基于不完全转运的民机可修备件库存优化研究

付维方，樊香丽，刘英杰

(1.中国民航大学 航空工程学院，天津 300300；2.北京飞机维修工程有限公司，北京 100621)

民机维修主要采取换件为主的维修方式，这势必对航空备件的供应保障提出很高的要求，有效的备件供应保障是保证航空装备处于良好状态的重要条件。对于民机而言，飞机上的故障件若不能及时更换，会导致飞机延误甚至停飞，进而影响航班正常运行和航空公司的声誉，并带来不可估量的损失。为达到服务水平，航材保障部门通常持有大量备件库存，而可修备件通常十分昂贵，因此优化可修备件的供应成本是降低民航运营成本的潜在控制点。航空维修企业通常设有多个基地，单级多基地横向转运的保障模式在现实中十分常见，针对这种保障模式，在保证飞行安全和满足目标保障率的前提下，探索更优的备件库存策略，提高飞机维修的供应速度，实现成本的系统化节约，对民航企业运营效益的提高具有重要意义。

早期关于允许转运的多点库存系统相关研究主要如下。Lee[1]在假设同组仓库相同且组内允许相互转运的前提下，针对单种备件两级系统，提出转运模型的3 个经典参数。Axsäter[2]在此基础上进行扩展，考虑每个组中本地仓库不必相同的情况下进行建模和求解。Sherbrooke[3]提出延迟横向转运策略，并对两级库存系统可修项目进行模拟研究。Wong等[4]建立在各仓库目标等待时间限制下的可修备件两地库存系统连续盘点模型。后续的研究大多是对已有模型的扩展，并分为单级、两级和多级供应模式开发相应的模型。文献[5-14]针对完全共享策略提出模型，构建的模型大部分都依据可修复备件多级 管 理(multi echelon technology for recoverable item control, METRIC)理论和维修排队原理，并假设同级或同组仓库库存完全共享。文献[15-19]等考虑不同条件下的单向转运策略，并开发相应的模型。文献[20]允许单级系统所有基地间互相转运但不共享其全部可用库存，并假设维修来源无限。对于航空维修企业而言，完全共享策略并非是最好的选择，单向或跨区域转运政策的提出很大程度上受各地点缺货成本差异或库存系统网络节点分布的影响。这些研究提出的模型和方法并不一定适用于所有的备件保障系统。

现实中航空维修企业各基地对自身保障水平要求较高，基于自身利益，通常不会因满足其他基地的需求而将自身全部备件库存用于横向转运，导致自身需求短缺。因此结合此背景，并针对现有文献的不足，对由多基地组成的单级转运系统进行研究。假设转运在所有基地间进行，各基地根据自身库存保留水平决定是否转运，并根据转运费用最小原则选择合适的转运源。结合各基地机队规模和部件装机量，假设维修来源有限，在此基础上构建目标服务水平限制下多基地不完全转运库存优化模型，并设计粒子群求解算法，以解决非成本约束下民机运行保障问题。在满足民航企业备件供应保障目标的基础上，确定各基地可修备件的最佳配置量，使得系统总成本最低，为航材管理人员提供有效的决策思路和方法。

1 问题描述及符号说明

1.1 问题描述

针对航空维修企业可修备件的库存问题，考虑由N个基地组成的单级多基地转运系统，采用不完全转运策略对其备件保障过程进行研究，以确定单一类型可修备件在各基地的备件库存水平。不完全转运策略是指当一个基地面临缺货，而另一个基地备件库存量大于其保留水平时，才对缺货基地提供横向转运，而不是提供全部可用库存。航空维修企业在各基地储存一定数量的可修备件，当基地i出现故障部件时，若基地i有可用库存，则使用其库存备件进行更换；若基地i没有可用备件，而其他基地有且备件数量大于对应库存保留水平，则从这些基地中首先选择到基地i转运成本最低的基地，并将其可用件转运至基地i；若基地i没有可用备件且其他基地的备件库存都不超过自身保留水平，则基地i缺货，直到该故障件修复完成并再次成为可用件。基地有一定的维修能力，可以修复一些小问题。当基地不可修复时，应将其发送到维修中心或特殊维修设施进行维修，维修完成后将修复件送回提供备件的基地。

