数形结合求解小学数学应用题典型应用的分析

☉卢 丽

在小学数学教育中，应用题是检验学生数学知识、数学思维与实践运用的一种题型，应用题的教与学能检查知识、训练能力，提升学生知识应用能力与数学思维。数形结合思想与应用题的结合，能够让学生有效提出应用题中的数学信息，在直观中发现问题，形成解题思维，丰富学生解题方法与技巧，提升应用题教学效果。

一、数形结合思想相关内容的认识

在数学中，数、形是两个最基本、最重要的学习和研究的对象，在一定条件下两者可以互相转化，可以提升学生数学认识、思维和解决问题的能力。小学数学教学中的研究对象，主要围绕数与形两个不同内容进行，通过数形之间相互转换，使学习者理解其中包含的数学知识，构建完整的知识网络。数形结合作为一种思想方法，实际应用的过程中，可以利用以下两种不同的方式解决问题，让学生学会解决数学问题。第一，以数解形，就是利用数量关系解决图形问题。第二，以形助数。这一方法主要是利用画图形的方式分析数量关系，通过基础知识的运用解决问题，得到问题答案。

在小学数学课堂教学活动中，数形结合思想的运用，可以帮助学生掌握数学概念与知识运用方法，在具体数学认识、实践的过程中，发现数字与图形之间的关系，能够联系生活认识解决一些数学问题，形成一定的数学学习和运用的思维方法，在具体问题的解决中获得知识的运用，思维的提升，推动学生进行有效的数学学习，培养和提升他们的自主学习能力，获得数学学习品质的增强。

二、小学数学应用题教学问题分析

首先，在小学数学应用题教学活动中，可以发现学生参与学习兴趣并不高，很少自主参与解决问题过程。兴趣是学生学习的动力，也是提升课堂教学效果、实现学生数学能力培养的重要因素。但是因为数学应用题综合性与逻辑性的特点，致使学生对数学应用题失去兴趣。在数学教学活动中，需要转变教师的思想观念，利用数学思想方法培养学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与，使其在解题的过程中获得更多成就感，进而喜欢上数学应用题学习。

其次，在数学应用题教学中，教师为了使学生掌握学习方法，夯实学生数学基础，会采用灌输式教学的方法，将应用题中包含的知识点、数学解题方法等基础性内容以直观的方式体现出来，要求学生认真学习，在教师的指导下掌握基础知识。数学应用题是每个学生必须要掌握的学习技巧与方法，是教育工作的重点。若仍采用灌输式教学方法进行课本知识教学，不仅无法保证学生学习效果，同时会影响课堂教学质量，使学生在潜移默化中失去独立解决问题的能力，不利于学生综合素质培养。在课堂教学中，教师应为学生提供自主解题的空间，引导学生利用学习的数学知识与方法解决问题，以此提升数学应用题教学效果。

最后，在应用题教学中，可以发现学生并没有真正地掌握数学解题方法，遇到数学应用题时会出现不知所措的情况。数学解题方法是解决应用题的前提，也是提升学生数学学习效果的关键。在课堂教学活动中，教师比较重视基础知识教学，将工作的重点全部放在课本内容教学中，并没有意识到学生解决问题能力培养的重要性，进而影响学生解题方法的学习［1］。这一问题需要得到教育工作者的重视，结合学生实际学习情况，科学设计教学活动，传授数学解题方法，为学生提供实践学习的机会，以此提升应用题教学效果。

三、小学数学应用题中数形结合应用

（一）将抽象知识直观化

对于小学生来讲，数学应用题是学习的难点，是必须掌握的基础知识与解决问题技巧。部分学生由于无法理解应用题中描述的内容，所以不知道运用哪些知识解决问题。数形结合思想的运用，可以将抽象的数学问题简单化，能够让学生在课本知识学习的过程中掌握基础知识，并培养灵活运用的能力，实现学生能力与素质培养的教学目标。课堂教学活动中，教师可以将数形结合思想渗透在教学活动中，引导学生将这一思想方法运用在实践中，以此提高学生应用题解决问题能力。

