科技文献中4个不等二元关系符号的左边元素缺失及相关问题

吴 炎

（海南热带海洋学院a.学报编辑部；b.理学院，海南 三亚 572022）

0 引言

在科技文献中常常遇到用于比较实数或同一类量（凡可以相互比较的量都称为同一类量[1］1）大小的不等二元关系符号≥、≤、＞、＜、≠（其中≥与≤通常看作不严格的不等号，＞与＜和≠为严格不等号）。由于不等号≠在科技文献中相对较少出现，故下文中如未加说明，本文中的不等二元关系符号特指≥、≤、＞和＜。什么叫作非空二元关系？通俗地说，非空二元关系[2-5］指的是一个非空集合中某些确定的元素组成的二元组（有序元素对）构成的非空集合R（符号R也是表示这个关系的符号），具体定义将在下面给出。依据二元关系的定义[2-5］，不等二元关系符号也表示其各自对应的二元关系，如符号≥表示某一确定的实数（或同一类量）之间的二元关系，而以上4个不等二元关系的每一个都确定了该关系（集合）中每个二元组的两个元素之间的关系式（称为这一关系或关系符号对应的关系式），也就是说这样的二元组的两个元素之间的二元关系只有通过这个关系对应的关系式才得以体现。由于每个二元关系对应的关系式是由关系符号与这一符号左右两边的元素共同构成的，因此，讨论二元关系符号及相关问题离不开该符号表示的二元关系及其对应的关系式，其立足点就是讨论二元关系对应的关系式以及其中的量（元素）的符号用法。这里的量指的都是物理量，而同一类量指的也是同一类物理量。由于不等二元关系符号的通俗性、应用的广泛性，因此它们及其对应的关系式在众多科技文献[2-19］（仅为随机查阅的部分文献）中经常被使用。又由于含有不等二元关系符号的数量关系式都是数学公式（因为公式就是用数学符号表示各个数量之间的关系的式子[20］，黄毅指出“把某些变量、常量按确定的法则用字母、数字符号表示出来的式子称为公式，数理公式是关系式、算式、方程式等的总称”[21］），因此，这样的关系式以及其中使用的符号，都应遵循数学公式及公式中符号使用的国家标准GB/T 1.1—2020[22］30、GB/T 3101—1993[1］1-20、GB/T 3102.1～3102.13—1993[23］、GB/T 14559—1993[24］等。尽管有众多的国家标准作为公式及其符号使用的重要理论依据，但目前仍未见到用于判定不等二元关系符号（≥，≤，＞，＜）左边元素缺失是否正确的国家标准或其他依据文献。而笔者在科技文献的审、编、校工作以及培训学习中，常常遇到以上不等二元关系符号的两边中左边元素缺失的问题，譬如：1）在＜3.8°的某山地坡上物种丰富度指数最大；2）王存忠指出“……在书稿中有时会遇到符号≥前半边缺失，相当于将≥作为中文符号使用，如此用法缺乏依据。例如，≥5 ℃的积温为生长积温”[25］。由此可见，许多学者虽然发现以上不等二元关系符号左边元素缺失的用法存在错误，但要回答为什么该用法是错误的，却无法从国家标准和相关文献中找到理论依据。为此，本研究将讨论用于实数之间或同一类量之间大小比较的4个不等二元关系符号（≥，≤，＞，＜）的左边元素（指实数或同一类量）缺失及主要相关问题，首先，重点探讨这4 个符号中每一个二元关系符号的左边元素缺失是否导致错误，如果产生了错误，那么错误的原因和依据是什么？如何纠正？其次，为了从理论上解决以上问题，本研究利用数学基础知识，探讨了一个非空集合X上的非空二元关系R对应的关系符号的左右两边可否缺失一边元素的理论问题，以及关系符号用法上的注意问题。最后，讨论了这4 个不等二元关系符号用于变量范围表示时容易误判为关系符号左边元素缺失但实际并不缺失的问题。这些研究结论将为作者和编辑（特别是高校师生）修改科技文献提供参考依据与方法。

