最小二乘拟合正弦参数误差阶梯式分布规律的实验研究

梁志国

(北京长城计量测试技术研究所计量与校准技术重点实验室，北京 100095)

1 引 言

正弦现象是自然界中的一种常见现象,由此导致人们很早就已经开展对正弦及其规律研究[1～6],并使得正弦信号波形大量应用在人类的生产、生活、研究、探索中[7～11]。通常,在相同测量条件下,最小二乘正弦拟合可以获得非常高的参数准确度,因此使其具有重要的意义和价值[12～17],而拟合正弦参数误差及其规律的研究也具有特殊的意义和价值。

有关拟合正弦参数的误差问题,美国NIST的研究最具有代表性,它全面而系统地揭示了幅度、频率、相位、直流偏移的拟合结果的误差界与各个变化中的测量条件的定量关系,包括谐波、噪声、抖动、拟合序列长度、拟合序列中所包含的正弦周波数等因素,但并未特别提及量化误差在其中的影响和作用;主要是将其视作随机噪声的影响,且体现在噪声特性的影响规律中;并认为随机噪声对四参数正弦最小二乘拟合中拟合参数误差界的影响,与所使用的拟合序列长度呈反比关系[3]。

由于A/D转换的量化误差是数字化测量中不可避免的误差来源,在很多情况下是最主要的误差来源,因此,量化对拟合正弦参数误差的影响也是人们所尤其关注的问题之一。

文献[18～20]分别对不同条件下,拟合正弦参数误差界进行了搜索研究,发现了其误差界随拟合长度而变化所呈现的等间隔分段跳变的量子化阶梯效应和规律,并提出了量子化阶梯边界点的计算公式,取得了重要进展。本文后续内容是该方向研究的延续,并试图以定量方式揭示各个量子化阶梯高度的变化规律。

2 基本思想及条件设定

关于量化误差对拟合正弦参数误差界的影响,文献[18～20]业已进行了多方面的仿真探索研究。对于拟合所获得的正弦幅度、频率、相位、直流偏移、以及所用A/D有效位数共5个拟合参量的误差,随各条件因素变化而变化的规律,进行了系统性展示。

获得的结果是,正弦采样序列的幅度、信号周波数、序列长度、A/D转换位数等,均会对各个拟合参数的误差界造成影响,其最后结论可以总结归纳为[20]:

正弦曲线四参数最小二乘拟合所获得的正弦幅度、频率、相位、直流偏移、以及所用A/D有效位数共5个拟合参量的误差界,随着拟合序列长度的增加,呈等间隔量子化阶梯规律递减变化,其阶梯宽度w由拟合信号序列所包含的采样量化台阶数目唯一确定,是拟合序列所包含的A/D转换采样量化台阶数目的π/2倍。表示成公式为:

w=η·N·2b·π

(1)

式中:η为正弦信号峰峰值覆盖量程的百分比;N为拟合序列所包含的正弦信号周波数;b为所使用的A/D转换器的位数。

在全量程范围内,共有2b个A/D量化阶梯,若正弦波刚好覆盖全量程范围,其N个波形周期最多将有2·N·2b个A/D量化阶梯,若量程覆盖率为η,其N个波形周期最多将有2η·N·2b个A/D量化阶梯。

式(1)对于正弦参数拟合误差的量子化阶梯宽度获得了非常简洁实用的明确结论,但是,针对量子化阶梯高度所呈现的规律并无明确结论。

本文中,将使用两种方式进行该方面研究:

其一,在序列所含周波数不变,仅仅序列长度变化时,针对每一个量子化阶梯内各残差的有效值,作为本阶梯误差界的幅度有效值;然后,绘制不同量子化阶梯误差界的幅度有效值随阶梯序号而变化的曲线,展示并研究其变化规律。

其二,量子化阶梯号m不变,针对第一个量子化阶梯内(m=1)各残差的绝对值,比较选取其最大者作为本阶梯误差界的幅度最大值;然后,绘制本量子化阶梯误差界的幅度最大值随周波数而变化的曲线,展示并研究其变化规律。

3 仿真实验结果及数据处理

由于是延续性研究,本文将使用前期文献[20]所述的仿真实验思想、条件及数据进行后续研究。

3.1 仿真实验条件

为方便参数调控,不失一般性,设定包含6项测量条件的仿真实验条件如下:

