纯扭转状态下多孔芯复合圆轴的“剪切破坏”力学模型

刘培生

(北京师范大学 核科学与技术学院 射线束技术教育部重点实验室,北京 100875)

0 引言

泡沫金属等多孔材料具有体密度小、综合性能好等特点,是一种结构功能一体化的优秀工程材料[1-2]。但是,其强度和模量限制了其作为结构材料的应用[3-4]。泡沫金属与致密金属壳面组合制成夹芯结构,可获得更佳的力学性能[3]。要提高其强度和承载能力,可将强度更高的外壳与泡沫体结合为整体。一般有两种方式[5]:1) 三明治夹层结构,多用于改善其弯曲性能[6-8];2) 泡沫充填管结构,其中管体通过充填的泡沫芯体而得到加强[9-12]。多孔泡沫材料充填的管件可以用作高能量吸收和高比强度的有效结构[13]。泡沫夹芯结构具有较高的比强度、比刚度及良好的抗震、吸声等性能,特别适合于轻质结构以及消音降噪和冲击防护等用途[14-15]。

大家知道,在承受外加扭转载荷(扭转力偶作用)时,圆轴横截面上离截面中心较远处的外层部分承受的扭矩占据全部横截面上扭矩的大部分,靠近截面中心处的内层部分承受的扭矩只占全部横截面上扭矩的较小部分。因此,以泡沫材料为芯体、致密圆管为外壳且芯体和外壳牢固地结合在一起成为一个整体的复合圆轴,在力学上具有明显的优点,适于作为一种能更有效地承受外加扭转载荷和传递转动功率的轻质圆轴。其中圆管外壳为复合圆轴的主体承载部分,多孔结构的芯体为辅助承载部分,而开孔网状结构的泡沫金属同时还作为吸声降噪、吸能减振以及热交换等功能的担当部分。可见,此类复合圆轴同时拥有力学和物理性能的综合优势。相对于实心圆轴,该复合圆轴结构的重量得以大大减小;相对于空心圆轴,该复合圆轴的刚度和结构稳定性得以大大提高[16]。开孔网状结构的泡沫金属在需要兼备结构和热控制双重作用的场合具有自身的优越性,采用其作为芯体的夹芯复合轴件,工作过程中可以在动密封的配合下实现冷却介质流通的热交换。

对于上述优化结构的新型复合圆轴,其承受的主要是扭转载荷作用。而对于更多的此类多孔体夹芯结构,同样会受到扭转作用:例如泡沫金属芯管状消声降噪器和吸能减震器[13-15],其加工过程和使用过程中都可能遇到扭转作用。关于泡沫金属等多孔材料及其夹层结构的力学研究通常集中于压缩,在扭转载荷作用下的研究罕有报道[16-18],对于泡沫金属充填管件更是如此[9,12,13,19-21]。本文工作即对泡沫金属填芯复合圆轴构件在扭转载荷作用的情况下,探讨基于其安全承载条件的力学关系数理表征,从而为适应实际应用的泡沫金属芯复合圆轴具体参量设计提供相应的参考。

1 分析模型

本文研究以泡沫金属为芯体、致密圆管为外壳的复合圆轴(参见图1)在外加扭转载荷作用下的力学关系。其中泡沫金属为三维网状多孔结构,可建立其简化结构模型即八面体模型(参见图2)来进行分析讨论[17-18]。本工作目前仅探讨关于上述研究对象在扭转方面的最简单问题:该复合圆轴的承载方式为单纯的外加扭转作用,而且其泡沫芯体和致密外壳之间牢固地连接为一个整体(例如两者为冶金结合或强力胶结),保障复合构件在外加扭转载荷作用下不会产生芯体与外壳的分裂。于是,当复合圆轴承受扭转载荷时,失效的产生将主要源于两个方面:一是致密圆管外壳的切应力达到和超过其对应材质的许用切应力,引起致密圆管的剪切破坏;二是源于其名义扭矩的泡沫金属芯体名义切应力导致内部孔棱中产生的最大拉应力,若达到和超过对应密实材质的许用正应力大小时,将会萌发芯体多孔结构的整体性破坏。圆管外壳的破坏意味着复合圆轴的主体承载功能失效,泡沫芯体的破坏则不但意味着复合圆轴的辅助承载功能失效,更意味着复合圆轴的减振、降噪以及热交换等物理功能的失效。

图2 泡沫金属内部孔隙单元的八面体结构模型Fig.2 Octahedral structure model of pore units in the metal foam

2 力学关系推演

2.1 对致密芯体、致密外壳的复合圆轴

直接运用工程力学和材料力学中关于圆轴切应力的有关表达,即有:

当0

(1)

当Rc

(2)