1 相关国家标准（理论依据I）

在国家标准GB/T 1.1—2020 中对于数学公式给出了明确的规定：“数学公式通常使用量关系式表示，变量应由字母符号来表示。……公式不应使用量的名称或描述量的术语表示。量的名称或多字母缩略术语，不论正体或斜体，亦不论是否含有下标，都不应该用来代替量的符号。”[22］29-31陈浩元根据ISO 80000-1：2009[26］等相关标准指出：“公式和方程式中的量都应使用符号，而不是用量的名称或缩略词来书写”[27］，并结合实例阐明公式应该使用量符号表示，而不应采用多字母缩略词和量的名称来书写的问题[28］。此外，国家标准GB/T 3101—1993 指出：“量的符号通常是单个拉丁或希腊字母，有时带有下标或其他说明性标记。无论正文的其他字体如何，量的符号都必须用斜体印刷。”[1］9国家标准GB/T 3102.1～3102.13—1993[23］和GB/T 14559—1993[24］还给出了公式中常见物理量符号和数学符号（包括主符号的上下标符号）等用法规定。以上标准和编辑学文献为作者和编辑在科技文献的修改工作中正确使用不等二元关系符号（≥，≤，＞，＜）及其对应关系式中的量符号提供了重要的理论依据和方法。

2 数学基础知识（理论依据II）

为了探讨用于实数或同一类量之间大小比较的不等二元关系符号（≥，≤，＞，＜）的左边元素缺失是否导致错误以及相关问题，引入如下定义并给出其相关结论。

定义1[2-3］设A、B是两个给定的集合，通常把积集A×B的每一个子集R都叫作A到B的一个二元关系，当A=B时，把积集A×A的子集R叫作集合A上的二元关系。

在定义1 中，若设R是集合A到集合B的任一个二元关系，则有R⊂A×B。若令X=A∪B，则必有A⊂X，B⊂X，R⊂X×X。由此可见，集合A到B的任一个二元关系R(⊂X×X)必然是扩大后的集合X上的二元关系，两个集合A与B之间的二元关系就可转化为同一个集合X上的二元关系。因此，在讨论二元关系及其相关问题时，常常使用下面同一个集合X上的二元关系定义。

定义2[4-5］设X是一个集合，把集合X×X的每一个子集R叫作集合X上的二元关系（简称关系），当R= ∅（空集）时称R为集合X上的空关系，当R≠∅时，称R为集合X上的非空二元关系。如果集合X中两个元素a，b构成的二元组(a，b) ∈R，则称a与b具有二元关系R，记作aRb，否则，称a与b不具有二元关系R，记作。

由定义2可知，一个非空集合X上的非空二元关系R实际上就是由集合X中给定的元素构成的二元组（有序元素对）组成的集合，并且只要这个集合X是非空的，则非空集合X×X就必存在非空子集R，也即必存在集合X上的非空二元关系R，这个非空二元关系R（集合）实际上就给出了其全部二元组中任一个二元组(x，y)的两个元素x和y之间的二元关系，并且元素x和y之间的关系必须通过关系式xRy来体现，这样能代表集合R中每一个二元组的两个元素之间关系的关系式就是引言中所说的二元关系（或二元关系符号）R对应的关系式。

注1在定义2 中，集合X×X的子集R既是表示集合X上的二元关系，也是表示这个二元关系的符号。本研究中的二元关系常常使用简称，如关系（或关系符号）R指的就是二元关系（或二元关系符号）R，R中二元组(x，y)的元素x与y之间的关系式xRy指的就是x与y之间的二元关系式xRy，但在假设（或给定）条件以及论证中需要特别强调时还是使用全称。

推论1设R是非空集合X上的非空二元关系，则R中任一个二元组(x，y)的元素x与y之间的关系式为xRy（也是R对应的关系式），且关系式xRy中二元关系符号R左右两边的元素x与y缺一不可。

