考虑梁弯扭耦合对钢轨横向振动特性的影响

豆银玲 ，韦 凯 ，曹 勇 ，王绍华 ，亓 伟 ，王 平

（1.西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031；2.成都工业职业技术学院，四川 成都610031；3.西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031；4.奥克兰大学机械学院，奥克兰 1010）

随着我国城市轨道交通规模的扩大以及运营速度的不断增加，轨道交通所引发的环境振动污染问题也日益显著.因此，不少学者通常采用数值仿真的方法对轨道系统的振动和噪声进行预测[1-3].而建立合理的钢轨-扣件耦合模型和选取符合实际运营条件的轨道结构动参数对准确地分析钢轨振动问题极为重要.

在以往研究中，长直无限长钢轨主要采用经典Timoshenko 梁模拟.由于钢轨横截面的剪切中心与质心不重合，在横向荷载作用下，钢轨横截面质心偏移将引起钢轨横向弯曲与扭转的耦合变形，即弯扭耦合变形[4].而经典的Timoshenko 梁不能考虑钢轨弯曲和扭转变形的耦合作用.此外，车辆在轨道上运行时，钢轨会承受来自横向、垂向与扭转荷载的共同作用.Vincent 等[5]指出垂向和横向对轨道系统辐射噪声的相对贡献量主要取决于车轮与钢轨的接触位置以及各个波沿钢轨的衰减特征.如果接触点明显偏移，由横向振动引起的辐射噪声可能会达到甚至超过垂向的贡献.Kostovasilis 等[6]提出忽略扭转与横向的耦合作用将会低估钢轨的横向振动响应.通过引入经验系数能近似考虑垂横向之间的交叉耦合作用，但该系数不具有普遍性.Timoshenko 等[7]首次提出了薄壁梁的弯扭耦合振动理论.随后该理论得到广泛应用，如航空航天、汽车和民用建筑行业等.Li 等[8]利用解析法分析轴向加载的复合薄壁Timoshenko 梁在各种集中和分布荷载作用下的弯曲与扭转耦合动力响应.易强[9]采用考虑弯扭耦合的Timoshenko 梁模型描述高速铁路无砟轨道结构，通过对比现场锤击得到的钢轨横向一阶pinnedpinned 共振频率与理论计算的结果，发现两者较为吻合.农兴中等[10]通过测试地铁常用减振轨道钢轨的横向加速度导纳，发现钢轨的横向振动特性比垂向振动更为复杂，且钢轨的横向振动包括横向弯曲波和扭转波.综上可知，如果不考虑钢轨横向弯曲与扭转的耦合作用，将可能影响实际横向弹性波在钢轨中的传播特性.

另一方面，扣件胶垫动参数也是影响轨道动力特性的重要结构参数.为了更准确地预测钢轨的横向振动响应，需考虑实际运行条件下列车附加的垂向预压对扣件胶垫等高分子材料的动力性能的影响[11].Thompson 等[12]通过测试胶垫扭转刚度发现，由于扭转刚度测试频率范围有限，可根据均质材料特性用胶垫垂向刚度估计扭转刚度.因此，垂向预压力变化将引起扭转刚度产生相应的黏弹性动力性能，而采用本文提出的考虑弯扭耦合的Timoshenko可分析扣件胶垫垂向预压特性对轨道横向动力响应特性的影响.

鉴于此，为准确预测弹性波在钢轨中的传播特性，亟需建立合理的钢轨-扣件耦合模型和考虑扣件胶垫垂向预压特性的影响.为此，本文基于波谱-辛混合法建立了考虑梁弯扭耦合的整体道床无砟轨道空间无限长模型，通过对比分析未考虑钢轨横向质心偏移与采用经典Timoshenko 梁模型的计算结果，验证本文建立模型的正确性.在此基础上，探究了不同预压下扣件胶垫动态黏弹性力学性能对钢轨横向速度导纳的影响规律.最后，通过对比分析实测与理论计算的不同预压下钢轨横向一阶弯曲共振频率，从而阐明考虑梁弯扭耦合和扣件胶垫动态黏弹性力学性能的必要性.

1 不同垂向预压下钢轨横向锤击试验

为了获取不同垂向预压力下钢轨横向一阶弯曲共振频率，以地铁常用的DZIII 型钢轨-扣件系统为测试对象，通过千斤顶在垂向施加不同的预压力，利用力锤横向锤击钢轨轨头得到不同预压力下钢轨横向加速度导纳.

