基于双曲调频距离误差的目标跟踪修正算法

庞玉红，严 琪，陈 托

(杭州应用声学研究所，杭州 310012)

0 引 言

对于高斯白噪声背景下固定目标(速度为零)的检测，常用方法是利用匹配滤波器将发射信号和回波信号进行相关处理，使输出信噪比达到最优。对于运动目标，回波信号受多普勒效应影响，将与发射信号产生“失配”[1]，进而影响检测性能。双曲调频信号(Hyperbolic Frequency Modulated, HFM)作为多普勒不变信号，在目标与声呐产生相对运动时，回波信号相较于发射信号仅产生瞬时频率上的偏移，波形依旧“匹配”，可有效降低由目标运动引起的检测问题。然而，由于HFM信号在时延与频移之间存在“距离—多普勒耦合”现象，其模糊函数峰脊线在时延与频移之间存在倾斜(如图1所示)，这使得运动目标匹配滤波的峰值偏离真实值，引入了距离估计误差[2]。

图1 HFM信号模糊函数峰脊线(等高线)图Fig.1 Contour plot of the ambiguity function of HFM waveforms

尽管双曲调频信号多普勒不变特性很早之前就已被国内外专家学者进行了大量研究，并已应用于雷达和声呐系统中，但该特性对目标跟踪过程造成影响研究较少。传统的跟踪算法如卡尔曼或扩展卡尔曼滤波主要针对无偏差的观测值[3]，一旦在观测值中引入误差，则会造成传统跟踪算法性能的下降。

本文在分析双曲调频信号距离估计误差的基础上，提出了目标跟踪算法的误差修正方法，通过将距离估计误差公式与传统跟踪算法进行融合，实现跟踪算法的误差补偿，显著提高了算法的跟踪性能，尤其是对快速运动目标的跟踪性能。

1 双曲调频信号距离估计误差分析

1.1 多普勒不变特性

HFM脉冲信号的表达式为[4]

其中：T为信号脉宽；f1为HFM脉冲信号的起始频率；f2为截止频率；b为调频系数，表达式为

瞬时频率是对波形时间变化性质的描述，表达式为[3]

对于脉宽为T的信号，fs(0)=f1，fs(T)=f2，带宽B=|f1-f2|。HFM信号的瞬时频率在起始频率和截止频率之间连续单调，服从双曲分布。

当目标与声呐之间存在相对运动时，目标回波信号的波形相对发射信号会产生频率偏移，即产生多普勒频移。

若目标与声呐的相对运动速度为v，则定义脉宽压缩参数[4]为

式中：c为水中的声速。

设目标与声呐初始距离为d0，若发射信号为式(1)中的形式，则接收信号为

式中：τ0=2d0/c为目标回波信号时间延迟，结合式(3)，得到目标回波信号的瞬时频率为

即：

对比发射信号与回波信号瞬时频率可知：

式中：τ1为频率调制函数在时间上的平移，计算公式为

若一种信号的多普勒效应等效于频率调制函数在时间上的平移，接收信号的调制特性不变，则称该信号具有多普勒不变性[4]。HFM脉冲信号即为多普勒不变信号，其多普勒不变性如图2所示。

图2 HFM信号的多普勒不变性Fig.2 Doppler invariance of the HFM waveform

1.2 距离误差分析

主动声呐中目标距离估计常用方法是利用匹配滤波算法对发射信号和目标回波信号进行相关处理。

设d0为目标真实距离，为目标估计距离，的计算公式为[5]

式中：s*表示s的拷贝信号，目标回波信号脉宽Tr与发射信号脉宽T之间的关系为Tr=T/α。当速度v为正时，目标回波信号脉冲宽度被拉伸，相较于发射信号增加了Tr-T，由式(8)可知，以目标回波信号时间中点为中心的接收信号表达式为

结合式(3)和式(6)，可得：

化简式(12)并将式(4)代入，可得：

当目标运动速度为0时，距离估计误差ΔdHFM趋近于0。

对比式(9)可知，ΔdHFM的第一项为τ1c/2。将Tr=T/α代入，第二项等同于设fc=(f1+f2)/2，则距离估计误差的计算公式最终化简为

2 目标跟踪算法的距离误差修正

目标跟踪处理根据检测器提供的目标参量数据进行目标运动状态估计，用以建立和更新目标轨迹。传统的跟踪算法未考虑双曲调频信号多普勒不变特性引起的距离估计误差，从而造成跟踪算法性能的下降。为了能稳定而准确地进行目标跟踪和航迹处理，本文将距离估计误差公式引入跟踪算法，对其观测方程和滤波算法等进行补偿修正，提高跟踪处理对双曲调频信号的适应性和跟踪精度。

