以形助数 以数解形——谈数形结合思想在小学数学教学中的应用策略

文/孔秀云

众所周知，数学是数量关系与空间形式紧密结合的一门学科，是以研究“数”与“形”为主的学科。小学数学的四大领域均以“数”与“形”为基础。同时，数学是由抽象、概括客观现象而形成的一种语言和工具。数学学科的如此特点，证明了数形结合思想的重要性，驱动教师在数学教学中应用数形结合思想。数形结合思想是依据“数”（抽象的数量关系）“形”（直观的空间形式）的对应关系与互补优势，通过相互转化解决数学问题的思想方法，具体表现为以形助数和以数解形[1]。实践证明，“数”与“形”的结合，可以化抽象为具体，化复杂为简单，降低数学学习难度；使学生透过问题表述和形式，感知问题内在含义，增强数学认知；可以使学生在互换“数”“形”的过程中，发展观察能力、思维能力等。基于此，在小学数学教学中，教师应从以形助数和以数解形入手，通过多样策略应用数形结合思想，助力学生建构数学认知，掌握数学思想方法，发展数学学习能力，提高数学学习效率。

一、以形助数

以形助数是指用“形”解决“数”的问题，促使学生直观地认知“数”[2]。“形”的形式多种多样，如生活实物、线段图、数学模型等。在应用数形结合思想时，教师要依据课堂教学需要，选用不同的“形”，助力学生学习“数”。

（一）用“形”，认识“数”

数的概念是数学学科的基础内容，具有抽象性。学生借助各种“形”，如生活实物，可以直观地认知数字，理解数字的含义，学会用数字表示事物的数量。如利用数学小棒或计算器，直观地了解不同数位上的数字所表示的意义；借助正方形、圆形等，直观地感受小数、分数的性质。因此，在数学课堂上，教师要联系教学需要，用“形”引导学生认识“数”。

例如，在“时、分、秒”的课堂教学中，为使学生认知“1 秒”，教师呈现时钟，引导学生闭上眼睛，静静地听。当听到“滴嗒”一声时，学生感受到了“1 秒”。为了使学生增强感受，教师提出要求：“在听的过程中，一听到‘滴答’声就拍一下手。”于是，学生边倾听边拍手，由此直观地感受到1 秒有多长。接着，教师按照如此方式，鼓励学生发散思维，用其他方式表示1 秒。在已有数学认知和生活经验的作用下，学生联想到了多样的表示方法，如眨眼睛、踏脚等。在应用这些方法的过程中，学生继续直观地感知1 秒。然后，教师沿用此方式，使用不同的“形”引导学生认识“1 分钟”和“1 小时”。

实践证明，在直观的“形”的作用下，学生轻松地学习和掌握了数学知识。同时，一些学生因此感受到“数”与“形”的关系，便于自主地借助“形”认识“数”，提高数学学习效率。

（二）用“形”，运算“数”

运算是以“数”的认识为基础的活动，是数学教学中不可或缺的一部分。算理是学生进行运算的“工具”。学生借助各种“形”可以理解运算背后的算理[3]。如借助小棒、纸片等进行整数运算，理解运算定律；借助正方形、圆形等进行平均分割，理解分数背后的运算法则。由此，在数学教学中，教师可用“形”引导学生探究算理。

例如，在“同分母分数加减法”的课堂教学中，教师向学生提出如此问题：“有一块月饼，妈妈把它平均分为八份。爸爸吃了三份，妈妈吃了一份。请问，爸爸和妈妈一共吃了多少块月饼？”借助此问题，学生迁移已有认知，列出算式。对此，教师追问：“如何计算出结果呢？”同时，为了使学生顺利地解决问题，教师引导学生在纸张上画图，表示出。在画图的过程中，大部分学生将一个圆平均分为8 份，为其中的4 份涂色。此时，学生直观地得出结果：。教师就此进行赞赏，并提问：“。为什么分母没变？分子是如何得到的？”在问题的作用下，学生审视画图内容，积极思维，有所发现，分母相同，可以直接用分子相加。立足于此，教师在交互式电子白板上演示计算过程，并结合此过程，归纳算理：计数单位相同的数可以直接相加。

