椭圆曲线中斜率之积为定值的解法探究

张 侣

重庆市忠县中学校 (404300)

圆锥曲线定点、定值问题已成为高考或模拟考试中的重点考查对象,其求解过程往往涉及丰富的知识内容和灵活运用的数学思想.试题通过具体数据的巧妙设问,获取一些特殊结论,这些结论看似特殊,实则具有普遍性,此类试题的研究不仅能够抓住圆锥曲线的本质,还能透过试题挖掘隐含的命题规律,更能将其拓展到一般情况.本文以一道联考椭圆试题为例进行解法探究,帮助学生熟悉求解此类问题的常用方法,从而获得更多解决此类问题的思考方向.

1 试题呈现

试题分析：该题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、椭圆中直线斜率的几何关系以及斜率乘积为定值问题等内容,重点考查学生的数学运算能力,推理论证能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.试题结构清晰,问题设置层次分明,内容丰富,第一问较简单,易于求解,本文尝试对第二问从不同的角度进行求解,并探究其一般性结论.此题为阶段性检测学生的学习潜能起到了较好的引导作用.

2 解法探究

评析：通过联立直线MP方程与椭圆方程得出点P的坐标,再根据题意,将斜率k用-k替代后得到点Q的坐标,利用两点间的斜率公式算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

评析：通过联立直线PQ方程与椭圆方程得出x1+x2与x1·x2的表达式,根据题意,结合点M在椭圆上以及kMP+kMQ=0,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

评析：通过设过点M的直线方程和直线PQ的方程,解出点P的坐标,将点P代入椭圆C方程,获得关于kMP,kMQ为两根的一元二次方程,结合韦达定理和题设条件,以及两点间的斜率公式,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

图1

评析：利用极限思想,巧妙地将问题求斜率k1的表达式等价转化为求过M′处切线的斜率,结合切线方程和两点间的斜率公式,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

评析：通过改写椭圆方程和巧设直线方程,获得关于kMP,kMQ为两根的一元二次方程,结合韦达定理和题设条件,以及两点间的斜率公式,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

评析：根据P,Q,M三点在椭圆上,利用点差法以及题设条件kMP+kMQ=0,获得相应等式关系,从而算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

图2

评析：此法通过伸缩变换,将椭圆方程变换为圆的方程,便将问题转化为关于直线和圆的问题,利用圆的性质,最后解得k1·k2的值.

3 推广探究

结合以上求解过程,可获如下结论1.

由于椭圆经过伸缩变换,可以得到以坐标原点为圆心的圆,类比可得如下结论2:

结论2 已知圆C:x2+y2=R2,若圆C上的动点M,P,Q满足直线MP,MQ的斜率互为相反数,且点M不在坐标轴上,设直线PQ,OM的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1.

类比可得双曲线中的如下结论3.