2.1 无距离误差修正的目标跟踪算法

设在k时刻，声呐的观测值[6]为

一维离散时间卡尔曼递推估计理论中，信号的状态方程为[7]

其中：wk是零均值的高斯过程，wk～N(0，σw2)，Φk为系统参数，假设目标与声呐保持相对匀速直线运动，则：

其中：Δtk=tk+1-tk，若信号发射周期固定，则Δtk=Ts，即发射周期。

信号的观测方程[7]为

其中：vk是观测噪声，vk～N(0，σv2)。若不考虑距离误差，则H=[1 0]。观测得到的目标位置信息是真实目标位置加上观测噪声。

对于轨迹位置和目标速度估计的更新，利用卡尔曼滤波算法进行递归滤波[8]。在tk时刻的估计表示为Xk|k，协方差矩阵表示为Pk|k。利用包括tk在内的前面全部观测数据对tk+1时刻的信号进行估计(即滤波)，递归方程为

增益矩阵L为

则状态更新方程为

协方差矩阵的更新方程为

通过上述方程，可根据目标观测数据(未经距离估计误差修正)对当前和未来时刻目标运动状态进行估计和预测，建立跟踪目标轨迹。

2.2 目标跟踪算法的距离误差修正

对于传统的目标跟踪，其状态方程与式(17)相同，但观测方程由线性变为非线性[9]：

此处h(Xk)包含了距离真实值与距离估计误差值之和，结合式(15)，可得：

对于非线性跟踪器，采用扩展卡尔曼滤波进行递推[10]。因状态方程不变，递归方程也与式(21)和式(22)相同。

增益矩阵L为

则状态更新方程为

协方差矩阵的更新方程为

其中：Hk+1是h(·)函数在X=Xk+1|k时的一阶偏导数。因∂h(X(k))/∂D(k)=1，Hk+1表达式为

3 仿真实验分析与讨论

为验证目标跟踪算法的距离误差修正后的跟踪性能，进行仿真分析，仿真参数为设定目标初始距离为4 000 m，初始角度为60°，沿45°方向以匀速直线运动远离声呐，信号发射周期Ts=30 s，脉冲信号的瞬时频率fs的范围为1.5～2 kHz，脉冲宽度T=0.1 s。进行500次蒙特卡洛实验，将算法修正前后的目标跟踪算法性能进行对比，处理结果如图3～5所示。

图3 算法修正前后目标跟踪轨迹对比Fig.3 Comparison of target tracking trajectories with and without range bias compensation

从图3～5中的仿真结果可以看出：

(1) 经距离估计误差补偿修正后的跟踪算法，滤波过程收敛较快，且跟踪更加稳定；

(2) 与传统跟踪算法相比，修正跟踪算法的误差明显减小，目标跟踪的准确性和精度皆有提升。图4(b)中的性能提升百分比为修正后误差与修正前误差的差值与修正前误差的百分比。在设置的仿真条件下，当目标运动速度v=20 m·s-1时，将图4(b)中的数据取均值，可以得到修正算法跟踪误差均值较传统算法降低约9%；

图4 算法修正前后距离的均方根误差对比及相应的性能提升百分比Fig.4 Comparison of the root mean square range errors with and without range bias compensation and the corresponding percentage of performance improvement

图5 不同目标运动速度下算法修正前后的均方根位置误差对比Fig.5 Comparison of the root mean square range errors with and without range bias compensation at different target velocities

(3) 算法修正前，目标径向运动速度越大，跟踪误差越大；修正后的跟踪算法对于快速运动目标的跟踪性能提升更为显著。

4 结 论

HFM信号是一种多普勒不变信号，已广泛应用于主动声呐的目标信号检测中。多普勒不变特性可有效降低多普勒效应对运动目标回波信号的影响，但其代价是引入了距离估计误差。本文全面分析研究了HFM信号的距离误差特性，并基于距离误差公式，对HFM信号的跟踪算法进行了补偿修正。仿真结果表明，本文所提的修正算法滤波过程收敛较快，跟踪更加稳定，可显著提高目标跟踪性能，尤其是对快速运动目标的跟踪性能的提升更为显著。