（二）培养学生的数学思维

数形结合思想主要是利用数、图形相互转换的方式完成基础知识教学［2］。应用题教学中，教师可以引导学生开发自己的思维，利用数、图形转换的方式解决问题，让学生在实践的过程中形成数学思维，以此提升课堂教学质量，实现学生学习能力培养的教学目标。在小学数学应用题中，教师可以根据学生学习基础，选择典型数学问题，传授数形结合思想方法，鼓励学生运用不同的方法与技巧解决问题，以此提升课堂教学质量，促使学生综合素质发展。

四、小学数学典型应用题中数形结合思想的应用

（一）植树问题中应用，激发学生学习兴趣

在小学数学中，植树问题是比较典型的数学应用题，数学思维与这一类型应用题的结合，可以帮助学生掌握学习方法与技巧，使学生的数学思维与逻辑推理能力得到发展。课堂教学活动中，教师可以将数形结合思想应用方法传授给学生，引导学生利用这一方法解决问题，以此提升学生对这一类型知识点的理解，提升课本知识教学效果。植树问题是数学广角中的内容，对学生数学思维发展具有推动作用。以往课堂教学活动中，教师会要求学生利用课堂上学习的相关公式解决植树问题。传统教学方法的运用虽然可以帮助学生更好地学习数学知识，但是无法使学生感受到数学知识生成的过程，不能使学生数学思维与逻辑推理能力得到发展，不利于学生数学思维培养。为了提升学生对这一类型问题的学习兴趣，提升课堂教学质量，教师可以将数形结合思想运用在实际中，丰富学生的解题经验，使其获得更多成就感与自信心，以此提升应用题教学效果。

例如，一条马路一侧，原有树木97 棵，每相邻的两棵相距40 米。现在计划全部移植，每相邻两棵相距60 米。需要留多少棵树？这条路全长多少米?

解决这一问题时，教师可以让学生采用画图的方式，将马路一侧中的97 棵树木画出来，并标注树木之间的距离（40 米），然后将移植后树木之间的距离（60 米）画出来，利用图形确定问题中的数量关系，得到以下结论：40×（97－1）＝3840 米，3840÷60 ＋1 ＝65 棵。课堂上，教师可以将数形结合思想方法呈现出来，让学生在教师的引导下理解数、形之间的关系，利用所学知识解决问题，以此提升课本知识教学效果，实现学生数学能力培养的目标。

（二）鸡兔同笼问题中应用，培养学生数学思维

对于小学生来讲，鸡兔同笼问题十分复杂，解题难度较大。部分学生面对这一问题时，会因为题干中的信息扰乱自己的解题思路，出现错误的解题思想。部分学生则不会利用基础知识解决这一问题。为了提升学生鸡兔同笼应用题解决能力，教师可以将数形结合思想渗透在该类型问题中，引导学生运用图形、数量结合的方式解决问题，使学生在解题的过程中，提升数学思维与逻辑推理能力，以此保证课堂教学效果，为学生后续更好地学习数学知识做好铺垫。

例如，小梅数她家的鸡与兔，数头有8 个，数脚有22 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只?

在解题的过程中，采用数形结合的思想方法将鸡兔的头、脚的数量画出来，用圆圈代表头，用八字代表脚，如图1 所示。然后让学生根据题干，画出8 个头，并在8 个头下画出2 只脚，图2。假设鸡与兔的共同点就是拥有一个头两只脚，所以可以在画图中体现出来。根据画图信息与题干内容，可以得到8×2 ＝16（只）剩下的脚为22－16 ＝6（只）。结合这一信息，并将剩余的6 只脚画在图画中，最终可以得到有三只兔、五只鸡的结论。通过数形结合的方式，将复杂的问题简单化，使学生在图形的帮助下，可以快速发现问题的答案，无形中提升解题效率。