由此可见，在“形”的助力下，学生一步步地探究到算理，便于做到知其然，知其所以然，提高运算水平。

（三）用“形”，整理“数”

整理数据是以数字为基础的活动。在整理数据的过程中，学生会有规律地呈现数据，为分析数据做好准备；还会梳理、发现数与数之间的逻辑关系，为认识数、运用数奠定坚实的基础。“形”是学生整理“数”的助力。如学生可以利用条形统计图、扇形统计图等，清晰地展现杂乱的数据，由此轻松地发现数量多少或数量所占的比重等。因此，在数学课堂上，教师应依据教学需要，借助“形”引导学生整理“数”。

例如，在“条形统计图”这节课上，教师向学生呈现了本地上月的天气情况。在学生观察时，教师提出问题：“上个月有多少种天气？每种天气有多少天？”在问题的作用下，学生数出天气的种类及其对应天数，并积极思维，联想到不同的表示方法，有的学生绘制统计表，有的学生绘制条形统计图。然后，教师挑选统计表和条形统计图，并提问：“请对比这两种统计方式，判断哪一种可以更加直观地展现信息？”受到任务的驱动，学生认真对比，直观地发现条形统计图的优势，并主动进行描述。立足学生的描述情况，教师做出总结：“条形统计图用一个单位长度直观地展现了一定的数量，并按照一定的顺序排列不同长短的条形，借此表示出数量的多少。”由此，学生增强了认知，增强了课堂学习效果。

实践表明，学生通过“数据—表格—条形统计图”直观地了解了条形统计图，扎实掌握了课堂所学。

（四）用“形”，解决“数”

解决“数”是指解决数的问题。数的问题具有抽象性。小学生的形象思维较为发达，但抽象思维能力不强。“形”可以直观展现“数”，助力学生获取解决问题的思路和方法。例如，学生在阅读数学问题后，将问题中的条件呈现在线段图上，可以直观地厘清条件关系，由此解决问题。对此，在数学教学中，教师可借助“形”，引导学生解决“数”。

例如，在课堂上，教师向学生呈现以下应用题：“早上，明明和红红同时从家里出发上学。他们相向而行。已知，明明每分钟走70 米，红红每分钟走60 米。两人走在3 分钟后相遇。请问，他们两家相距多少米？”读题后，大部分学生陷入迷茫。于是，教师把握时机，向学生提出画图要求：“请根据问题条件，画出线段图。”在此要求的驱使下，学生积极思维，分析问题条件，精心绘制线段图（如图1）。

这样的线段图直观地展现了已知条件、未知问题以及二者间的关系。在线段图的助力下，学生归纳出其中蕴含的数量关系：红红家和明明家的距离=红红走的路程+明明走的路程。根据如此数量关系，学生轻松地列出算式，计算出结果。

由此可见，借助“形”引导学生解决数的问题，不但可以使学生直观地理解题意，明确解题思路，获得解题方法，还可以使学生建构形象思维与抽象思维之间的联系，便于向抽象思维过渡，提高抽象思维能力。

二、以数解形

以数解形是指用“数”来解释图形的性质，促使学生精准地认知图形。“数”的形式多种多样，如数学符号、数学语言等。在应用数形结合思想时，教师应根据教学内容，选择适宜的“数”，引导学生认知图形。

（一）用“数”认识“形”

尽管图形本身具有直观性，但表达过于直白，学生难以了解特征与性质。如学生无法直接借由长方形、正方形等，认知到图形的共同特征。又如，学生无法借助直角三角形、锐角三角形等，了解底、高、角等特征，尤其难以用这些特征描述不同三角形之间的关系。“数”具有精准性，可以辅助学生准确认知“形”的特征。所以，在课堂教学中，教师应立足“数”的优势，结合教学需要，引导学生利用“数”认识图形。

