关于比式判别法和Raabe判别法的推广

张喆　刘文军

摘要：数项级数是数学分析里非常重要的内容，其中正项级数敛散性的判别方法很多，比如比较原则、比式判别法、根式判别法等，但在使用这些方法时，各自有其局限性.文章主要对正项级数的比式判别法和拉贝（Raabe）判别法及其极限形式做了较有意义的推广，并通过一些应用举例对其进行方法分析，说明推广之后的新方法比原来两种方法更加方便灵活，应用范围更加广泛.

关键词：正项级数，比式判别法，Raabe判别法

中图分类号：O173

文献标识码：A

文章编号：1674-9545（2023）03-0096-（06）

DOI：10.19717/j.cnki.jjun.2023.03.018

方法分析：不难发现，Raabe判别法在式子的形态上与比式判别法有很大的相似性，里面都具有比式的形式，因此可以说，它们在解决一些级数敛散性的问题上也有着很大的相似性，即都比较适用于解决一些带有连乘、阶乘、双阶乘或者带有xⁿ（幂函数）的式子.不同的是，Raabe判别法能解决的问题相对于比式判别法而言更多一些，比如当在利用比式判别法的极限形式时，其极限值为1的时候，说明该题目用该方法无法求解，这时就可以尝试着利用Raabe判别法去求解该题目.对于Raabe判别法的两个推广，通过例3发现，两种解题方法的不同之处在于将第n+1项与第n项的比式改为了第n+m项与第n项的比式，最终结果一致.也就是说对于一些判别正项级数敛散性的题目，当在用到Raabe判别法时，要学会像利用比式判别法的推广时一样，在式子当中不只局限于第n+1项與第n项的比式，尝试着联想一些其他合适的正整数m，将其转化为第n+m项与第n项的比式，从而利用Raabe判别法的推广进行解题.从例4中不难看出，里面有（－1）ⁿ，当再利用定理4去解题时，里面就会出现负号，而且无法在计算时消除k，导致计算过程很复杂，很难判断出该级数的敛散性，而当利用推论去解题时，题目中的（－1）ⁿ+k可以在计算时直接消除.总的来说，该推广的优势与上述比式判别法的推广比较相似，都可以使应用范围更加广泛，更加实用，解起题来也更加方便.

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The Generalization on Ratio Test and Raabe Test

LIU Wenjun，ZHANG Zhe

（School of Science， Jiujiang University，Jiujiang Jiangxi  332005，China）

ABSTRACT Number term series was a very important content in mathematical analysis， among which there were many discriminant methods for positive term series， such as comparison principle，ratio test，radical test，etc. But when using these methods， each had its limitations.In this article， we had made meaningful generalizations of the already learned ratio test and Raabe test， as well as their limit forms， and analyzed their methods through some application examples， indicating that the new method was more convenient and flexible than the original two methods， as well as the application range was wider.

KEY WORDS positive term series； ratio test； Raabe test

（责任编辑 罗江龙）