V型内置式永磁同步电机空载气隙磁场解析计算

翟凤晨, 于慎波, 何庆桡

(沈阳工业大学 机械工程学院,辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

近年来,内置式永磁同步电机(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)由于其优越的性能,如恒定功率调速范围宽,高功率密度,优秀的过载能力和运行效率[1]而被广泛应用于电动汽车、航空航天等领域。根据永磁体在转子结构的不同位置,IPMSM又分为U型、V型和“一”字型等结构的内置式永磁同步电机,其中,V型IPMSM具有最高的凸极率和更宽的恒定功率调速范围[2]。

由于V型IPMSM的转子结构复杂,目前主要用有限元法对其进行电磁场分析。有限元法是目前应用最广泛的一种数值分析方法,能够分析结构复杂的电机,计算电机铁心的饱和等影响,但是该方法计算速度慢、建模复杂,难以得到设计参数与电磁性能之间的关系。等效磁网络法根据磁场流通路径对电机进行精密的磁网络划分和等效,可以计算IPMSM这类磁路结构复杂的电机磁场问题[3-5]。文献[3-5]分别建立了“一”字型IPMSM、多层内置式电机和V型混合永磁电机的等效磁网络模型,计算了电机的电磁性能。与解析法相比等效磁网络法的计算速度较慢,电机的结构尺寸改变会导致其计算模型也随之改变,在电机的初始设计的应用中较为困难。

解析法是以麦克斯韦方程组为基础,建立偏微分方程对电机磁场进行计算求解,计算速度快,能够方便地研究各个参数和电机性能之间的关系,适用于电机的初期设计。充分地了解电机气隙内发生的磁场现象,是精确计算电机感应电压、电枢反映场[6]、电磁转矩[7-8]和齿槽转矩[9-10]的前提条件,对有效预测定子齿和轭上的电磁力以及随后产生的振动和噪声起着关键作用。电机的磁场分布也受一些重要的结构参数的影响,包括转子偏心、定子槽[11-12]和定子槽槽口[13]等几何性质的影响。目前,已经有学者提出了几种基于二维子域划分模型的精确解析解,用来计算表贴式和表面嵌入式永磁电机的气隙磁密,从而计算电机的电磁性能[14-18];文献[14]提出了适用于具有分段斜极和磁性槽楔的表贴式永磁电机的计算方法,分析了电机的空载反电动势和电磁转矩,但是该模型没有考虑定子槽槽口的影响;文献[15]建立了一种表贴式永磁电机的子域分析模型,在考虑齿尖和开槽效应下计算了表贴式电机的空载、电枢和负载磁场分布;文献[16]建立了无槽偏心表贴式永磁电机的精确子域分析模型,但该模型仅适用于无槽表贴式电机;文献[17-18]建立的表面嵌入式永磁电机精确子域模型,通过求解矢量磁位进而完成了空载磁场和电枢磁场的解析计算。通过建立精确子域分析模型还能够计算矩形辐式内置式永磁电机的电磁性能[19-20]。然而,对于边界形状复杂的电机来说,难以建立和求解各个求解域的磁场偏微分方程,用子域法直接建立其电机磁场的解析模型较为困难,需要将原始电机等效为形状规则,可以直接计算偏微分方程的解析模型[21]。文献[21]对无槽U型内置式永磁电机进行了等效,建立了等效电机的二维子域模型,通过求解泊松方程和拉普拉斯方程计算了电机的气隙磁密分布,同时说明了该等效方法也适用于V型IPMSM,但是该模型没有考虑齿尖和开槽效应对电机磁场的影响。

本文建立二维极坐标下V型内置式永磁电机的空载气隙磁场解析计算模型。提出V型内置式永磁电机的五条等效原则,按此原则对电机等效使其各区域能够建立具有明确边界的偏微分方程;以矢量磁位为求解变量建立各个区域的泊松方程或拉普拉斯方程;根据各个区域的边界条件和交界条件求解出磁密表达式中未知的系数。最后用有限元法验证所建立的V型内置式永磁电机解析计算模型的可行性和有效性。