1) A/D位数:基本参量为8、9、10 bit;

2) 序列长度作为主变化因素,变化范围为 100～16 000点,1点步进;

3) 采样序列包含周波数:作为辅助变量,变化范围为1～20个周波,1周波步进;

实际仿真过程中,通过使用归一化频率1 Hz来调整采样速率,结合样本点数,最终构建周波数;

4) 信号幅度作为辅助变量,取值为覆盖 82.031 25%×量程,η=82.031 25%;

5) 初始相位:作为辅助变量,取值为0°;

6) 直流偏移:作为辅助变量,取值为0。

由于初始相位、直流偏移的变化均不改变拟合序列所含量化台阶数目,依据式(1)可见,它们将不会对量子化阶梯参数产生重要影响[18];故,不将初始相位、直流偏移作为搜索变量对待,两者均取恒定值0。

3.2 周波数固定时仿真实验结果及分析

按照上述仿真实验条件,用序列长度作为主变化因素,以周波数为辅助变化因素生成实际的仿真条件,考察各指标要素的误差随着序列长度和周波数变化而变化的情况,获得了相同的变化规律[18～20]。当A/D位数为8 bit、周波数为2时,其各个参数误差界变化情况如图1～图5所示。本文中LSB表示最小量化阶梯。

图1 频率误差随序列长度而变化情况Fig.1 Error limit of frequency via data numbers

图2 相位误差随序列长度而变化情况Fig.2 Error limit of phase via data numbers

图3 直流偏移误差随序列长度而变化情况Fig.3 Error limit of DC offset via data numbers

图4 幅度误差随序列长度而变化情况Fig.4 Error limit of amplitude via data numbers

图5 有效位数误差随序列长度而变化情况Fig.5 Error limit of effective number of bit via data numbers

从图5中可见,正弦参数拟合所获得的5个参数误差曲线中,随着拟合序列长度的增加,频率、相位、直流偏移、有效位数的拟合误差均呈现等间隔量子化阶梯性下降规律,幅度误差的量子化阶梯特征不明显,但误差幅度仍然呈下降趋势。

此前的研究业已表明,量子化阶梯宽度符合式(1)所述规律[20]。

如图1～图5所示,每一项参数误差带的高度,在同一量子化阶梯号内呈现基本平稳的缓慢连续变化趋势,而在不同量子化阶梯之间,则随着拟合误差的量子化阶梯号的增加而呈下降趋势,在下降到一定程度后,呈现平稳趋势,并不能下降到0高度。

为了研究各个参数拟合误差的量子化阶梯高度的变化规律,在上述曲线中,按式(1)计算获得w=1 319.468 9;并以m·w划分各个量子化阶梯边界,m=1,2,…为拟合参数误差量子化阶梯号,截取各个阶梯内的样本点;设第m个量子化阶梯样本数据为xmi,i=1,2,…,w,则,其拟合参数误差量子化阶梯幅度有效值为Am,拟合参数误差量子化阶梯幅度最大值Apm。

(2)

(3)

(4)

由此得到本量子化误差阶梯的幅度有效值Am和峰值Apm。

将各个量子化误差阶梯m的幅度有效值Am排序得到序列{Am},m=1,2,…;

将各个量子化误差阶梯的幅度最大值排序得到序列{Apm},m=1,2,…;令:

Bm=(A1-A0)/m2+A0

(5)

Bpm=(Ap1-Ap0)/m2+Ap0

(6)

式中:A0为序列{Am}(m=1,2,…)的最终趋于稳定的误差带高度包络值;Ap0为序列{Apm}(m=1,2,…)的最终趋于稳定的误差带高度包络值。

将量子化误差阶梯有效值序列{Am}和{Bm}绘制在同一张图上,得到各量子化误差阶梯有效值序列{Am}与二次曲线{Bm}的比较图。如图6、图8、图10、图12、图14所示,其中,黑色实线为序列{Am},红色虚线为序列{Bm}。

图6 各阶梯频率误差有效值随阶梯m而变化情况Fig.6 RMS error of frequency of each step via error steps m

图7 各阶梯频率误差最大值随阶梯m而变化情况Fig...7 Maximum error of frequency of each step via error steps m

