热力联合作用下热塑性复合材料悬臂梁的弹塑性分析

唐雨 雷勇军 吴栋 于宝石 张大鹏

基金项目：国防科技大学自主创新科学基金项目“可重复使用碳纤维增强热塑性复合材料力学特性与失效机理研究”（22-ZZCX-077）。

通讯作者：张大鹏，男，副教授。研究方向为计算固体力学理论与应用方向。E-mail： zhangdapeng@nudt.edu.cn

摘 要 纤维增强热塑性复合材料由于基体韧性的增大导致其弹塑性特性突出，而考虑温度影响后其力学行为则更为复杂。考虑非线性热载荷与弯矩联合作用的影响，基于Timoshenko梁和塑性线性强化理论，建立了针对纤维增强热塑性复合材料悬臂直梁弹塑性问题的理论分析模型，得到了悬臂直梁应力和位移的解析解，并将解析解分别与文献和有限元的计算结果进行对比，验证了所建理论分析模型的正确性。在此基础上，分析了不同弯矩、纤维铺层角和跨高比对悬臂直梁弹塑性行为的影响。相关结论可为纤维增强热塑性复合材料的设计和工程应用提供参考。

关键词 热塑性复合材料；热力联合；弹塑性；悬臂直梁；本构模型

Elastic-plastic Analysis of Thermoplastic Composite Cantilever Beams Under Combined Thermodynamic Action

TANG Yu^1，2， LEI Yongjun^1，2，WU Dong^1，2， YU Baoshi^1，2，ZHANG Dapeng^1，2

（1.College of Aerospace Science and Engineering， National University of Defence Technology，Changsha 410073;2.Hunan Key Laboratory of Intelligent Planning and Simulation for Aerospace Missions，Changsha 410073）

ABSTRACT The elastoplastic properties of fiber-reinforced thermoplastic composites are prominent due to the increase of matrix toughness， but the mechanical behaviors of fiber-reinforced thermoplastic composites are more complicated considering the influence of temperature. Considering the combined effects of nonlinear thermal loads and bending moments， a theoretical analysis model for the elastoplastic problem of a cantilever straight beam reinforced with fiber reinforced thermoplastic composites is established based on Timoshenko beam and the theory of plastic linear strengthening. The analytical solutions of the stress and displacement of the cantilever straight beam are obtained， and the analytical solutions are compared with the calculated results in literature and finite element respectively. The correctness of the theoretical analysis model is verified. On this basis， the effects of different bending moments， fiber ply Angle and span height ratio on the elastic-plastic behavior of the cantilever beam are analyzed. These conclusions can provide reference for the design and engineering application of fiber reinforced thermoplastic composites.

KEYWORDS thermoplastic composites; thermal union; elasticity; cantilever straight beam; principal structure model

1 引言

在航空航天领域，飞行器既要满足结构功能特性，同时还要充分的考虑减重优化，从而具备更好的结构设计灵活性，所以，其对材料的综合性能需求日益增加^［1］。复合材料由于引入增强纤维并通过基体的协同赋予了其相较于传统金属材料更加优越的比刚度、比强度，且有效降低了飞行器结构的重量，提高了有效载荷。与热固性复合材料相比，以聚醚醚酮（PEEK）、聚苯硫醚（PPS）等基体为代表的高性能纤维增强热塑性复合材料具有韧性高、损伤容限大、抗冲击性能、耐热性好等优点，同时兼具可在线修复和可重复使用的特性，被认为是未来航空航天结构迈向轻量化、功能化与绿色环保化的有效途径之一。目前，纤维增强热塑性复合材料已初步应用于航空领域中的电子气动外壳、电子复杂构件等结构件以及航天领域中的整流罩、适配器、网状发射器等结構件，并在升级换代过程中不断提高应用比例，成为制造现有和未来飞行器不可或缺的关键材料^［2-3］。

实验表明^［4-5］，温度对纤维增强热塑性复合材料的力学行为有显著的影响，开展温度对其力学性能的影响研究是有必要的。Wang等^［6］从不同层面讨论了纤维增强热塑性复合材料的残余热应力的形成原因，并进一步研究了基于非破坏性和破坏性方法的残余热应力测试方法。Eacute等^［7］建立了一个热力学模型来预测复合材料薄板在冷却成型过程中的应变和应力状态，并解释了层压板的传热、结晶动力学和力学行为。Tullu等^［8］开发了基于径向基函数（RBF）的数学模型，模拟了热塑性复合材料成型过程中的层间剪切应力。