证明已知R是非空集合X上的非空二元关系，由定义2 可知，当且仅当非空二元关系R（指X×X的非空子集）中每一个二元组(x，y)(∈R)的元素x与y才具有关系R，且元素x与y之间的关系式就是xRy。换句话说，非空二元关系R（指集合）中的任一个二元组(x，y)的两个元素x与y必须与关系符号R一起才能建立对应的二元关系式xRy，故关系式xRy中关系符号R的左右两边元素x与y缺一不可，符号R两边缺少了任何一边元素都构不成二元关系式xRy，必然体现不了元素x与y之间的二元关系，都会与二元关系定义相矛盾。

例1设C={2，3，4}（实数集ℝ 的子集），D={5m，6 m，8 m }是由同一类量5 m、6 m、8 m 构成的集合，由定义2 及其前后讨论结果得到：C×C的子集R1，C={(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，4)}和R2，C={(3，2)，(4，2)，(4，3)}都是集合C上的非空二元关系，也都是实数集ℝ 上的非空二元关系；D×D的子集

都是集合D上的非空二元关系。其中R1，C和R2，C既是集合C上的二元关系，也分别是这两个二元关系的关系符号（R3，D、R4，D和R5，D的情形完全类似）。由于关系R2，C中任一个二元组(x，y)的元素x和y都可比较大小，且x均大于y，因此，关系R2，C可用大于关系＞代替，于是关系R2，C中任一个二元组(x，y)的元素x和y之的关系式xR2，Cy就可用x＞y代替，即x＞y就是关系R2，C（或＞）对应的关系式，而R2，C中给定二元组(3，2)的元素3和2之间的关系式3R2，C2就用3＞2代替，且不论是关系R2，C（或＞）对应的关系式x＞y还是该关系中给定的二元组(3，2)中实数3与2之间的关系式3＞2，关系符号＞左右两边的元素缺一不可。类似地，关系符号R1，C可用关系符号≤代替，关系R1，C中任一个二元组(x，y)中的元素x与y之间的关系式可用x≤y表示；关系符号R3，D可用大于或等于符号≥代替，而其中任一个二元组(x，y)的元素x和y之间的关系式就是x≥y；关系符号R4，D可用大于符号＞代替，且关系R4，D对应的二元关系式可表示为x＞y；关系符号R5，D可用相等关系符号＝代替，且关系符号R5，D对应的关系式可表示为x＝y。这些关系式中关系符号左右两边的元素都是缺一不可的。

例2设ℝ是实数集，ℤ是整数集,+、分别表示全体正实数集和全体负实数集。类似例1，由定义2及其前后的讨论得到：非空集合

既是整数集ℤ上的二元关系也同时是扩大后的实数集ℝ上的二元关系；而非空集合

也是实数集ℝ 上的二元关系。由于关系（或）中每一个二元组(c，d[)或(e，f)］的两个元素都是可比较大小的实数，如R＞1中任一个二元组(c，d)的第一位置元c大于第二位置元d=c- 1（R＞2的情况类似），故关系R＞1和R＞2都可用ℝ 上的大于关系符号＞表示，因此关系R＞1对应的关系式cR＞1d就可用c＞d代替；同理，关系R＞2对应的关系式就是e＞f。

注2从以上例子可以看出，不等二元关系符号（≥，≤，＞，＜）与相等二元关系符号（＝）都是用于实数之间或同一类量之间比较大小的常用关系符号，在这些二元关系符号对应的关系式中，关系符号左右两边的元素都是缺一不可的。

注3不等二元关系符号完全不同于关系式中量符号的用法，在不等二元关系符号的不同例子应用中，实数集ℝ的不同的非空子集（或不同的非空量集）上对应的属性相同的二元关系（即使是不相同的二元关系）是可以用同一个二元关系符号（如≥，≤，＞，＜等）进行表示的，这里非空量集指的是由同一类量构成的非空集合，而在不同（或同一）集合上的二元关系的属性相同指的是其中每个关系（集合）包含的每个二元组中的两个元素均具有相同的属性。

