地下管线探测三维数据联合平差模型

张剑峰

(兰州市勘察测绘研究院,甘肃 兰州 730030)

0 引 言

城市地下管网是城市生存和发展的生命线,高质量地下管线数据对维系城市日常功能、提升防灾救灾能力至关重要,各地对地下管线精细化管理和竣工测量工作日益重视。而对已覆土的城市管线实施竣工测量时,由于干扰因素和探测方法限制,数据误差较大,往往会出现燃气、热力、给水、工业等硬管的探测结果和实际形态偏差明显,如管线转角、半径与实际不符,直线上点不共线,圆弧上点不共弧等。在实际应用中,不得不参照转角、半径等参数做一些近似性强制归化工作,导致成果精度较低,而且由于只考虑水平方向的约束,而忽略竖向分量,致使管线在三维框架下仍存在转角和半径失真,同一直线的竖向坡度不一致等情况。

由于以往管线探测项目以常规普查为主,主要目标是解决资料有无问题,加上历史资料较少,普查成果庞杂,对管线固有属性表达的精准性需求并不严格。但目前,管线测量工作的重心逐步转向竣工测量和已有成果质量的提升,各种失真情况会直接影响对设计、施工、测验等各环节的质量评价和绩效考核,原有作业模式严重影响了成果质量。目前,尚无面向三维框架的管线探测数据平差方案以供探测工作者使用,甚至相关研究也比较少。

文献[1]基于管线设计资料,通过计算管网水平和竖向闭合差以及相邻边形成面片闭合差的方法,对管线空间数据进行平差处理,但对探测数据的质量检测和优化并没有涉及。文献[2]基于管线属性逻辑、拓扑关系、空间碰撞等提出了通过建立管线检查知识规则库及其推理机,利用GIS对管线数据进行智能化检查的理论与方法。文献[3-6]研究管线可视化以及对管线数据如何利用GIS手段管理和应用。文献[7-9]阐述了大规模管线普查完成后,竣工测量和管线数据质量提升工作在管线管理中的地位,并为管线信息系统维护和应用提出了展望和要求。文献[10]在讨论道路曲线基本单元数字化数据处理模型的基础上建立了道路曲线的联合平差模型,探讨了以线形为特征的道路数据的平差处理方法,提出了道路曲线数字化的精度评价方法,但未考虑特性线在三维空间的几何特性。文献[11]在研究经典整体最小二乘法的基础之上,推导了非线性整体最小二乘平差计算模型并设计了迭代算法。文献[12,13]基于空间向量,提出了空间圆形要素的拟合检测方法,但需要观测点位均匀分布于圆周,对地下管线而言,圆弧段只占整个圆周的局部,采用这种模型解算时存在较大不确定性。目前鲜有文献针对管线探测数据的质量提升和评价做专门研究。本文在三维框架下,基于地下管线的固有线性几何属性,系统地探讨了三维地下管线的数学模型,并提出了探测数据联合平差模型和精度评价方法。

1 地下管线空间几何特点

给水、热力、燃气、输油和工业等地下管线一般为硬质管道,可以抽象为线段和圆弧两类基本组成单元,不同单元之间通过三通、四通、分支点、转折点、变材点、变坡点、变径点、起讫点等节点连接。

在转折点、变坡点,管线一般通过弯头调整水平走向和竖向坡度,探测成果中三维管线夹角应与预制弯头转角参数值一致;管线段在交汇于三通、四通、变径点、变材点时,一般具有相互垂直、共线、共面等几何属性;相邻管线段(直线段间、直线与圆弧)存在共面关系;直、园相接时,二者在三维空间相切;新建管线和既有管线连接时,节点一般为检查井内明显点,其坐标较一般探测点量测精度更高,又因既有管线数据往往已做入库管理,在精度满足要求时,一般视其坐标值为已知量。

综上所述,地下管线间存在以下几何特性:①同一段管线上的点之间在三维框架下有共线、共弧关系,②相邻的直线和圆弧应相切,相邻直线段共面且夹角与设计参数一致,③在三通、四通、分支等聚合点上,相关管线具有共面、共线、垂直等几何特性,④新增管线应附合到既有管线点上。