1.1 试验设备与测试工况

测试装置主要采用东方所 INV3018CT 型采集仪、力锤（灵敏度为 0.197 mV/N）以及加速度传感器，设置采样频率为2 000 Hz，传感器布置及锤击位置如图1 所示.测试工况主要依据我国规范[13]中测试车辆准静态荷载作用下钢轨扣件弹性垫板动刚度的加载范围选取，由于现有装置的加载限制，本次试验主要选取30、40 、50 kN 作为施加在钢轨上的垂向预压力.实际运行中列车作用在扣件胶垫上的预压一般在0～50 kN 变化[14].在本次试验中，将千斤顶的预压力取为30～50 kN，使该预压力对钢轨横向振动特性有较明显的影响.

图1 钢轨横向加速度导纳测试装置Fig.1 Schematic of testing device of lateral acceleration admittance of rail

试验模型中采用安装状态下的单跨钢轨，通过扣件系统安装在混凝土基础上，上部通过闭环钢板顶住千斤顶.通过在理论模型中考虑梁的弯扭耦合特性和扣件胶垫采用空间模型的方法，模拟改变垂向预压力对钢轨横向振动特性的影响.试验中通过力锤横向锤击钢轨轨头，在上部千斤顶约束下，由于钢轨横截面质心与剪切中心不重合使得钢轨产生弯扭耦合作用.

1.2 不同垂向预压下钢轨横向加速度导纳

采用千斤顶给钢轨施加垂向预压力时，测试的轨道结构与周围的钢板框架形成整体振动，将使得测试结构的刚度增大.为了消除外围钢板结构的参振影响，采用本文装置进行试验时，在千斤顶与钢轨中间放置软橡胶垫等可提供良好弹性的结构，且保证结构具有一定厚度以达到较好的隔振效果.获取加速度导纳时，确保有5 次有效锤击结果，最终结果取其平均值.试验有效分析频率的下限值由加速度导纳的相干系数决定，本节分析段内的相干系数均在0.8 以上.本次试验中锤击力为瞬时定点动荷载，通过傅里叶变换到频域为简谐荷载，与下文理论部分所用的频域激励荷载一致.图2 给出了垂向30 kN预压下钢轨横向加速度导纳5 次锤击结果.观察图2 可知，30 kN 预压下钢轨横向一阶弯曲共振频率为132.8 Hz.由于在40、50 kN 预压下钢轨5 次力锤敲击均具有良好的测试结果.因此，仅展示5 次测试结果的平均值.垂向预压力分别为30、40、50 kN 时，锤击得到的钢轨横向加速度导纳平均值如图3 所示.根据图3 中多次力锤敲击获得的钢轨横向加速度导纳平均值可知，在30、 40、50 kN垂向预压下，钢轨横向一阶弯曲共振频率分别为132.8、140.6、146.5 Hz.

图2 垂向30 kN 预压下钢轨横向加速度导纳Fig.2 Lateral acceleration admittance of rail under vertical preload of 30 kN

图3 不同预压下钢轨横向加速度导纳测试结果平均值Fig.3 Average test results of lateral acceleration admittance of rail under different preloads

2 考虑梁弯扭耦合的整体道床无砟轨道空间无限长模型

为准确高效求解钢轨振动特性，本节采用考虑弯扭耦合的Timoshenko 梁模型模拟钢轨，采用波谱单元法（SEM）和辛数学方法[14]建立整体道床无砟轨道空间无限长模型.

2.1 考虑弯扭耦合的Timoshenko 梁的波谱单元动刚度矩阵

首先建立考虑弯扭耦合的Timoshenko 梁动力学运动方程：

式中： δ(•) 为狄拉克函数；m为单位长度质量；Fy(x,t)、Fz(x,t)、T(x,t)分别为时刻t作用于轨梁上纵向x位置处的横向力、垂向力和扭转力矩；uy、uz分别为垂向和横向位移；θx、θy、θz分别为扭转转角、横向转角和垂向转角；Ky和Kz分别为横向和垂向剪切修正因子；Iy、Iz和J分别为横向、垂向截面惯性矩和截面扭转常数；A为横截面面积；ρ为密度；I0为转动惯量；y0为钢轨质心至剪心的垂向距离；E、G分别为曲线梁的弹性模量和剪切模量；Kyp、Kzp和Kxr分别为扣件胶垫横向、垂向和扭转刚度；xrj为第j个扣件支点坐标；Nr为研究范围内扣件支点个数.