纤维增强热塑性复合材料是典型的正交各向异性材料，且由于基体韧性增加而具有明显的弹塑性力学特性^［9］，使用過程中材料一旦发生塑性变形，可能会导致结构过早失效。在对纤维增强热塑性复合材料的弹塑性分析中，国内外学者们目前主要采用的方法包括有限元法、解析法和半解析法。在均匀热载荷下，Sen等^［10］采用有限元法对粘合的单层搭接纤维增强热塑性复合材料进行了弹塑性分析，并指出材料的正交各向异性特性导致其不同方向热应力差异较大。Ucsular等^［11］采用有限元法分析了热塑性复合材料带孔圆盘冷却时的塑性力学性能，结果表明，孔的尺寸对圆盘冷却时的塑性变形区域有重要影响。Sen等采用有限元法分别对温度沿着热塑性复合圆盘的径向截面从内表面到外表面呈线性变化^［12］和抛物线变化^［13］两种情况下的弹塑性力学行为进行了分析。Ondurucu等采用半解析法对温度沿着热塑性复合材料层压板的厚度呈抛物线变化^［14］的弹塑性力学行为进行了分析。Arslan等^［15］基于理想弹塑性理论，对自由端受集中力加载的悬臂梁进行分析，得到了弹性段和塑性段材料的应力解，但该研究中采用的理想弹塑性模型不能较好地描述材料的实际弹塑性力学行为。Wang等^［16］采用线性强化弹塑性理论对偏轴张力下的悬臂梁进行了弹塑性分析。对于纤维增强热塑性复合材料短粗梁，雷勇军等^［17］通过Timoshenko梁理论获得了自由端受弯矩悬臂梁的应力位移解，结果表明，使用Timoshenko梁理论可在一定程度上提高求解精度。

考虑温度影响下对热塑性复合材料弹塑性力学性能的研究中，较多使用有限元法和半解析法。然而，基于连续介质力学理论推导的弹塑性分析的解析表达式，可以从机理层面对弹塑性行为做出解释。

因此，本文基于Timoshenko梁和塑性线性强化理论，建立非线性热载荷和弯矩作用下的悬臂直梁弹塑性理论分析模型，采用解析解方法得到悬臂直梁的应力与位移解，通过与文献和有限元的计算结果进行对比来验证理论分析模型的正确性。最后分析不同弯矩、纤维铺层角和跨高比对热塑性复合材料弹塑性响应的影响规律。

2 热力联合作用下弹塑性分析模型

建立纤维增强热塑性复合材料悬臂梁几何模型，如图1所示，悬臂梁长为l，高为2c，厚为t，材料坐标系为1o2，o1为纤维铺层方向，全局坐标为xoy，全局坐标与材料坐标夹角为θ。梁左端固支，右端受弯矩作用，高度方向受一个非线性变化的热载荷ΔT。

2.1 弹性段建模

假设纤维增强热塑性复合材料是正交各向异性的，且在xoy平面内满足平面问题假设，考虑温度的影响，则其本构方程如公式（1）所示。

其中，b^-_ij、b_ij（i或j=1、2、6）分别为全局坐标系xoy下和材料坐标系1o2下柔度矩阵中各项元素，ΔT表示温度变化，α_xx、α_yy表示在x轴、y轴方向的热膨胀系数，β为xoy坐标系与1o2坐标系的转换矩阵。