式中:r为离开复合圆轴轴线的距离;Rc和Rs分别为芯体和外壳的半径;τc(r)和τs(r)分别为芯体内部和外壳内部离开圆轴轴线距离r处的切应变;Gc和Gs分别为芯体和外壳的切变模量;γ(r)为离开圆轴轴线距离r处的切应变;dφ/dx为圆轴的单位长度相对扭转角。

又由

Mc+Ms=Mx

(3)

可知

(4)

式中:Mx为复合圆轴所承受的总扭矩;Mc和Ms分别为复合圆轴的芯部和壳部承担的扭矩;A为圆轴横截面的面积,dA为圆轴横截面的面积元。

将式(1)和(2)代入式(4),得

(5)

有

(6)

可得

(7)

式中:Ipc和Ips分别为复合圆轴的芯部和壳部的截面极惯矩。

当r=Rc,结合式(1)和式(7)有复合圆轴芯体安全承载关系:

(8)

式中:τc-max和[τc]分别为芯体最大切应力和芯体材质许用切应力。

当r=Rs,结合式(2)和式(7)有复合圆轴壳体安全承载关系:

(9)

式中:τs-max和[τs]分别为外壳最大切应力和外壳材质许用切应力。

2.2 对泡沫芯体、致密外壳的复合圆轴

直接通过几何关系,可得出八面体模型中的孔棱长度(L)为

(10)

式中:a为包容单元八面体的立方格子边长,大致相当于多孔体的孔径尺度。

将泡沫金属中的孔棱作圆柱状近似处理,同样可由几何关系亦可得孔棱半径(r)为

(11)

式中:θ为多孔体的孔率。

由文献[18]中的有关推演结果可知,孔棱的惯性矩(Iz) 为

(12)

由式(11)和式(12)可得孔棱的抗弯载面模量为

(13)

可进一步修正为

(14)

式中:kW0为孔棱抗弯载面模量的几何形状尺寸修正系数。

又由文献[18]可知,多孔体在扭转载荷的作用下,其内部孔棱端点受到垂直于孔棱轴线的横向力的最大值,将发生在多孔芯体表层的孔隙单元中,其大小为

(15)

式中:τc-max为多孔芯体中发生的最大名义切应力,即多孔芯体表层的名义切应力。

根据工程力学基本关系,由式(10)、(14)、(15)可得出孔棱横截面上的最大正应力的大小为

(16)

(17)

(可见K0与kW0类似,为孔棱的几何形状尺寸综合修正系数,取决于材质和制备,是个材料常数)

得

σc-max=K0·(1-θ)-3/2·τc-max

(18)

将式(8)代入式(18),从而可得出复合圆轴芯体安全承载关系为

(19)

式中:[σc]为芯体材质的许用正应力。此时复合圆轴壳体的安全承载关系表达仍同式(9)。

由文献[22],对各向同性材料有

(20)

式中:G为材料的切变模量;E为材料的杨氏模量;μ为材料的泊松比。

又由文献[17,23],孔率为θ的多孔材料的表观杨氏模量(E)可近似表示为

E≈KE·{(1-θ)3/2/[1-0.53(1-θ)1/2]}

(21)

式中:KE为决定于材质种类的材料常数。

多孔材料的表观泊松比(μ)则是一个与孔率无关的材料常数[17,23]:

μ≈Kμ

(22)

式中:Kμ也是一个材料常数,其取决于多孔体的制备工艺,与孔率参量无关。

结合式(20),(21)和(22),得到复合圆轴多孔芯体的切变模量:

Gc≈KE·{(1-θ)3/2/
[1-0.53(1-θ)1/2]}/[2(1-Kμ)]

(23)

即

Gc=KG·(1-θ)3/2/[1-0.53(1-θ)1/2]

(24)

式中

KG=KE/[2(1-Kμ)]

(25)

仍然是个材料常数,它与多孔体的孔率无关,而取决于材质种类和多孔体的制备工艺。

又由文献[18]中的有关推演结果,知多孔芯体的截面极惯矩为

(26)

而由文献[24],则可直接得出致密壳体的截面极惯矩为

(27)

将式(26)和(27)以及式(24)一同代入式(18),可进一步得出复合圆轴芯体的安全承载关系:

(28)

由此得出

(29)

整理得

(30)

转化得

(31)

即有

(32)

式中

(33)

也是个材料常数。

3 讨论

承受扭转载荷是工程构件应用中经常遇到的情况。工程上传递转动功率及其他承受扭转载荷的轴件一般都为金属圆轴,其内力形式主要是扭矩。这些轴件在工作过程中,其近轴线部分承受的扭矩较小,远离轴线部分承受的扭矩较大。因此,为减轻构件的重量,工程上也经常采用空心轴的形式。泡沫金属具有吸能减振、消音降噪以及内部流体介质热交换等功能[1-3,16],如果将泡沫金属作为芯体填充于空心轴内部,则既可减小系统振动而提高运转的稳定性,又可降低系统工作噪音而提升环境质量,而且还有更好的散热功能。如此,有望获得一种减振降噪、工作稳定性好的新型轴件。这样形成的泡沫金属芯复合圆轴,将具有比一般的常规轴件更优越的使用属性。