为分析钢轨的振动特性，首先将钢轨运动方程进行傅里叶变换到频域，不考虑外荷载作用，得到频域内钢轨的振动方程.钢轨自由波解存在以下形式：

式中：U(•) 为时域位移；U1(•) 为频域内位移；U2(•)为波数域位移；ω为角频率；k为波数.

由于钢轨运动位移之间存在耦合关系，可令钢轨频域位移为

式中：b、c为未知量；R1、T1、T2均为波模态振幅特征系数.

采用波数法求解自由梁的波数k，将式（6）、（7）代入式（1）～（5）可得钢轨自由波动方程为

以梁的横向运动为例，通过整理式（10）～（12）可得横向弯曲波和扭转波的6 个波数，其特征方程为

式中：X11=-mω2+GAKzk2；X12=-ikGAKz；X13=my0ω2；X21= -X12；X22=-ω2ρIy+EIyk2+GAKz；X23=0；X31=X13；X32=X23；X33=-ω2ρI0+GJk2.

式（13）可写为

令X=0，可得自由梁的特征方程为

式中：e1～e4为系数.

应用范盛金公式[14]对式（15）进行求解，可求解得到k的6 个取值k1～k6.根据波数ki可计算式（13）中对应的模态系数T1、T2.

将求得的波数和对应的模态系数代入式（7），便可得到自由梁频域-波数域位移.同理，可得垂向位移和垂向转角的表达式.结合Timoshenko 梁的位移边界条件可消除位移中的系数b和c，得到频域内的位移.

求得自由梁波数后，便可根据钢轨频域运动方程求解梁波谱动刚度矩阵，进而可利用动刚度矩阵法求解梁的位移.为准确方便获得波谱动刚度矩阵，采用变分法对梁频域-波数域位移进行变分.对横向和扭转运动方程进行变分，可得其弱积分形式为

式中：l为扣件间距.

根据材料力学中梁内部荷载与位移的关系，通过分步积分，可得降阶后的变分方程，进而将消除系数的位移表达式代入式（16），可得结构横向和扭转位移的谱单元方程为

式中：Dc(ω)=GAKz(-KcEzKc+iKcEzT1)-EIyT1KcEz×KcT1+GAKz(T1EzT1+iT1EzKc)-GJT2KcEzKcT2-ω2m×Ez-ω2(ρIyT1EzT1-my0EzT2+ρI0T2EzT2-my0T2Ez)=,Kc=diag[k1k2···k6],Ez=(x,ω)ez(x,ω)×dz=,Eci j如式（18），ez(x,ω)=diag[e-ik1xe-ik2x···e-ik6x] ；Hc为根据位移边界条件得到的用于消除未知系数c的矩阵.

式中：a,b=1,2,···6.

同理，可用同样的方法得到纵向和垂向运动方程的谱动刚度矩阵Su.

2.2 整体道床轨道空间无限长模型的建立

本节基于上述推导的考虑梁弯扭耦合的波谱单元动刚度矩阵，建立考虑梁弯扭耦合的整体道床无砟轨道空间无限长模型.由于整体道床及其下部基础刚度很大，整体道床无砟轨道可视为周期离散点支承的钢轨-扣件系统，如图4 所示，图中：Cyp为扣件胶垫阻尼；I为截面惯性矩，因此，能够应用辛数学方法[15]等求解该类轨道结构的动力响应.钢轨-扣件周期子系统的动刚度矩阵Kt如式（19），由扣件系统动刚度矩阵Kp（式（20）与钢轨波谱单元动刚度矩阵Kg（式（21））构成，其中，单个子结构的钢轨动刚度矩阵是由单元1 和单元2 动刚度矩阵集成的，如图4 中子结构所示.

图4 钢轨-扣件系统的整体结构与周期子结构示意Fig.4 Overall structure and periodic substructure of a rail-fastener system

式中：Crp和Krp分别为胶垫的阻尼矩阵和刚度矩阵；分别为结构单元1、2 的钢轨刚度矩阵，=Su(ω)Pv+Sc(ω)Pl，Pv和Pl分别为使谱刚度矩阵Su和Sc扩展到整体矩阵的转换矩阵，式同.