模型基于以下关键假设：

1) 单位时间内备件需求服从Poisson 过程；

2) 维修时间服从指数分布，且不考虑报废；

3) 系统维修能力充足，通过基地或外包进行维修；

4) 只有装机运行的备件才会发生故障，每个备件故障都将导致系统不能正常工作；

5) 系统中任意两个基地之间横向转运时间很短，可忽略不计，但会产生额外的转运成本。

1.2 符号说明

I：基地集合，I= {1, 2, ···,N}；

Qi：基地i的飞机数量；

M：单机部件装机量；

λi：基地i的部件故障率；

λi*：基地i自身的备件需求率，λi*= λiQiM；

λ0：所有基地总需求率，其中，

ηij：基地i向基地j提供横向转运的概率，i ≠ j；

λij：基地i因向基地j提供横向转运而增加的需求率，i ≠ j；

1/µ：平均维修时间；

Si：基地i的备件初始库存水平；

S0：所有基地的备件总库存

ξ：系统目标服务水平；

πi(x) ：系统处于稳态时，基地i备件库存量为x的概率；

Hi：基地i的备件库存保留水平；

gi：当基地i备件库存量大于Hi时的备件有效需求率；

hi(Oix)：当基地i备件库存量不超过0 时的备件有效需求率；

βi：基地i需求直接被满足的概率，即基地i备件库存量大于0 的概率，令 βi=P(i*)，P(-i*) =1-P(i*)；

αi：基地i的需求不能由自身满足时，由其他基地转运满足的概率；

θi：基地i需求发生短缺的概率，αi+βi+ θi= 1；

γi：基地i能提供横向转运的概率，即基地i备件库存量大于Hi的概率，令

εi：基地i的目标备件服务水平；

CH：单位库存存储成本；

Cij：从基地i到基地j的单件转运成本；

CTi：转运到基地i的单位期望转运成本；

P：某备件的单位购买成本；

T：备件寿命周期。

2 备件多基地库存转运模型

2.1 系统库存分析

聚合所有基地的需求并将其视作在单个位置发生，以求得满足整体目标服务水平所需的系统库存。依据假设，所有需求的总和也是泊松分布。λ0为聚合总需求，故维修提前期平均需求可以表示为λ0/µ，则系统所需备件总库存的近似下界是满足式(1)的最小整数SL。

2.2 基地库存分析

在确定系统备件总库存的下界之后，考虑如何将其分配到各个基地，各基地备件配置量会影响系统运营时的转运成本。设其他基地到基地j的单位转运成本大小排序为

根据转运规则，当基地1 至基地 (i-1) 都不满足转运条件时，基地i才能对基地j提供转运服务。因此当基地j的需求能够被转运满足时，由基地i提供转运的概率[20]为

其中，基地i、l、e ≠ j。

在基地i能提供转运的情况下，因基地i对j供应而增加的需求率为

当基地i备件库存量大于Hi时，其有效需求率为自身需求率加上由于其他基地的横向转运请求而增加的需求率，则此时备件的有效需求率为

当基地i备件库存量大于0 但不超过Hi时，基地i仅能满足自身的需求，故其有效需求率为λi*。

当基地i备件库存量不超过0 时，其有效需求率即为缺货产生的速率，等于自身正常需求率减去由其他基地转运满足的需求率。由于各基地飞机数量有限，其自身正常需求率受本地运行飞机数量的影响，因为若此时发生故障而又没有其他基地提供转运时，则该基地缺货并导致一架飞机停飞，进而对其自身正常需求率产生影响。因此此时该基地备件有效需求率为

或

将基地净库存视为库存状态，通过分析基地需求过程，得到基地i的库存状态转移过程如图1 所示。

应用生灭过程理论推导基地净库存满足的稳态概率公式，首先根据图1 得到状态转移方程。

然后求解以上方程可得各状态的稳态概率πi(k) 为

其中，

则基地i需求能够直接被满足，即备件库存量大于0 的概率为

基地i备件需求发生短缺的概率为

则基地i需求能横向转运满足的概率为

基地i能提供横向转运，即其备件库存量大于Hi的概率[20]为

2.3 库存优化模型

基于此，建立如下库存优化模型，目标是求得各基地备件最优库存，使系统在满足规定保障水平的条件下，单位时间内系统平均总成本最小：

约束条件为

3 优化算法

3.1 参数求解

本文构建一个迭代算法，依据模型参数之间的联系，将上次迭代结果作为下次迭代的输入，不断逼近最优解，当差值满足要求的误差容限时，迭代结束。

3.2 粒子群算法

由于优化模型参数较多，求解复杂，粒子群算法是解决这类复杂优化问题的有效工具。与其他智能优化算法相比，粒子群算法具有计算快速和算法易实现等特点，所以本文采用传统粒子群算法对建立的库存模型进行求解，具体步骤如下。

步骤1 算法准备及参数设置。初始化粒子群规模n= 20，设置惯性因子ω = 0.95，学习因子c1=c2= 2，最大速度Vmax= 2.4，最佳适应度变化阈值B= 0.001，最大迭代次数Kmax= 500。