由于二元关系定义的特殊性，下面以例1和例2阐明实数集不同的非空子集（或不同的量集）上的不同的二元关系用同一个关系符号＞（或≥，≤，＜）表示的合理性。

1）同类数集（或量集）情况。由定义1 和定义2 前后的讨论可知，实数集（或同一个量集）的非空子集上不同二元关系，都可以看作是扩大后的实数集ℝ（或量集）上的二元关系。因此，例1中实数集的非空子集C={2，3，4}上的关系R2，C，例2中实数集ℝ 的子集ℤ 上的关系R＞1、实数集ℝ（它是自己的子集）上的关系R＞2都可以看作扩大后的同一个实数集ℝ 上的二元关系，而且这几个二元关系中其任一个二元组均具有相同属性：第一位置的元素大于第二位置的元素。因此，它们都可用实数集ℝ上同一个大于关系符号＞表示（合理性）。

2）实数集的非空子集与量集的非空子集这些不同类集合上的二元关系使用相同关系符号表示的情况。在1）中指出，例1中实数集的子集C上的关系R2，C和例1中量集D上的关系R4，C都使用相同大于关系符号＞表示（不必写成＞C和＞D），其依据是这些二元关系都具有相同的属性：这些二元关系中其任一个二元组的第一位置的元素总是大于第二位置的元素（合理性）。

因此，在上面这些不同的二元关系对应的关系式中，关系符号就不必如关系式中量符号的用法一样须在关系符号＞上添加上、下标（如＞，＞，＞D等）进行区分，这样既不美观和简洁，也不符合大众的使用习惯。在理解上，只要明确不同例子中用到的同一个关系符号仅表示该例子中所给集合上的二元关系即可，这在一般科技论文（特别是数学文献）的使用中均得到普遍默认。这些大众习惯使用的不等二元关系符号（≥，≤，＞，＜）与相等二元关系符号（＝）一样，对不同实数集的子集（或量集）上不相同的“相等二元关系”，不需要加下标进行区别，譬如集合H={2，3}上的相等关系式2＝2，3＝3，以及实数集ℝ 上的相等关系式x=x(x∈ℝ)，都不需要加下标区分而写成2 =H2，3 =H3，x=ℝx，即对相等关系符号加下标（如=ℝ）和对不等关系符号＞（或≥，＜，≤）加下标（如＞ℝ等）都不美观和简洁，也不符合大众使用习惯。但这与关系式中量符号需要严格区分的情况完全不同。

3 不等关系符号左边元素缺失的错误及纠错方法

下面用定义2和推论1及相关国家标准分析和纠正不等二元关系符号（≥，≤，＜，＞）左边元素缺失的错误，并给出纠错方法。所列举范例可能与某些出版物的实例有相似之处，但本研究仅从学术研究、问题探讨角度出发，不针对任何出版物。

例3[25］≥5 ℃的积温为生长积温。

分析：根据本例中的关系符号≥及其后面内容的含义，可知与5 ℃比较大小的量为某规定条件下的积温（假设可用变量符号T表示这样的积温，单位：℃），显然某规定条件下的积温T和5 ℃（可能存在变量T等于5 ℃的情况）为同一类量，其构成的集合为

故由定义2 及注1 可知，二元关系符号≥既是用于规定条件下的积温T与5 ℃比较大小的二元关系符号，也是表示集合X1上的二元关系[≥=R={(T，5)}(⊆X1×X1)］。因此由推论1 可知，二元关系符号≥的左右两边用于比较的量（T与5 ℃）缺一不可，故本例中把关系符号≥当作中文符号使用且关系符号≥的左边元素缺失是错误的。