1 解析模型

本文基于精确子域法对V型内置式永磁同步电机的空载气隙磁场进行解析计算,如图1所示是V型IPMSM简化模型的二分之一横截面示意图。

图1 V型内置式永磁电机简化模型Fig.1 Simplified model of V-shaped interior permanent magnet motor

图1中:δ和γ分别为定子槽宽角和定子槽槽口宽角;Rsl、Rso分别为定子槽底面半径和定子槽开口处半径;Rr、Rs是转子外表面半径和定子内表面半径;w、h分别是永磁体的宽度和高度;α1是两块永磁体所占的圆心角;u、v分别是隔磁桥宽度和厚度;β是隔磁桥宽角;θi为V型永磁体的安装中心角;θj为定子槽口中心角。

1.1 等效解析电机模型

由于V型IPMSM的永磁体在转子内的结构分布对电机进行解析计算时永磁体区域不能够直接明确地列写出磁场偏微分方程,即以V型IPMSM原模型进行解析计算不符合计算条件。为了实现对电机磁场的解析计算,将V型磁体电机模型等效为满足五个关键准则的等效磁体解析电机模型[21],如图2所示,对该模型进行解析计算。

图2 等效解析电机模型横截面示意图Fig.2 Cross-section schematic diagram of equivalent analytical motor model

1)将两块永磁体两侧的隔磁桥等效为两个扇形,扇形沿径向有一个恒定的宽度角。

2)等效模型中,每个扇形的宽度角等于隔磁桥宽度角β;一极下两块扇形之间的夹角等于两块永磁体所占的圆心角α1。

3)将两块永磁体等效为一个环形,环形区域沿周向具有一个恒定的厚度,其两端的直线分别与两个扇形的边界处于一条直线上。

4)等效模型中,环形区域的厚度等于原始电机中一块永磁体的高度h。

5)确定环形区域的半径,使得等效解析电机模型的磁通量等于V型磁体电机模型的磁通量。

在V型磁体电机模型中,考虑隔磁桥边缘的漏磁影响,一极下两块永磁体产生的磁通量为

Φ=BrS1=2xwBrlc。

(1)

其中

(2)

式中:Br为永磁体的剩余磁感应强度;lc为电枢长度;x为漏磁修正系数。根据等效前后磁通量不变的原则,可以分别求出等效解析磁体电机模型中环形区域的外径和内径,分别为

(3)

Rsh=Rh-h。

(4)

为了便于解析求解,做出几个以下的基本假设:在二维的极坐标下进行求解,忽略电机的端部效应;定子、转子铁心具有无穷大的磁导率;将定子槽结构简化为如图2所示的槽型结构;永磁体的退磁曲线是线性的;材料的电导率为零。

根据等效电机的不同结构,将等效解析电机模型划分为5个子域进行解析:定子槽区域定义为子域1,定子槽槽口区域为子域2,气隙区域为子域3,扇形区域为子域4,环形区域为子域5。每个子域的磁场都可以用拉普拉斯方程或泊松方程进行表述。等效解析电机模型中的扇形部分是切向磁化,环形部分是径向磁化。如图3所示是等效解析电机的磁化方向和子域划分模型。

图3 等效解析电机的磁化方式和子域划分模型Fig.3 Equivalent analysis of magnetization pattern and subdomain division model of the rotor

1.2 定子槽子域通解

定子槽子域1中的矢量磁位可以用拉普拉斯方程表达为如下:

(5)

定子槽子域的边界条件可表示为

(6)

在满足边界条件的情况下,由分离变量法可以求得定子槽子域的矢量磁位通解

cos(En(θ-θj+δ/2))。

(7)

其中:

G1=(Rso/Rsl)En;

(8)