热膨胀系数在全局坐标系xoy方向上的分量如公式（2）所示。

其中，α₁、α₂表示在材料坐标系1o2方向的热膨胀系数。

对于平面应力问题的几何方程，如公式（3）所示。

设应力函数为φx，y，σ_xx、σ_yy和σ_xy可表达如公式（4）所示。

考虑热载荷后，悬臂梁自由端仅受弯矩，即∫_－c^+cσ_xxytdy=M，可知σ_xx仅与y相关，可假设应力函数的表达式如公式（5）所示。

φx，y=yAx+Bx+Cy    （5）

其中，Ax和Bx为仅含x的待求函数、Cy为仅含y的待求函数。将公式（5）代入公式（4），得到的结果如公式（6）所示。

结合公式（1）、公式（3）和公式（6），可得控制方程，如公式（7）所示。

热膨胀在没有约束下不产生力，对自由端受弯矩的悬臂梁模型，边界条件如公式（8）所示。

悬臂梁在高度方向上受非线性热载荷，设热载荷为ΔT=gy²，其中g为热载荷梯度。联立公式（6）、公式（7）和公式（8）解得弹性阶段应力解，如公式（9）所示。

根据Timoshenko梁理论，得出如公式（10）所示。

其中?x为转角。

联立公式（1）、公式（3）和公式（10）可得，如公式（11）所示。

结合边界条件?l，y=0，对公式（11）积分可得如公式（12）所示。

其中，y≠0，考虑位移连续，计算轴向位移时，忽略y=0的奇点。将公式（12）代入公式（10），根据边界条件ul，y=0，可得悬臂梁弹性阶段轴向位移u表达式如公式（13）所示。

由公式（1）、公式（3）和公式（13），再根据边界条件vl，0=0，可得悬臂梁弹性阶段横向位移v表达式如公式（14）所示。

2.2 弹塑性段理论建模

采用Tsai-Hill屈服准则可以有效描述热塑性复合材料屈服状态^［18］。假设热塑性复合材料为线性应变强化、拉压同性材料。对于拉压同性材料，Tsai-Hill屈服准则可如公式（15）所示。

其中，X、σ₁₁為热塑性复合材料沿纤维方向的屈服强度与应力，Y、σ₂₂为垂直纤维方向的屈服强度与应力，S₁₂、σ₁₂为面内剪切强度与应力。

根据公式（15）定义等效应力，如公式（16）所示。

在材料主轴方向的应力分量，如公式（17）所示。

将公式（17）代入公式（16），得出等效应力如公式（18）所示。

进入屈服阶段后，基于线性强化假设，屈服应力可由Ludwik方程表示，如公式（19）所示。

其中，σ₀的大小为X，K为塑性常数，ε^p_eq为等效塑性应变。热塑性复合材料屈服条件满足如下关系，如公式（20）所示。

其中，X₁为σ_xx达到屈服条件下的应力值，即当σ_xx值大于X₁时，热塑性复合材料进入塑性阶段。

对于塑性阶段，选用相关塑性流动法则，得到材料坐标系1o2下的塑性应变增量，如公式（21）所示。

发生塑性变形后，应变增量等于弹性阶段应变增量加上塑性应变增量，即dε=dε^e+dε^p，对公式（21）积分，可得热塑性复合材料在材料坐标系1o2下的总应变增量如公式（22）所示。

其中，C₁、C₂和C₃为积分后对应的常数，对于全局坐标系xoy坐标系下，悬臂梁塑性区域的应变分量如公式（23）所示。

根据全局坐标系xoy坐标系与纤维坐标1o2转换矩阵β，结合公式（22），可得常数项C₄、C₅、C₆如公式（24）所示。

结合弹性阶段应力解公式（9），悬臂梁应力解如公式（25）所示。

其中，悬臂梁的上下表面首先进入塑性，－c，－h₁与h₂，c分别为悬臂梁上表面和下表面处发生塑性的区域，h₁，h₂为弹性区域，m、n为待求常数。

根据Bernoulli-Navier假设^［19］得出如公式（26）所示。

其中，ρ为曲率半径，由于梁在弹塑性分界区域有σ_xx=X₁，再联立公式（1）、公式（23）和公式（26）可得如公式（27）所示。

在弹塑性边界处有σ_xx=X₁，代入公式（25），可得如公式（28）所示。

根据公式（1），再结合公式（10），以及边界条件?l，y=0，以0

将公式（1）、公式（3）、公式（25）和式（29），代入边界条件，得出如公式（30）所示。

求得悬臂梁横向位移v的表达式如公式（31）所示。

3 结果分析

3.1 模型验证

文献［17］基于Timoshenko梁和塑性线性强化理论，建立了弯矩作用下纤维增强热塑性复合材料悬臂梁模型，得到了应力与位移的弹塑性解析解。文献［20］基于Timoshenko梁理论分析了弯矩作用下双层复合材料悬臂直梁的弹性静变形。但文献［17］和［20］都未考虑温度对热塑性复合材料弹塑性力学性能的影响，为验证本文所建理论分析模型的正确性，在忽略热载荷情况下，通过设置与文献［17］一致的材料及几何参数来进行对比研究，参考点设在悬臂梁自由端的下表面处。本文应力、位移计算结果与文献和有限元对比结果如表1所示。由表1可知，本文所建理论分析模型在纯弹性与弹塑性分析下得到的位移解和应力解均与文献和有限元结果吻合较好。