多孔材料性能的优化设计一直是一项令人颇感兴趣的重要工作[3,16,25,26],最大限度地发挥材料的性能优势是优化设计的最终目标[25]。合理的泡沫金属夹芯结构设计,首先需要知悉其整体承载强度等相关力学关系的数理表征。承受扭转的圆柱构件单元体处于纯剪切的受力状态,材料的剪切强度低于拉压强度时发生始于外表面沿横截面的剪断破坏,材料的拉伸强度低于剪切强度则会在与轴线成45o角的螺旋面上发生拉断破坏[22]。但泡沫金属构件的情况不同于致密体。泡沫金属的整体失效和破坏源于其内部孔棱或孔壁的失效和破坏,而泡沫金属在扭转载荷作用下其孔棱出现拉断和剪断等失效模式的可能性都将存在[16,27,28],但一般是孔棱呈现拉断模式为主。实际发生的模式与对应致密材质的性质以及多孔体的孔隙结构等因素均有关系。对于泡沫金属与致密金属外壳组成的夹芯结构,其中泡沫金属芯体也要承受整体外加载荷的一部分,因此其失效与致密外壳的破坏将会互相影响。这种失效模式又直接关联着该复合结构整体的载荷强度。如果知道了对应复合结构载荷强度等力学条件与泡沫金属芯体和金属外壳指标之间的关系,就可以实现对整体结构在不同载荷水平的优化设计,如重量设计、尺寸设计、用材设计等。利用得出的这种泡沫金属复合结构承受扭转载荷时的强度表征等力学关系,有助于获得满足对应载荷条件安全使用要求的复合结构优化设计方案。

诚然,圆管在扭转载荷下还可能发生屈曲。文献[3]指出,对于某些非圆截面实体的构件,可能需要特殊考虑其应力计算:如截面有较薄的壁,也许会额外增加扭转轴的屈曲破坏。本文研究的复合圆轴,由于芯部泡沫金属的存在,大大提高了整体构件的刚度,因而圆管外壳的屈曲破坏可能性大大降低。因此,本文对这个附加问题暂不予讨论,留待以后的工作进行进一步的研究。

另外,非圆截面杆在扭转时,其横截面还将发生翘曲,但纯扭转(自由扭转)条件下其横截面上仅产生切应力,为纯剪切状态[22]。约束扭转条件下非圆截面杆横截面上将产生附加正应力,但对一般实体构件很小而可忽略。然而,对于非圆截面薄壁杆件,这种正应力不可忽略,需要考虑。本文讨论的是圆管外壳与泡沫芯体的复合圆轴在纯扭转状态下的力学关系,因此暂不涉及非圆截面薄壁杆件的这类附加问题。

本工作对泡沫金属芯圆轴的扭转行为进行了研究,探讨了其在扭转载荷条件下安全承载的力学关系表征。在此基础上,即可直接得出该复合圆轴构件在相应载荷形式下的安全承载判据。这些工作结果可以为该泡沫金属芯复合圆轴结构的综合优化(包括力学指标与结构重量、尺寸等因素的组合优化)、用材设计、实际应用和制备工艺优选等提供参考。

总之,本工作推演建立了泡沫金属复合圆轴结构在对应扭转载荷形式下承载极限的力学关系数理表征。利用所得结果可方便地对该复合圆轴进行强度设计,实现其承载能力与用材、结构尺度、重量等因素的优化组合。此外,本工作所获得的结果,对了解泡沫金属复合结构的扭转性能有良好的科学意义,对提高轴件的综合性能也有良好的参考作用。

4 结论

1) 在致密芯体、致密外壳的复合圆轴中,芯体和壳体安全承载关系分别为

(34a)

和

(34b)

式中:Gc和Gs分别为芯体和外壳的切变模量;Rc和Rs分别为芯体和外壳的半径;Mx为复合圆轴所承受的总扭矩;Ipc和Ips分别为复合圆轴的芯部和壳部两者的截面极惯矩,[τc]和[τs]分别为芯体材质许用切应力和外壳材质许用切应力。

2) 在泡沫金属芯体、致密金属外壳的复合圆轴中,承载能力相对薄弱部分即芯体的安全承载关系为

(35)

式中:K和KG均为材料常数,取决于泡沫金属芯体的材质种类和多孔体的制备工艺;Rc和Rs分别为芯体和外壳的半径;Mx为复合圆轴所承受的总扭矩;Gs为外壳的切变模量;θ为泡沫金属芯体的孔率;[σc]为芯体材质的许用正应力。

3) 在泡沫金属芯体、致密金属外壳的复合圆轴中,主体承载部分即壳体的安全承载关系为

(36)

式中符号意义同前。