En=nπ/δ。

(9)

1.3 定子槽槽口子域通解

定子槽槽口子域2中的矢量磁位同样可以用拉普拉斯方程描述为如下:

(10)

其边界条件可表示为

(11)

在满足边界条件的情况下,求得定子槽槽口子域的矢量磁位通解为

(12)

其中

Fu=uπ/γ。

(13)

1.4 气隙子域通解

气隙子域3中的矢量磁位同样可以用拉普拉斯方程描述为如下:

(14)

在满足边界条件的情况下,求得气隙子域的矢量磁位通解为

(15)

1.5 扇形子域通解

扇形子域4中存在磁场激励,其矢量磁位可以用泊松方程描述为如下:

(16)

式中:μ0是真空磁导率;M4θ是扇形子域磁化强度的切向分量;M4r是扇形子域磁化强度的径向分量。

第k个扇形部分磁化强度的径向、切向分量分别为

(17)

(18)

其边界条件可表示为

(19)

在满足边界条件的情况下,求得扇形子域的矢量磁位通解为

(20)

其中:

xn=nπ/β。

(21)

1.6 环形子域通解

环形子域5中同样存在磁场激励,其矢量磁位可以用泊松方程描述为如下:

(22)

式中:M5θ是环形子域磁化强度的切向分量;M5r是环形子域磁化强度的径向分量。用傅里叶级数的形式表达第i个环形部分磁化强度的径向、切向分量分别为:

(23)

(24)

(25)

(26)

其边界条件可表示为:

(27)

求得环形子域的矢量磁位通解为

cos(yu(θ-θi+α/2))。

(28)

其中:

yu=uπ/α;

(29)

(30)

根据环形子域在r=Rsh处的铁磁边界条件可得

(31)

2 谐波系数求解

2.1 定子槽槽口与气隙交界位置

在定子槽槽口子域2与气隙子域3的交界面处,即在定子内表面半径处,根据磁场连续性定理可得磁场强度的切向分量连续,根据磁矢位连续性定理可得矢量磁位连续,则子域2和子域3的交界条件

(32)

(33)

由于子域2和子域3的分布区间不同,需要通过傅里叶变换,使两者统一到相同的区间。将定子槽槽口子域2磁场强度的切向分量统一到区间[0,2π]上,可得方程:

(34)

G3=(Rr/Rs)v。

(35)

由式(33)将气隙子域3的矢量磁位统一到区间[θj-γ/2,θj+γ/2]上,可得方程:

(36)

(37)

G2=(Rs/Rso)Fu。

(38)

2.2 气隙与扇形交界位置

在气隙子域3与扇形子域4的交界面处,即在转子外表面半径处,磁场强度的切向分量连续和矢量磁位同样连续,则子域3和子域4的交界条件为

(39)

(40)

通过傅里叶变换将扇形子域4的磁场强度切向分量统一到区间[0,2π]上,可得方程:

(41)

将气隙子域3的矢量磁位沿扇形子域4进行傅里叶展开,使其统一到区间[θk-β/2,θk+β/2]上,可得方程:

(42)

(43)

G4=(Rh/Rr)xn。

(44)

2.3 定子槽与定子槽槽口交界位置

在定子槽子域1与定子槽槽口子域2的交界面处,即在半径r=Rso处,根据磁场连续性定理可得磁场强度的切向分量连续,根据磁矢位连续性定理可得矢量磁位连续,则子域1和子域2的交界条件为:

(45)

(46)

由于子域1和子域2的分布区间同样不同,需要通过傅里叶变换,使其统一到相同的区间。将定子槽槽口子域2的磁场强度切向分量统一到定子槽子域1的分布区间上,由式(45)可得方程:

(47)

将定子槽子域1的矢量磁位沿子域2进行傅里叶展开,使其统一到定子槽槽口的分布区间上,由式(46)可得方程:

(48)

(49)