式（21）中不考虑扣件胶垫的质量，扣件胶垫作用于钢轨的物理模型如图5.图中：C为质心；S为剪切中心；ωF为激励圆频率；Czp为横向阻尼系数；hr2为轨底距离；Kzp为横向刚度；br2为底宽的1/2.

图5 钢轨横截面示意Fig.5 Schematic of rail cross section

由于采用辛数学理论[15]求解周期结构的方法是成熟的，这里将不再赘述.

2.3 模型正确性验证

本节采用与现有文献计算结果进行对比来验证上述提出的模型和计算方法的正确性.根据文献[3]中的参数，采用波谱-辛混合法计算有砟轨道结构的钢轨速度导纳.由于文献[3]中采用的梁未考虑弯扭耦合，应用上述模型计算时，将y0取为无穷小，即10-7，再与文献[3]计算结果进行对比.

本文与文献[3]关于钢轨跨中垂向速度导纳的计算结果对比如图6 所示.

图6 钢轨跨中垂向速度导纳Fig.6 Vertical velocity admittance of a rail at the mid-span

由图6 可知，本文采用的波谱-辛混合法计算的结果和文献中采用解析法所得结果基本一致，验证了本文采用的模型和方法的可靠性.

3 胶垫垂向预压特性对钢轨横向振动特性的影响规律

分析考虑梁弯扭耦合与否对钢轨横向和扭转固有频率的影响规律，并与传统有限单元法（FEM）的计算结果进行对比分析，进一步验证本文建立模型的正确性；采用文献[16]测得的不同预压下扣件胶垫动参数，计算分析其对钢轨横向速度导纳的影响规律，并对比分析仿真的与试验获得的不同预压下钢轨横向一阶弯曲共振频率.

3.1 考虑梁弯扭耦合对Timoshenko 梁横向和扭转固有频率的影响分析

为便于应用有限元软件进行模态分析，将钢轨视为一根两端简支支撑的Timoshenko 梁，选取总长为5.9 m 的梁进行计算分析，该长度已足够有效计算钢轨前20 阶固有频率.其几何和材料属性可参考文献[2]给出的T60 轨的相关参数，轨道结构其他参数如表1 所示.

表1 轨道结构参数Tab.1 Structural parameters of rail

为了获得简支梁固有频率，首先，对式（21）获得的动刚度矩阵施加相应的简支梁边界条件使其行列式为0，然后，采用Wittrick-Williams 算法[17]搜索其根值，继而得到准确的固有频率，如表2 所示.采用FEM 进行计算时，Beam188 梁单元采用钢轨实体截面，由于采用不同的单元数对计算结果有较大的影响，这里给出了单元数n分别取20、100、1 000 时简支梁的固有频率（表2）.

表2 Timoshenko 简支梁横向弯曲和扭转固有频率Tab.2 Lateral bending and torsional natural frequencies of a simply-supported Timoshenko beamHz

从表2 中可以看出：FEM 采用单元数为1 000时与SEM 采用一个单元计算得到的固有频率相近.为了提高计算效率，有限单元数为100 时便可得到相对准确的结果.考虑梁的弯扭耦合振动主要使得钢轨3 阶以上模态的固有频率增大，而其中一些偶数阶模态的固有频率减小.

3.2 考虑梁弯扭耦合对钢轨横向振动特性的影响分析

扣件胶垫采用分数阶Zener 模型模拟[16].为分析考虑Timoshenko 梁弯扭耦合对钢轨振动特性的影响，图7 给出了横向单位简谐激励荷载下考虑梁弯扭耦合与否的钢轨横向速度导纳和扭转速度交叉导纳.图中实线为梁弯扭解耦条件（情况1）下的横向和扭转速度导纳，虚线为考虑梁弯扭耦合变形（情况2）的结果.