为进一步验证本文模型的正确性，考虑非线性热载荷作用下，将本文理论分析模型与有限元的计算结果进行对比。材料基本参数^［21］如表2所示，几何参数设悬臂梁长l为80mm、高2c为12mm、厚t为6.4mm，弯矩M=2000N·mm，纤维的铺层角θ=45°。有限元分析采用双线性平面应力四边形单元，划分3840个单元，屈服准则为各向异性Tsai-Hill屈服准则，硬化方式为各向同性硬化，所建有限元模型材料参数及几何参数与本文理论分析模型一致。

本文理论分析模型与有限元计算结果在高度方向上的应力（σ_xx）截面分布变化曲线如图（2）所示，其中图2（a）是未考虑塑性变形时应力截面分布，图2（b）是考虑塑性变形时应力截面分布。从图2中可以看出，在不同热载荷下本文理论分析模型与有限元计算结果吻合较好。以上分析验证了本文所建理论分析模型的正确性。

通过图2（a）可知，当悬臂梁未发生塑性变形时，在不同的热载荷作用下其应力截面分布差异明显，主要表现在热载荷ΔT=gy²中的梯度g越大，悬臂梁上表面应力绝对值越大，而下表面处应力随之越小。

图2（b）可以看出，当发生塑性变形后，热载荷越大，悬臂梁上表面处塑性区域也越大，而悬臂梁下表面处塑性区域则有减小趋势。造成该现象的原因是在悬臂梁上表面处，热应力与弯矩作用下的应力方向是相同的，而在下表面处方向相反。该规律也可以通过公式（9）进行解释，由于应力表达式为二次函数，热载荷越大导致其二次项系数f/2越大，进而导致此现象。在验证本文理论模型正确性的基础上，下面进一步分析不同弯矩、纤维铺层角和跨高比对弹塑性响应的影响规律。

3.2 影响因素分析

3.2.1 弯矩对悬臂梁应力和位移的影响

在本节及后续的计算中，如无特别说明，基本材料及几参数同上述表2，温度变化取ΔT=y²，计算位移横截面取x=20mm。图3给出了不同弯矩下纯弹性分析与弹塑性分析的应力、位移截面分布情况。

不考虑热载荷（ΔT=0）时，由公式（9）可以看出，此时应力截面分布是一个过点（y=0，σ_xx=0）的一次函数；仅考虑热载荷作用下（M=0kN·mm）时，由公式（9）和图3（a）中均可以看出此时应力截面分布是一个对称轴为y=0的二次函数；同时考虑热载荷和弯矩的作用，应力截面分布可看成是二次函数与一次函数叠加作用的结果。

对比图3（a）与图3（b）中弹性区域的应力截面分布，图3（b）相比与图3（a）应力增长更快，且随着弯矩增大，悬臂梁上表面率先发生塑性变形，上表面塑性变形区域随弯矩的增大而增大。这是由于发生塑性变形后，悬臂梁上下表面处率先发生塑性变形，而塑性区域承受应力增长缓慢，导致悬臂梁中部的弹性区域应力增量更大。从推导的理论模型也可以看出，发生塑性变形后，为保证力边界条件公式（8）的连续性，导致应力数值在悬臂梁弹性区域增长明显。

在图3（c）轴向位移u分布中，发生塑性变形后曲线斜率的绝对值将变大。而力越大，变形和产生的位移越大，在发生塑性变形后，弹性区域应力斜率增大，所以轴向位移u斜率绝对值变大；在悬臂梁塑性区域，应变由弹性应变和塑性应变组成，而公式（23）中计算结果表明C₄比₁₁大4个数量级，即发生塑性变形后，塑性应变增量是大于弹性应变增量，因此图3（c）中轴向位移u在塑性区域的斜率绝对值要比弹性区域更大。