2 地下管线数学模型

由于管线由直线和圆弧组成,管线各点位坐标均可表示为空间直线和圆弧的相关参数的函数,因此可以将管线点坐标作为观测值,采用间接平差方法建立平差模型,并将管线相切、夹角、汇聚、共面等作为限制条件。

按《工程测量通用规范》精度要求,地下管线测量精度为厘米级,对误差方程和条件方程取泰勒展开式时,均可只取到一次项。本文对所有涉及角度均取弧度,故文中相关公式不涉及角度转换。

2.1 直线段误差方程

如图1所示,k1、k3分别为直线l投影在xoy面和xoz面直线l′的斜率(k1=tga),k2、k4则分别为相应的截距。则直线l的参数方程为:

图1

(1)

xi,k1,k,k3,k为未知参数,则相应误差方程为:

(2)

2.2 圆弧段误差方程

空间圆弧可视为xoy平面上的圆弧绕各个坐标轴旋转并做平移后所得,由于圆弧上点和各旋转角之间存在相关性,故只选用绕x轴的转角φ和绕z轴的转角k。则有圆弧参数方程:

(3)

(xc,yc,zc)T为圆心坐标,θi为弧段上诸点在原始状态所对应半径与x轴夹角。

取xc、yc、zc、k、φ、θi作为未知参数,当半径不确定时,r也应作为未知参数。

因式(3)是一个非线性函数,采用泰勒公式展开,只保留一次项,可建立线性误差方程(4):

(4)

对圆弧上每个点i,B为3×4的系数矩阵,各系数取值分别如下:

b32=0

2.3 条件方程

在以上误差方程基础上,考虑到管线段间的空间关系,还应存在以下条件方程:

(1)圆心到直线距离条件方程

空间直线l和圆弧c相切的充要条件是二者共面且圆心Pc到直线l的距离等于半径。

(5)

对式(5)做平方变换并线性化可得到以下线性条件方程:

(6)

其中:

(2)直线和圆弧共面条件方程1

对直线l和圆弧c共面的情况,选直线l上A|x=0、B|x=1两点、圆心Pc和圆平面内点P0|θ=0,r=1。依据式(3)可得,P0在空间的直角坐标为:

变换可得:

(7)

对式(7)线性化,得到下式:

(8)

(3)直线和圆弧共面条件方程2

考虑到管线中的弧段一般只占圆周中一小段,而圆面和水平面夹角很小,只采用o-x一个方向约束线弧共面时,往往造成o-y方向误差较大,故引入点PT|θ=90,r=1,依据式(3)计算可得P0在空间的直角坐标为:

变换可得:

(9)

线性化后可得到条件方程(10):

(10)

(4)直线相交(汇聚)条件方程

多条直线l1、l2…ln相交时,即存在x,使y1=y2=…=yn,z1=z2=…=zn,设l2的直线方程为:

y=k5x+k6z=k7x+k8

即可得条件方程(11):

(11)

当直线l2起止于Ps(xs,ys,zs)点时,还应存在条件方程(12):

(12)

(5)直线夹角条件方程

在线路通过预制弯头转折时,相邻直线l1、l2在三维空间框架的夹角等于弯头的转角ω。

l1、l2的方向向量分别为v1=(1,k1,k3)和v2=(1,k5,k7),可得下式:

(13)

对地下管线,ω为转角时,取cosω为正值,对式(13)线性化,得条件方程(14):

(14)

式中:u=cosω

对于管线垂直,可视为上式的特殊情况,即:

(15)

理论上也可将交点坐标、切点坐标或某个分量作为参数,构建误差方程和条件方程,直接求解这些特征点的参数值,但由于直线段转角往往为15°以下小角度,当探测管线点误差较大时,交点、切点初始值偏差相应增大,会影响平差效果,本文未予采用。