图7 考虑梁弯扭耦合对钢轨横向和扭转速度导纳的影响Fig.7 Influence of vertical preload dependence of fastener pads on lateral velocity admittance of rail

考虑梁弯扭耦合对钢轨横向和扭转速度导纳有相似的影响，使其第1 个峰（图中记为fl）的频率从110.1 Hz 增加到139.6 Hz，增加了大约29.6 Hz，即钢轨相对扣件子系统的横向弯曲共振频率，峰幅值略微增加.同时，从表2 中可以看出，当钢轨固有频率接近fl时，考虑梁弯扭耦合的钢轨固有频率大于梁弯扭解耦时对应的值.然而，对于横向速度导纳，其第2 个峰值（图中记为flp1）的频率减小了大约47.0 Hz，即钢轨横向一阶pinned-pinned 共振频率，且该pinned-pinned 模态出现在扭转速度导纳曲线上，这是由于考虑了梁的弯扭耦合作用.同时，从横向速度导纳曲线可以发现，考虑梁弯扭耦合，其具有扭转一阶和二阶pinned-pinned 模态引起的峰值（图中记为ftp1和ftp2）.考虑梁弯扭耦合对钢轨横向二阶pinnedpinned 共振频率（图中记为flp2）影响较小.

下文通过结合实测与计算的不同垂向预压下钢轨横向一阶弯曲共振频率，说明考虑梁弯扭耦合的必要性.

3.3 胶垫垂向预压特性对钢轨横向弯曲振动特性的影响分析

不同垂向预压下，在横向单位简谐荷载激励时钢轨跨中轨头原点横向速度导纳如图8 所示.由图可知，考虑扣件胶垫预压特性主要影响钢轨横向中低频振动，即横向一阶pinned-pinned 共振频率以下，而对其pinned-pinned 共振频率几乎没有影响.随着垂向预压力的增大，钢轨横向弯曲共振频率增大，而该频率以下的振动幅值略微降低.

图8 扣件胶垫垂向预压特性对钢轨横向速度导纳的影响Fig.8 Influence of the vertical preload dependence of rail pads on the lateral mobility of rail

与考虑梁弯扭耦合相比，不考虑梁弯扭耦合时钢轨具有更高的横向弯曲共振频率，为详细分析不同垂向预压下考虑梁弯扭耦合与否仿真的和实测的钢轨横向一阶弯曲共振频率的关系，图9 给出了三者随预压变化的取值.

图9 不同预压下钢轨横向弯曲共振频率的实测与仿真值Fig.9 Measured and simulated results of lateral BRF of rail under different preloads

由图9 可知，随着预压的增大，考虑梁弯扭耦合得到的钢轨横向共振频率变化规律与实测的结果更为接近.由于钢轨扭转共振频率高于横向弯曲共振频率，考虑梁弯扭耦合特性使得钢轨横向弯曲共振频率高于未考虑的.受扭转振动的约束，随着预压的增大，考虑梁弯扭耦合使得钢轨横向弯曲共振频率变化范围较未考虑的减小.当预压从30 kN 增加到50 kN时，实测的横向弯曲共振频率增加了13.7 Hz，考虑梁弯扭耦合时其增加了12.5 Hz，而未考虑时其增加了21.7 Hz.因此，考虑梁弯扭耦合能更准确地预测钢轨的振动特性.

4 结 论

本文主要研究结论如下：

1） 本文提出的波谱-辛混合法具有较好的计算精度和效率.SEM 采用1 个单元计算得到的固有频率值与传统有限元采用单元数为1 000 时更相近.

2） 通过锤击试验发现，随着垂向预压力从30 kN增加到50 kN 时，测得的钢轨横向一阶弯曲共振频率从132.8 Hz 增加到146.5 Hz.

3） 考虑梁弯扭耦合使得钢轨横向弯曲共振频率增加了大约29.6 Hz，而其一阶pinned-pinned 共振频率明显减小了大约47.0 Hz.同时，钢轨横向弯曲和扭转pinned-pinned 模态相互参与彼此的振动.因此，钢轨横向和扭转振动频谱更丰富.

4） 扣件胶垫垂向预压特性主要影响钢轨横向中低频振动，随着预压的增大钢轨横向弯曲共振频率增大.当预压从30 kN 增加到50 kN 时，实测的横向弯曲共振频率增加了13.7 Hz，考虑梁弯扭耦合时其增加了12.5 Hz，而未考虑时其增加了21.7 Hz.因此，为准确预测钢轨的振动响应，对轨道结构进行数值仿真时需考虑梁的弯扭耦合作用.