图2

（三）平均数问题中应用，提升学生解题效果

数形结合思想与平均数类型应用题的结合，不仅可以夯实学生学习基础，同时可以使学生掌握多种不同的解题方法，无形中提升课堂教学质量，促使学生数学运算能力发展。课堂教学活动中，教师可以为学生设计平均数问题，引导学生利用数形结合思想解决问题，鼓励学生自主探究学习，让学生在探索学习中形成正确的解题思路与习惯，为学生更好地学习数学知识打下坚实基础［3］。

例如，一辆小汽车以每小时100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60 千米速度从乙地返回甲地，问这辆车的平均速度是多少？

在学生解题的过程中，教师可以让学生画出甲地与乙地的路程图线，让学生结合以往学习内容思考，如何确定在同一路线中小汽车的行驶平均速度，让学生在实践的过程中掌握基础知识。通过学生的画图与讨论分析，得到：设甲乙两地之间的距离为单位“1”，从甲地到乙地用的时间是1÷100，从乙地到甲地用的时间是1÷60，往返的平均速度是1×2÷（1÷100 ＋1÷60）＝75（千米/小时）。

（四）路程速度应用题中应用，提升学生学习效果

在小学数学应用题教学中，教师可以利用路程问题渗透数形结合思想，让学生在解题的过程中理解数形结合思想，利用实践提升自身解决问题能力，以此提升应用题教学效果。路程速度应用题主要是对学生运算能力与解决问题能力的考查，要求学生能够运用数学基础知识，确定数量关系，通过正确的运算方式得到问题的答案。数形结合思想方法的运用，可以帮助学生更好地理解数学问题，同时能够强化基础知识学习效果，有利于学生数学应用能力培养。

例如，从甲地到乙地936 千米，大车行3 小时走216 千米；从甲地到乙地1066 千米，小车行4 小时走312 千米，问哪车先到达？

这一问题中包含两个数量关系，学生在解题过程中，会因为无法理清学习思路而出现错误结果。解决这一问题时，教师可以引导学生根据问题描述内容，画出两个不同的图形，如图3、图4。然后根据题干，确定大车与小车平均行驶速度，即216÷3＝72（千米），312÷4 ＝78（千米），然后利用已知的甲乙两地之间的距离，确定数量关系：936÷72 ≈13.4（小时）1066÷78 ≈13.7（小时），13.4 ＜13.7。最终得到大车先到的结论。

图3 1066 千米

图4 936 千米

（五）几何问题中应用，培养学生空间思维

在小学数学空间几何问题中，数形结合思想的运用，不仅可以将复杂的问题简单化，同时可以培养学生空间思维，使学生学会如何利用图形解决空间问题，提高教学质量。利用数形结合思想解决空间几何问题时，要为学生提供足够的自主学习空间，鼓励学生独立思考解决问题，以此提升课堂教学有效性［4］。

例如，80 根方木堆成一个长2米，宽2 米，高1.5 米的长方体。平均每根方木的体积是多少立方米？

在解题的过程，学生画出一个长方体，并标注出长宽高相关数据。当学生绘画结束后，则根据课本中学习的长方体体积公式，根据图画内容，计算出长方体的体积，如下2×2×1.5＝6（立方米），得到长方体的体积后，根据题干信息，计算方木的体积：6÷80 ＝0.075 立方米。通过画图的方式可以理清学生的解题思路，使学生明确解题的重点、问题中的数量关系，并在基础知识运用的过程中解决问题，得到正确的答案。

综上所述，在小学数学应用题中，数形结合思想的运用，可提升学生解题效率，使学生掌握不同的解题方法与技巧，提升应用题教学质量。实际教学活动中，可以将这一思想方法运用在几何问题、鸡兔同笼、路程与速度等典型应用题中，通过这一思想方法的运用，提升学生解决问题能力，强化课本知识教学，为学生全面发展打下坚实的基础。