例如，在“长方形的初步认识”的课堂教学中，教师为学生发放大小不同的长方形模具。接着，教师提出观察任务：“观察这些长方形模具，你能发现它是由什么构成的？”带着任务，学生认真观察，积极思考，直观地发现长方形由面、顶点和边构成。据此，教师追问：“数一数，长方形有多少个面？多少个顶点？多少条边？”通过数数，学生进一步认知长方形的特征：“长方形有1 个面，4 个顶点，4 条边。”在这样的特征的支撑下，学生很容易在脑海中浮现出一个长方形，加深记忆。为了使学生探究长方形的更多特征，教师继续提出任务，如“量一量长方形模具，你能发现边、角有什么关系？”在测量的过程中，学生获取数据，由此精准地认知长方形的特征，如长方形的对边相等，四个角都是直角。由此可见，学生通过观察、测量，发现了一个个“数”，由此精准地认知了长方形的特征，便于形成长方形表象，为学习长方体的表面积奠定坚实的基础。

（二）用“数”描述“形”

图形的位置和运动是数学学科的基础内容。应用“数”描述图形的位置和运动，可以使学生对图形做出精准“定位”，由此建构数学认知。如学生用前、后、左、右、上、下，东、西、南、北等方向进行描述，可以精准定位事物的位置。又如，学生用数学的语言描述图形的平移、旋转轨迹，可以对平移、旋转建构认知。因此，在数学课堂上，教师应联系课堂教学内容，引导学生用“数”描述图形的位置和运动。

例如，在“位置与方向（二）”的课堂教学中，学生要依据参照点建立坐标系，了解事物所在角度；还要根据图中的比例尺判断事物的距离。了解事物角度、判断事物距离的过程，正是学生用数学的语言描述事物位置与方向的过程。在描述的过程中，“数”是不可或缺的，否则所描述的内容毫无意义。所以，教师以教材中的插图为“工具”，直观地向学生展示平面图，呈现具体数据，借此引导学生用数学的语言进行描述。如教师引导学生观察“做一做3”中的平面图，用“台风沿着______方向移动了______米”的句式进行描述。在描述之际，学生将视线集中在数据上，发挥思维作用，判断台风的移动方向和距离。如此做法，不仅使学生借助“数”，精准地了解了物体的位置和方向，认知了所学内容，还使学生顺其自然地锻炼了数学表达能力，有利于学生学会用数学的语言表达数学，提高数学学习效率。

（三）用“数”迁移“形”

迁移“形”是学生用“数”的具体表现。例如，学生可以在把握数量关系的同时，迁移对“形”的认知，精准认知图形的周长、面积，尤其是掌握具体方法。又如，学生可以应用数量，探究立体图形的特点、概念等，由此迁移“形”，发现相同或不同之处，进而增强认知。由此可见，在数学课堂上，教师应立足学生“形”的学习情况，引导学生用“数”，迁移已有认知，积极探究“形”。

例如，在“三角形的面积”的课堂教学中，教师将探究三角形面积计算公式的权利还给学生。学生在此之前，早已学习了长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式，积累了“形”与“数”的经验，所以，在探究三角形面积计算公式的过程中，学生会迁移已有经验，动手操作，使用不同的方法，如数格子法、转化法等，得出“数”，由此推导出面积计算公式。这样不仅使学生成为数学课堂的“主人”，还使学生实现了正迁移，便于掌握数学知识与数形结合思想方法。

三、结束语

综上所述，在应用数形结合思想时，教师可以从以形助数，以数解形入手，联系数学教学的实际需要，运用多样的策略，如用“形”认识“数”、用“形”运算“数”、用“形”整理“数”、用“数”认识“形”、用“数”描述“形”等，引导学生互换“数”与“形”，以此掌握数形结合的思想和方法，发展多样能力，进而增强数学学习效果。