图8 各阶梯相位误差有效值随阶梯m而变化情况Fig.8 RMS error of phase of each step via error steps m

图9 各阶梯相位误差最大值随阶梯m而变化情况Fig...9 Maximum error of phase of each step via error steps m

将量子化误差阶梯最大值序列{Apm}和{Bpm}绘制在同一张图上,得到各量子化误差阶梯最大值序列{Apm}与二次曲线{Bpm}的比较图。如图7、图9、图11、图13、图15所示,其中,黑色实线为序列{Apm},红色虚线为序列{Bpm}。

图10 各阶梯直流偏移误差有效值随阶梯m而变化情况Fig...10 RMS error of DC offset of each step via error steps m

图11 各阶梯直流偏移误差最大值随阶梯m而变化情况Fig...11 Maximum error of DC offset of each step via error steps m

图12 各阶梯幅度误差有效值随阶梯m而变化情况Fig...12 RMS error of amplitude of each step via error steps m

从图6和图7可见,各阶梯频率误差有效值随阶梯号m而变化的规律与误差最大值随阶梯号m而变化的规律基本相同,均符合按1/m2规律衰减。

图13 各阶梯幅度误差最大值随阶梯m而变化情况Fig...13 Maximum error of amplitude of each step via error steps m

图14 各阶梯有效位数误差有效值随阶梯m而变化情况Fig...14 RMS error of effective number of bit of each step via error steps m

相位误差、直流偏移误差、幅度误差、有效位数误差等其它参数随阶梯号m而变化也具有相同的按1/m2规律衰减特征,如图8～图15所示。

3.3 第一阶梯仿真实验结果及分析

在上述仿真条件下,将量子化误差阶梯号固定为1,变化拟合序列所包含的信号周波数目。选取不同周波采样序列在第1误差阶梯内的各个参数拟合误差数据,获得其随序列所含周波数变化而变化的曲线规律如图16～图20所示。

图15 各阶梯有效位数误差最大值随阶梯m而变化情况Fig...15 Maximum error of ENOB of each step via error steps m

图16 第1阶梯频率误差随周波N而变化情况Fig.16 Error of frequency of step 1 via signal cycles N

图17 第1阶梯相位误差随周波N而变化情况Fig.17 Error of phase of step 1 via signal cycles N

图18 第1阶梯直流偏移误差随周波N而变化情况Fig.18 Error of DC offset of of step 1 via signal cycles N

图19 第1阶梯幅度误差随周波N而变化情况Fig.19 Error of amplitude of step 1 via signal cycles N

图20 第1阶梯有效位数误差随周波N而变化情况Fig.20 Error of effective number of bit of step 1 via signal cycles N

图16(a)中,实线为频率相对误差在第1误差阶梯内按式(2)计算获得的有效值序列{AN}随信号序列周波数N而变化的曲线,虚线为按式(5)计算获得的二次曲线波形序列{BN}。从中可见频率相对误差在第1误差阶梯内的有效值{AN}随信号序列周波数N变化而呈1/N2规律变化。

图16(b)中,实线为频率相对误差在第1误差阶梯内按式(4)计算获得的最大值信号序列{ApN}随周波数N而变化的曲线,虚线为按式(6)计算获得的二次曲线波形序列{BpN}。从中可见频率相对误差在第1误差阶梯内的最大值{ApN}随信号序列周波数N变化而呈1/N2规律变化。

由此可判定,拟合信号频率误差在第1误差阶梯内随信号序列周波数N的变化呈1/N2规律变化。

同理,由图17(a)、图17(b)可见,拟合相位误差在第1误差阶梯内随信号序列周波数N的变化呈1/N2规律变化。

图18(a)为直流偏移误差在第1误差阶梯内按式(1)计算获得的有效值{AN}随信号序列周波数N而变化的曲线,从中可见直流偏移误差在第1误差阶梯内的有效值{AN}随信号序列周波数N增加而呈缓慢线性下降规律变化。

图18(b)为直流偏移误差在第1误差阶梯内按式(4)计算获得的最大值{ApN}随信号序列周波数N而变化的曲线,从中可见直流偏移误差在第1误差阶梯内的最大值{ApN}随信号序列周波数N变化基本保持平稳。