修改方法（专业知识和国家标准结合法）：

步骤1：根据推论1 和实际问题确定二元关系符号≥左边缺失的量为积温（不可缺少）；这时关系符号≥左边元素为积温，右边元素为同一类量5 ℃（给定的积温），它们与关系符号≥共同构成完整的二元关系式，这样确定的关系式就要遵照公式使用的国家标准GB/T 1.1—2020，即公式中变量（积温）应由字母符号来表示[22］30，不能使用错误的关系式：积温≥5 ℃。

步骤2：根据国家标准[23］432选择关系符号≥左边缺失的量的符号为T（常用表示温度的符号）。

步骤3：根据步骤1和步骤2确定修改方案，即本例可修改为如下情形之一。

（1）积温T（≥5 ℃）为生长积温，或积温T（T≥5 ℃）为生长积温。

（2）当积温T≥5 ℃时称（或规定）T为生长积温。

（3）大于或等于5 ℃的积温为生长积温（不使用关系符号的表述方式）。

例4在＜3.8°的某山地坡上物种丰富度指数最大。

分析：在该例中，用于比较大小的量有两类：一是某山地不同坡度角的坡段物种丰富度指数，但这一类量之间的关系并没有用到关系符号＜；二是某山地不同坡段的坡度角。根据该例中关系符号＜前后内容可知，与角度3.8°进行比较大小的量是某山地不同坡段的坡度角（存在坡度角恰好等于3.8°的情况），假设可用α表示某山地不同坡段的坡度角（单位：°），则可以确定用于比较大小的同一类量构成的集合为X2={α}∪{3.8°}。于是，由定义2 及注1 可知，本例中关系符号＜既是比较坡度角α与角度3.8°大小的二元关系符号，也是集合X2上的二元关系，由推论1 可知，关系符号＜的左右两边用于比较大小的量缺一不可，故关系符号＜的左边缺失坡度角α（量）是错误的。

修改方法（专业知识和国家标准结合法）：

步骤1：根据推论1 确定二元关系符号＜左右两边的元素不可缺少，这时可确定出关系符号＜左边元素为某山地不同坡段的坡度角，右边元素为角度3.8°（给定的坡度角），左右两边元素与符号＜一起构成这个关系对应的二元关系式，同样，这种关系式就要遵照公式使用的国家标准GB/T 1.1—2020，即公式中变量应由字母符号表示[22］30。不能使用错误的关系式：某山地不同坡段的坡度角＜3.8°。

步骤2：根据国家标准[23］421在常用表示角度符号（如α，β，γ，θ等）中选择表示某山地任一坡段坡度角的符号为α。

步骤3：根据步骤1和步骤2确定修改方案，即本例在保留二元关系符号＜的前提下可修改为

（4）在坡度角α＜3.8°的某山地坡上物种丰富度指数最大。

例5木本植物根系生物量以粗根（＞3 mm）为主，……草本植物根系生物量则以细根（≤3 mm）为主。

分析：以该例第二个括注“（≤3 mm）”为例进行说明，其余讨论类似。由该例中括注“（≤3 mm）”前后文表述可以确定，括注外的文字表达没有错误，但该括注中的二元关系符号≤的两边中缺失左边元素，因为括号前面的“细根”不能与括号中3 mm进行比较（不属于同一类量），即括号前面的“细根”不能作为二元关系符号≤的左边变量。根据推论1可知，关系符号≤的左右两边用于比较大小的元素（量）缺一不可，故括注中关系符号≤的左边缺失了变量（元素）是错误的。根据文中括注前后内容可知，括注中缺失的左边变量为草本根系植物的细根直径，假设可用dFR表示这种植物细根直径（单位：mm），那么用于比较该种植物细根直径dFR与3 mm大小（可能存在直径dFR等于3 mm的情况）的同一类量构成的集合为X3={dFR}∪{3 mm }。类似地，可确定第一个括注的关系符号＞的左边元素是缺失的，也是错误的。