从图3（d）中可知，随着弯矩的增加，横向位移v绝对值增大，横向位移v绝对值在弹塑性分析要比纯弹性分析下增大更加显著，可以根据位移解析式做出合理解释。

3.2.2 纤维铺层角对悬臂梁应力和位移的影响

本节分析不同纤维铺层角θ对悬臂梁应力与位移的影响，其中M取1000N·mm。纤维铺层角θ对悬臂梁应力和位移截面分布影响情况如图4所示。

从图4（a）可以看出在纯弹性分析中随θ减小，悬臂梁上表面的应力绝对值减小，而下表面的应力值增大。由表達式（9）可以得出，当悬臂梁不受热载荷作用时，θ的变化不会对悬臂梁应力数值产生变化，只对有热载荷作用时产生影响。具体影响的大小表现在：在悬臂梁上表面时，θ=50°相比θ=90°应力绝对值小了11.20%，在悬臂梁下表面时，应力绝对值大了48.98%。而当热载荷分别取ΔT=y²/3与ΔT=3y²时，在悬臂梁上表面时，应力绝对值分别小了5.03%、18.97%；在悬臂梁下表面时，应力分别大了7.69%、61.91%。说明热载荷越大，这种影响越明显。

由图4（b）可知纤维铺层角θ越大，悬臂梁越容易达到屈服条件，上表面处发生塑性变形区域越大。因为热塑性复合材料的抗弯强度主要是由纤维提供，且沿着纤维方向的强度远大于垂直纤维方向，因此纤维铺层角θ越大，抗弯强度越小。根据式（20），σ_xx达到屈服条件下时应力值X₁只和纤维铺层角θ以及材料固有参数相关，不同的纤维铺层角θ导致X₁的数值变化从而对悬臂梁应力与位移产生影响。所以当铺层角较小时，将更难达到屈服条件。

由图4（b）可知，随θ增大，在悬臂梁上表面越容易发生屈服，应力绝对值将相应减小，而为保证边界条件公式（8）成立，悬臂梁下表面应力也将增加，此时上下表面应力发生明显变化，在悬臂梁上表面，θ=50°相比θ=90°应力绝对值大了62.03%，在下表面应力小了11.88%。

由图4（c）可知，θ越大，轴向位移u截面分布曲线斜率的绝对值越大，弹塑性分析斜率比纯弹性分析绝对值大，3.2.1节分析指出轴向位移u分布与应力截面分布和应变成正比，在发生塑性变形后，总应变将明显增加。由于θ越大，塑性变形区域越大，再结合应力截面分布规律，可以得出此规律原因。由图4（d）可知，θ越大，塑性区域越多，进一步横向位移v绝对值越大，对此规律解释同轴向位移u截面分布分析。

3.2.3 跨高比对悬臂梁弹塑性应力的影响

本节计算取θ=50°，M=1000N·mm，通过改变悬臂梁的高（2c）的大小从而改变跨高比（l/2c），跨高比越大，则表示悬臂梁高（2c）越小。

3.2.1节指出，悬臂梁的应力截面分布是热载荷与弯矩共同作用的结果。从公式（9）可以看出，跨高比越大（2c变小），应力解中代表弯矩作用的一次函数斜率越大，而对应热载荷作用的二次函数整体下移。因此图5（a）中，l/2c=80/8时，悬臂梁应力截面分布主要表现为代表弯矩作用的一次函数的影响；l/2c=80/12时，悬臂梁应力截面分布表现的是弯矩和热载荷叠加作用的影响；l/2c=80/20时，悬臂梁应力截面分布主要表现热载荷作用的影响。即跨高比越大，弯矩对悬臂梁的应力截面分布影响越大；跨高比越小，热载荷对悬臂梁的应力截面分布影响越大。

由图5（b）可知，在考虑塑性变形后，悬臂梁上表面先达到塑性，当l/2c=80/8时，悬臂梁的截面87.91%都是达到塑性状态，结构从悬臂梁上下表面往悬臂梁中部处快速失效；当l/2c=80/12、80/20时，悬臂梁的塑性区域分别占3.88%和4.48%。可以得出，在悬臂梁的弹塑性分析中，跨高比较小时，悬臂梁上表面处率先发生屈服，悬臂梁中部应力增长明显，而随跨高比增大，悬臂梁更容易发生屈服。

4 结语

（1）建立的热力联合作用下热塑性复合材料弹塑性理论模型物理意义明确，可有效得出弹塑性状态下应力位移解；

（2）热载荷作用的效果受纤维铺层角的影响明显，纤维铺层角度越大，越容易导致发生屈服，合理设置纤维铺层角可改变塑性变形的区域；

（3）热载荷显著影响悬臂梁的塑性区域，且跨高比越大，悬臂梁应力截面分布受热载荷的影响越小，但悬臂梁发生塑性变形区域越大。

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