3 观测值权的确定

如表1所示,对明显管线点,其X,Y坐标所对应权均为1,其高程所对应权为25/32。对覆土前施测的管线点,其X,Y坐标所对应权均为1,其高程所对应权为25/18。对于隐蔽点,其X,Y坐标所对应权为25/(52+(0.05h)2),其高程所对应权为25/(2(32+(0.075h)2))。

表1 观测值先验中误差、权参考值

4 地下管线数据的联合平差

从以上误差方程(2)、(4)可以看到,在管线数据直线段参数有xi、k1、k2、k3和k4,必要观测数为6(2点),圆弧段参数有xc、yc、zc、k、φ和θi,若弧段半径未知时应纳入半径r,必要观测数为9(3点),对每个点可按式(2)或(4)构造3个误差方程。对直线-直线连接或汇聚,可按公式(11)构造空间相交条件方程,若直线段相互垂直或转角(或夹角)已知参数,还应按公式(15)或(14)构造角度条件方程。对直线-圆弧连接,可按公式(6)、(8)和(10)分别按半径和共面条件构造条件方程,若管线起讫点为已知点时,应按式(12)构造起讫点位附合条件方程。对于圆弧-圆弧连接的情况,在地下管线设计中一般采用直线段过渡,本文不予进一步研究。

近似值按照点位间距由远及近原则,在各直线段和弧段选若干组点,分组计算k1、k2、k3和k4,以及xc、yc、zc、r、k、φ和θi等参数,采用中位数作为初始值。其中,φ为圆弧面和xoy面的夹角,k为圆弧面和xoy面的相交直线与x轴在xoy面的夹角。工作中,笔者采用该方法计算参数初始值1,构造误差方程,利用间接平差求解参数2,然后将参数2作为新一轮初始值,重新构造误差方程和条件方程,按附有限制条件的间接平差方法求解最终的改正数和参数值。

由于误差方程和条件方程系数中有大量近似值,故采用迭代法解算。一般可采用单位权方差、观测值残差或相邻两次改正数之差等作为控制迭代循环的参考因子,如经过多次迭代,单位权方差不再收敛时,迭代运算即可终止。

在运算结束后,可逐一检查各观测值的残差,当残差大于二倍中误差时,可视该点观测值存在粗差,返回上一工序核查相关采集和计算资料,从而可有效实现粗差辅助定位。

完成平差后,利用直线和圆弧参数,计算交点、切点、起讫点等管线特征点坐标,并结合地面高程反算各点的埋深等属性。

利用公式(16)计算管线的单位权方差,作为评定管线探测成果的质量和精度的指标:

(16)

式中:n-u+s为多余观测数。

5 算 例

为方便计算,本文基于GIS系统环境,开发了管线平差模块。作业时先将点位展绘到图形系统中,再逐一选择管线点并将点划分到各个线(弧)段单元,完成分组后,指定各单元间的空间几何关系,由模块依次动态构建平差模型,最后完成统一平差。

以某段输气管线为例(图2),该管道由一段圆弧c和两段线段l1、l2组成,l1、l2转角为45°,直线段探测点均为8点,弧段探测点为19点,将各点坐标作为观测值,构造105个误差方程,按各点探测深度计算观测值的权,分别按c-l1共面、相切以及l1-l2相交与夹角为条件构造五个条件方程。利用中误差作为迭代控制因子,经过3次迭代后,单位权方差不再收敛,结束运算。从表2数据可以看出,圆弧上存在一个粗差点,在对该点修正后重新计算,最终得到了较好的平差结果。

表2 计算结果

图2 某段输气管线

6 结 论

基于三维空间直线和圆弧的数学基础,本文提出了用直线和圆弧序列拟合管线探测值的平差模型并提出了探测数据权的确定方法,通过开发管线平差系统,实现了管线探测数据的粗差定位和平差处理,从而在提升管线探测数据精度的同时,使成果数据更符合管线的空间几何特性,实现数据质量的有效提升。同时,该方法也可应用于异形建筑或其他由直线和圆弧构成的空间线性要素的拟合。