2.4 扇形与环形交界位置

在扇形子域4与环形子域5的交界面处,即在半径r=Rh处,磁场强度的切向分量连续和矢量磁位同样连续,则子域4和子域5的交界条件为

(50)

(51)

通过傅里叶变换将扇形子域4磁场强度的切向分量统一到区间[θi-α/2,θi+α/2]上,可得方程:

(52)

G5=(Rsh/Rh)yu。

(53)

将环形子域5的矢量磁位沿扇形子域4进行傅里叶展开,使其统一到扇形区域的分布区间上,由式(51)可得方程:

(54)

(55)

将上述的关系式(34)～式(38)、式(41)～式(44)、式(47)～式(49)和式(52)～式(55)组成一个线性方程组,求解时将线性方程组转化成系数矩阵和常数列向量,通过计算矩阵方程可以得到各个子域矢量磁位表达式中未知的谐波系数。各矢量磁位的谐波系数分别为:

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

在解析计算模型中,气隙子域磁感应强度的径向分量和切向分量表达式分别为:

(68)

(69)

3 磁场解析计算与有限元验证

3.1 样机参数

为了验证本文所提出的等效磁体解析计算模型是否能对V型内置式永磁电机的空载气隙磁场进行解析计算,本文针对一台6极36槽V型内置式永磁同步电机样机分别进行了磁场解析计算和有限元仿真计算,电机的主要尺寸参数如表1所示。

用基于有限元法的MAXWELL软件对解析计算结果进行验证,同时对在设定半径下解析计算结果与仿真计算结果进行对比,得出二者的百分比误差,并且预估其计算结果的可用性。首先建立该样机模型的模拟二维瞬态场,设定对样机的空载磁场进行仿真求解的相应的参数,后通过场计算器求解出该样机气隙中心位置处的空载气隙磁场,即选取半径r=(Rs+Rr)/2处气隙磁密的径向分量和切向分量作为计算参量。

3.2 有限元验证

由所建立的等效电机模型计算出的磁场分布如图4所示,据此可提取径向和切向气隙磁密。

图4 等效分析模型中的磁通密度分布Fig.4 Magnetic flux density in the equivalent analytical model

图5和图6分别是电机空载磁场下二分之一圆周范围内,气隙中心位置处的径向磁感应强度、切向磁感应强度计算结果对比图。

图5 空载径向磁感应强度对比图Fig.5 No-load radial magnetic induction intensity comparison chart

图6 空载切向磁感应强度对比图Fig.6 No-load tangential magnetic induction intensity comparison chart

由图5和图6的波形可以看出,本文提出的解析方法所计算的空载气隙径向磁感应强度和切向磁感应强度与有限元计算结果具有较高的吻合度,证明了该等效磁体的解析计算方法可以用来模拟计算V型内置式永磁同步电机的空载气隙磁场。

图7是电机空载气隙径向磁密的谐波频谱对比图,从图中可以看出,解析计算的谐波幅值与有限元计算结果较为贴近,其中气隙径向磁密基波幅值的计算结果误差为0.97%。

4 结 论

本文提出了V型内置式永磁同步电机的五条等效关键准则,用等效磁体解析电机模型代替初始的V型磁体电机模型进行空载气隙磁场的解析计算。在二维极坐标下,对等效磁体解析模型的定子槽、定子槽槽口、气隙、扇形和环形区域建立磁矢位方程,根据各子域的边界条件和各子域之间的交界条件求出矢量磁位的表达式和谐波系数。

通过与有限元仿真结果对照表明,本文提出的等效磁体解析模型计算结果与有限元法空载气隙磁场计算结果基本吻合,气隙径向磁密基波幅值的计算结果误差为0.97%,证明本文所提出的等效磁体解析建模方法可以合理有效地对V型内置式永磁同步电机的空载气隙磁场进行计算,为V型内置式永磁同步电机的初期设计和优化工作提供了一种更加简便快捷的方法。