修改方法（专业知识和国家标准结合法）：

修改方法类似例3 和例4，具体步骤不再详细表述，只给出简单的修改过程、依据和结果。根据推论1确定该例中关系符号≤的左边缺失的元素为草本根系植物的细根直径，关系符号＞的左边缺失的元素为木本根系植物的粗根直径，进而确定关系符号≤（或＞）与其左右两边元素构成的关系式应符合国家标准GB/T 1.1—2020要求，再根据国家标准[23］421选择dFR表示草本根系植物细根直径，选择dCR表示木本根系植物粗根直径，最后确定修改方案，即本例中第二括注“（≤3 mm）”修改为“（直径dFR≤3 mm）”，第一括注“（＞3 mm）”修改为“（直径dCR＞3 mm）”。本例可完整修改如下：

木本植物根系生物量以粗根（直径dCR＞3 mm）为主，……草本植物根系生物量则以细根（直径dFR≤3 mm）为主。

以上仅给出代表性的范例及修改方法，类似的错误问题还有很多，如“在＜201 m 的海拔上丰富度指数……”等，可用以上例子的方法进行修改，具体修改在此略去。

4 不等二元关系符号用于变量范围表示时的相关问题

在诸多科技文献中，常常遇到变量范围的表示使用了不等二元关系符号（≥，≤，＜，＞）情况，如以列表或表述形式来表示变量范围。下面以具体实例说明这些相关用法中值得注意的、容易误判的问题，即以上不等二元关系符号用于变量范围表示时，容易误判为这些不等二元关系符号的左边元素缺失，但实际上并不缺失。

例6[17］海藻相对重要性指数IRI≥1 000 的物种定为优势种，在范围100～＜1 000 内的定为重要种，在范围10～＜100内的定为常见种……。

分析：在该例中，在范围100～＜1 000 的表示形式中，“＜1 000”貌似关系符号＜左边与1 000 比较的变量（元素）缺失，但实际上关系符号＜的左边元素（变量）已经在前面第一个不等式中就给定了，并不缺失，它就是相对重要性指数IRI（在这个范围表示形式中省略了），而这个范围的等价形式实际上就是100≤IRI＜1 000。其他的范围表示形式属于类似问题，分析过程在此省略。

与例6类似，下面例7也是正确的，分析过程在此省略。

例7[18］制备生物炭的热解温度（T）范围一般为200～900 ℃。根据所采用的温度不同，生物炭的热解过程包括以下三个阶段：从环境温度到200 ℃为第一阶段，……；＞200～500 ℃为第二阶段……。

例8[19］……T值越高，表示抑郁症状越严重，……，详见右表1（文献[19］中表1[19］）。

表1 大一新生抑郁情绪分布情况

分析：从表1第二列看出，T就是与第二列的各个变量范围表示式中的关系符号＜（或≥）右边元素（量）进行比较的变量，因此，表1中第二列的符号＜（或≥）左边元素（变量）并不缺失。譬如，在上面表1第二列的变量范围53～＜62中，关系符号＜的左边变量就是表1表头中的T，等价的范围表达形式为53≤T＜62。

类似的容易误判的问题（实际是正确的）有很多，在此略去。

5 结论

通过探讨科技文献中用于实数（或同一类量）之间大小比较的不等二元关系符号（≥，≤、＜，＞）的左边元素（指实数或同一类量）是否缺失以及缺失后是否产生错误的问题，得到了如下结论。

（1）根据数学基础知识，论证了一个非空集合X上的二元关系符号R的左右两边元素缺一不可的结论，通过具体实例进行说明；另外，通过实例阐明了每个不等二元关系符号可表示不同数（量）集或同一数（量）集上不同的二元关系的合理性。

（2）利用数学基础知识和国家标准相结合的方法，判定了常见的用于比较实数（或同一类量）大小的不等二元关系符号的左边元素缺失是错误的，指出了产生错误的原因，给出了纠错方法。

（3）结合实例阐明了不等二元关系符号用于变量范围表示时容易误判为关系符号的左边元素缺失但实际并不缺失的问题。