转化——优化解题的重要方法

陈雯

转化是数学中至关重要的思想方法，也是解题的一种常用策略.转化得当，可以使问题化繁难为简单，化陌生为熟悉，化抽象为直观，让我们从不同的角度、不同的侧面探寻问题的最佳解法.本文就初中数学解题中常用的几种转化思路进行分析，以期能够助力同学们提升解题效率.

一、正面向反面转化

我们在解题时一般从正面入手，结合已知条件顺向思考，但有些数学问题正面思考过于复杂，不易求解或证明.此时，同学们若能运用逆向思维，打破常规思维习惯，从问题的反面或反例出发，往往会收到意想不到的效果.

例1  若m≠0，试判断关于mx + n = 0的解是唯一的.

分析：本题已知条件极为简单，如果直接由已知条件正面分析，很难找到解题思路.我们抓住结论中的“唯一”，考虑它的反面情况，利用反证法间接论证，则可以顺利解题.

证明：因为m≠0，

所以x =-是mx.+ n = 0 一个解，

假设mx + n = 0的解不是唯一的，

设x1，x2 （x1≠x2）為^mX+ n=0 （m≠0）的解，则有mx1+n=0①，

m x₂+n=O ②.

由①-②可得m（x1-x2）=0.

因为x1≠x2，所以m=0，

这与已知条件中的m≠0相矛盾，所以假设不成立，

故而关于mx + n = O（m≠0）的解是唯一的.

评注：反证法是“正难则反”思想的重要

体现，它先假设结论的反面成立，再从假设出发，经过严密推理，导出与已知事实相矛盾的结果，进而推翻假设，肯定原命题的结论成立.

二、代数向几何转化

数与形是相辅相成的，在求解某些代数问题时，若直接从数的角度予以解答较为繁琐，则可以抓住题目的结构特点，挖掘其隐藏的几何意义，巧妙构造几何图形，以直观的 “形”来辅助抽象的“数”，将代数问题向几何问题转化，从而使解题思路豁然开朗.

例2  若正实数满足x + y=l，求证： .

分析：本题直接证明结论较为棘手，若能根据、联想到勾股定理，将看作是以1和x为两直角边的直角三角形的斜边长，看作是以1和y为两直角边的直角.三角形的斜边长，作出如图所示的正方形 ABCD，设AB = BC=CD=DA = 1，BE = x，CE = y，AE = ，DE = ，这样只要证明AE + DE>AC + BD-BC即可.

证明：如图所示，设正方形边长AB=BC = CD = DA = 1 ，x + y=BE + CE= 1，

则有

在△ACE和 △BDE 中，AC = BD= ，且AE + EC>AG，BE + ED>BD，所以 AE + EC+BE + ED>AC + BD，即 AE+DE + （BE + CE）>AC + BD，所以，

所以.

评注：数与形在一定条件下是可以相互

转化的.对于某些数学问题，同学们若能把“数” 与“形”紧密结合起来，使代数问题几何化、几何问题代数化，则可以收到意想不到的效果.

三、一般向特殊转化

在解答某些数学问题时，若用一般性的通法求解难度较大或运算繁杂时，同学们可以从题目已知条件出发，将问题由一般向特殊转化，考虑它的特殊性，如特殊值、特殊点、特殊位置等，从特殊情形入手可以大大降低解题难度，简化运算过程.

例3已知（k2-k+ 1）5是一个10次多项式，将其设为.

分析：本题若直接将（k2-k+ 1）5展开，显然，运算量较大，不易求解.若能转换思路，结合题目结构特点，取特殊值k=1代入多项式中，则可以快速得解.

解：令k=1 ，

则有t1+t1k+t2k2 +...+t10k10=t0+t1+t2+...+t10=（12-1+1）5=1.

例 4 若 M=1999x+2000，N=1999x+2001，P=1999x+2002，则M²+ N²+ P2 -MN-NP-PM 的值为_____.

分析：仔细观察题目，可以看出M，N，P 与任意实数x相关联，不妨取特殊值，令x = -1，将一般问题特殊化，则可以轻松求值.

解：令x=-1，则有M=1，N = 2，P=3，

此时 M²+ N²+ P²-MN-NP-PM=l+4+ 9-2-6-3=3.

评注：特殊值法是选择题或填空题常用的解题方法之一.它可以简化运算，提高解题速度和效率，既省时又省力.

总之，解数学题离不开转化，当用常规方法处理数学问题存在难度时，同学们要注意改变解题思路，适当转化，将原问题变为自己熟悉、易于解决的问题，从而达到快速、准确解题的目的.