由一道高考题的解法引发的思考*

徐梅香 翟洪亮

江苏省太湖高级中学 (214125) 江苏省高赣榆级中学 (222100)

随着新课程标准的实施,新教材在全国各地的广泛使用,实行新高考的省市在不断增加,一些立足“四基”,发展“四能”,体现“素养”的创新试题将陆续出现在新高考试题中,现以2022年全国新高考Ⅱ卷12题为例,本文从不同视角对该题进行剖析,指出试题以“数”的形式呈现,考查的是蕴涵“形”的本质,对考生能力要求较高,凸显试题的选拔性功能,体现新课程对数学学科学业质量要求和对学科素养的考查．

一、试题呈现

若实数x,y满足x2-xy+y2=1,则( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

二、试题解析

现从不同视角进行剖析,挖掘试题内隐性资源.

1.从数的视角

由于试题条件中出现两个实数满足等式条件,在选择支中出现不等式,这容易使考生首先联想到运用不等式有关知识进行求解.

由于试题条件中出现二元变量x,y,这也容易使考生联想到曲线方程,通过配方,使用三角换元,运用三函数知识进行求解.

2.从形的视角

由于试题条件中出现二元变量x,y,从所求的选择支中出现的x+y范围,x2+y2范围,容易联想到直线与曲线的位置关系,以及圆与曲线的位置关系,通过换元,转化为直线的方程与曲线的方程间的关系,以及圆的方程与曲线的方程间的关系,运用解析几何知识进行求解.

由解法3和解法4可以猜想方程x2-xy+y2=1的曲线是焦点在直线y=x上的椭圆,如图1,方程x2-xy+y2=1的曲线在旋转矩阵的作用下,可以转化成标准的椭圆方程．

图2

由此可见,将直线y=x代入方程可解得椭圆长轴两个端点的坐标,将直线y=-x代入方程可解得椭圆短轴两个端点的坐标,还能求出椭圆的离心率等有关问题．

上述解法说明试题以“数”的形式呈现,考查的是蕴涵“形”的本质,可以从不同的视角为切入口,都能得到试题的正确解答,可见此题入口宽,起点较高,技巧性强,对考生的运算能力和逻辑思维能力要求较高,突出对数学运算和逻辑推理等核心素养的考查．

三、试题拓展

上述5种解法中,只有解法1是单纯的代数方法,其余4种解法都涉及方程所对曲线的形状．因此,加强对圆锥曲线的非标准型方程E:Ax2+Bxy+Cy2=D的研究．特别地:

1.双曲线具有以下性质:

(1)曲线E关于直线y=±x对称;

(2)曲线E的的渐近线方程为x=0和y=0;

(1)曲线E的渐近线方程为x=0和y=ax;

四、教学思考

新高考要求教学应以学生为主体,开展研究型和创新型教学．需要对所学内容、近年高考试题进行研究,把握命题趋势,开展深度教学．

在知识掌握上要注重全面,甚至要适当补充,注意拓展．扩大学生的知识面．促进学生的能力发展,增强学生发现问题的能力,应先给予充足时间让学生独立思考后,教师再精讲点拨,引导多视角引导学生审视问题,认清问题本质,不断提高学生自主分析问题和解决问题的能力.