代造车鼻祖奚仲用规矩造车；至西周时期，造车技术又有了长足的进步，规矩、准绳的使用到了非常娴熟的地步；鲁班会利用准绳设计建造建筑。这些例子说明，中国古人不仅能利用数学观天测地，还能将数学应用于技术创造。

周向宇认为，中国古代数学“言约旨远”——言辞简约，意思深远，既有理论数学，也有应用数学，内涵非常丰富。

从勾股定理来看，该定理的发现和证明经历了从先民们的长期实践到西周商高的理论证明。周向宇去年发表的论文，解决了商高证明陈述中“既”的含义问题及如何断句的问题，复原了商高的勾股定理证明，说明正是商高开启了命题证明。这些发展历程不仅表明中国古代数学兼具理论性和实用性，还说明其发展是系统的，而非零散的简单堆砌。周向宇指出，中国古代数学实际上已经有了数形结合、代数几何化、几何代数化的思想。

数学与人文思想相互嵌合

谈及人文经典中的数学思想，周向宇最爱举的例子之一是《愚公移山》。

“虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”周向宇认为，经过数学语言的释读，可以发现这句话里蕴含着自然数的概念及其无穷性、实数理论中的阿基米德原理。《易经》中的二进制、《老子》中的三进制，也反映了中国古代的数学思想。

在很多古代著作当中，数学表达并不隐晦。例如，《孟子·离娄章句上》曰：“不以规矩，不能成方圆……不以仁政，不能平治天下。”《礼记·经解》曰：“礼之于正国也，犹衡之于轻重也，绳墨之于曲直也，规矩之于方圆也。”

今天还在使用的“运筹帷幄”“一筹莫展”等成语，耳熟能详的“以法律为准绳”等，都与数学有关。

周向宇指出，事实上，中国文化从根基上对数学是推崇的，古代先贤的作品常用数学命题来阐释人文思想，而《管子》《孟子》《墨子》《荀子》《韩非子》《贞观政要》等古代名著也常常引入数学表达，体现了深刻的数学思想与人文思想的融合。

“中国文化推崇的严谨、严格、严密、准确、精确，不正是数学的特质吗？这也是数学渗透于中国古代文化各方各面的一种体现。中国古代数学思想博大精深，对华夏文明作出过重要贡献，对现代数学也有源头性、根本性的贡献。”周向宇评论说。

周向宇师承陆启铿，陆启铿是华罗庚归国后收的首批亲传弟子之一。华罗庚先生曾说：“数学是我国人民所擅长的学科。”这句话常被周向宇挂在嘴边。

“中华优秀传统文化既包含人文国学，也包含数学国学、科技国学，是时候重视了。”周向宇说。

《愚公移山》故事画