仰观试题之高端,俯察教材之基础*——从2022年高中数学联赛A卷一试第2题谈起

潘申润 陈清华 周晓婷 林 风

福建师范大学数学与统计学院 (350117) 福建省福州第三中学 (350025)

《普通高中课程方案和课程标准(2017年版)》(下称“新课标”)作为当前教学的重要依据,立德树人作为核心素养发展的重要抓手,将在很长一段时间对考试命题与评价起到根本性的改变．考试对教学起到引导与反馈的重要作用,也是当前检测学生学习效能与核心素养达成水平划分标准的主要手段[1]．高中教材中“探索与发现”部分的知识也常作为背景出现在考试中．

1 仰观试题之高端

评价：当前在基于核心素养的试题命制的基础上,我们需要注意的是本题重点考察的是学生的数学抽象和直观想象能力．本题命题重点是:(1)强调学生能够通过具体的问题抽象地分析与研判其背后的规律,在此基础上运用数学语言进行表征,即学生对于“未知但亲切”的函数g(x),能够将其拆分成g1(x)与g2(x)通过分析二者的值域进而研究g(x)的性质;(2)基于高中课程的学习进一步增强数形结合的能力,通过“代数几何化”发展几何直观能力,在直观感悟中体会事物的本质,即学生直观地看到g1(x)与g2(x)后能够进一步分析和研究出函数g(x)的性质．

2 俯察教材之基础

c.a=1,b=-1 d.a=-1,b=1图1 取c=1时,随a,b变化F(x)的函数图象

a.a=1,b=1 b.a=1,b=1

特别的是教科书中只给出了图1(a)的函数图象,且也未深入研究F(x)的其他性状,此处我们结合定理1～4与图1以作拓展．以下以该结论作为二级结论解答几道联赛试题的变式．

分析：由定理2,f(x)的函数图象可根据两条渐近线(y=4x与x=0)限定其范围;g(x)为一偶函数,故可先绘制x>0部分,渐近线为y=x2与x=0．

解：函数图象如图2所示．

图2 变式1函数图象

3 总结与展望