步骤3 根据式 (14) 设计适应度函数，计算每个粒子的适应度值。

步骤4 判断粒子的历史最优位置是否需要更新。对于每个粒子，若当前位置和该粒子的历史最优位置同时满足或同时不满足约束，则用它的适应度值与其历史最佳适应度值进行比较，如果前者小于后者，则更新 最 佳适应度值 及其对应的最优位置；若两者之一不满足约束，则选择满足约束的位置作为当前迭代中该粒子的最优位置，其对应的适应度值作为当前最佳适应度值。

步骤5 判断全局最优位置是否需要更新。比较当前全局最优与历史全局最优，判断的过程与步骤4 相同，如若满足更新的要求，则更新并记录当前迭代全局最佳适应度值及其对应的最优位置。

步骤6 按照如下方程更新粒子j的飞行速度和位置。

其中，r1、r2为[0,1]之间的随机数；Pkj表 示 迭代至第k次时粒子j的最佳位置，也称个体极值点；表示迭代至第k次时整个粒子群搜索到的最优位置，即决策变量最优，也称全局极值点。

步骤7 判断算法是否终止。若最佳适应度变化量满足阈值条件或算法达到最大迭代次数，则停止迭代，并输出最佳位置和最优的适应度值，否则返回步骤3 继续进行迭代。

4 算例分析

运用计算机仿真的方法对所构建的模型和算法进行验证，搭建AnyLogic 多智能体仿真模型，输入各个仿真参数 (见表1)，按照前述需求到达、送修过程和转运规则设计各智能体之间仿真交互的程序，以年为单位进行仿真，将运行多次的仿真结果取其平均值并记录到表2 中。由于实际中航空维修企业各基地对备件保障水平要求比较高，因此本文主要对各基地保障率1- θi≥80% 的情况进行测试。某航空维修企业有3 个不同的基地，仿真实验基本参数值的设置如表1 所示，其他参数的设置及其对应的最优备件配置方案如表2 所示。表中参数的设定是根据已有文献和航空维修企业的部分真实数据综合确定的代表性数据。

表1 仿真实验基本参数的取值Table 1 Basic parameters settings of the simulation experiment

表2 不同情况下仿真与近似算法的计算结果比较Table 2 Comparisons of simulation and approximate algorithm results under different conditions

将表2 中序号为1、4、7、10 对应的组合参数作为优化算法和仿真模型的基本输入参数，即可分别获得该组合参数对应算法优化及仿真的结果。将其作为基准进行敏感性分析，改变影响最优备件配置方案的关键参数，如对于序号2，只改变各基地的故障率，各基地机队规模及其目标保障率等保持默认，以探讨各基地部件故障率变化对备件配置策略以及系统总成本等的影响。根据表2 中算法及仿真结果可知，当部件故障率增加或机队规模扩大时，会导致基地最佳备件配置量增加；当各基地目标保障率或系统目标保障率要求提高时，也会导致最佳备件配置量增加以及系统总成本增加。这符合实际工作中航空维修企业可修备件配置的一般规律。

对比分析表2 的计算结果，可以发现本文建立的优化模型及算法求得的各基地的近似保障率 αi+ βi，与用AnyLogic 软件仿真一年得到的实际保障率相比较，最大误差为0.06，优化得到的最佳备件配置方案基本都能达到或十分接近于各基地目标保障率和系统目标保障率。优化算法所获得的结果都是在6 ～ 23 次迭代内求得的，所以本文的算法搜索效率比较高，收敛速度比较快。同时本文构建的仿真模型还获得了不同情况下的系统年运营总成本，与算法求得的年运营总成本进行比较，两者的最大相对误差为0.31%。这说明本文所建立的模型及算法求得的结果与仿真结果取得良好的一致性。

5 结论

在实际工作中各基地面临转运请求时不一定都会通力合作，而是以自身利益为出发点，允许基地间相互转运但不完全共享其可用备件，已有研究提出的完全共享转运模型和单向转运模型等不完全适用于解决这类问题。因此本文建立基地有限维修来源条件下的不完全转运库存优化模型，为拥有一定机队规模，允许相互转运，但不完全共享其可修备件库存的单级多基地民机备件保障系统提供决策思路和依据。

1) 模型优化得到的备件配置方案可以在满足目标保障率的条件下使系统总成本达到最小，符合民航企业的保障实际，可为航空备件保障人员在不完全共享策略下制定合理的可修备件库存配置方案提供一定的理论和决策依据。

2) 应进一步综合考虑多种备件项目，以系统确定各可修件的备件数量达到企业的综合保障要求。

3) 如何确定库存保留水平，而不是将其视为常量的问题也值得后续进行研究。