由此可判定,拟合直流偏移误差在第1误差阶梯内随信号序列周波数N的增加呈缓慢线性下降规律变化。

同理,由图19(a)、图19(b)可见,拟合幅度误差在第1误差阶梯内随信号序列周波数N的增加呈缓慢线性下降规律变化。由图20(a)、图20(b)可见,有效位数误差在第1误差阶梯内随信号序列周波数N的增加呈缓慢线性下降规律变化。

4 正弦参数拟合误差规律

变换A/D位数,在7、9、10 bit等其它A/D位数情况下,以及在序列包含不同周波时,均可以得到与8 bit A/D相同的规律。由此可见,上述规律具有普遍性。与文献[20]所提出的式(9)的结论相结合,可得正弦参数拟合误差规律:四参数正弦波最小二乘拟合中,所用数据序列均属于通过A/D转换获得的采样量化波形序列,其幅度、频率、相位、直流偏移、A/D有效位数等参数的拟合误差均随拟合序列长度的增加呈等宽度间隔量子化阶梯性下降规律变化。

(1) 其误差量子化阶梯宽度w由拟合序列所包含的A/D采样量化台阶数目唯一确定,是该拟合序列所包含的A/D采样量化台阶数目的π/2倍。

量子化阶梯宽度w由式(7)计算:

w=η·N·2b·π

(7)

式中:η为正弦信号峰峰值覆盖量程的百分比;N为拟合序列所包含的正弦信号周波数;b为所使用的A/D转换器的位数。

(2) 对于相同周波数的拟合序列,在量子化误差阶梯序号m不同时,其各个参数的量子化误差阶梯高度随着阶梯序号m的增大呈1/m2规律衰减至最终的平稳状态。

在同一个量子化阶梯内时:

其第1个量子化误差阶梯内,误差带呈中间低两头高的马鞍形状规律变化;粗略估算,可近似认为平稳。

第2个量子化误差阶梯及后续阶梯内,各个拟合参数误差带呈基本平稳状态,随着拟合序列长度n增加略有增高。

(3) 在第1个量子化误差阶梯内,拟合信号频率误差和拟合信号相位误差均有随信号序列周波数N的增加呈1/N2规律衰减趋势。

拟合幅度误差、拟合直流偏移误差、A/D有效位数误差均有随信号序列周波数N的增加呈缓慢线性下降规律变化趋势。

5 问题讨论

通常,人们普遍认为采样序列长度越长,将可以获得更高的测量准确度以及更低的测量误差。Deyst等人对正弦曲线拟合误差界的研究,延续了这一观点,并给出了拟合误差界与序列长度成反比的确切结论[3]。

综上所述可见,A/D量化误差对正弦拟合参数误差的影响,与以往的认知有较大差异。

首先,随着拟合序列的增长,各个参数的误差界呈量子化阶梯跳变特征,而不是缓慢的连续变化特征,阶梯宽度可由上述式(1)定量精确确定;其中,幅度、频率、相位、直流偏移、A/D有效位数等5个拟合参量中,其频率、相位、直流偏移、A/D有效位数4个参量误差的量子化阶梯效应均异常鲜明,仅有幅度误差的量子化阶梯效应不够明显,但按量子化阶梯方式进行误差分析后获得的变化规律相同。

当序列所含信号周波数N确定时:

在第1个量子化误差阶梯内,它在基本平稳中略呈典型的中间低两边高的马鞍形状;

对于后续的量子化误差阶梯,在同一个量子化误差阶梯内,拟合参数的误差界(阶梯高度)随序列长度n的增大呈平稳略有增大的趋势变化。

由此造成,人们选取拟合序列长度n时,只要不是选取第1个误差阶梯内的点,在同一阶梯内的样本点数n并非越大越好,而是越小越好,如图1～图3所示。

另外,当误差阶梯号m足够高以后,各个误差阶梯高度最终趋于平稳和一致,但并不能变成0。因而,不能指望靠增加拟合序列长度让各个参数拟合误差趋于0。

其次,各个误差阶梯的幅度随着阶梯顺序号m的上升呈1/m2规律下降,而不是通常认为的1/m规律下降,阶梯幅度最后会下降到最终的平稳误差带上,而不能任意逼近0。当然,该规律是综合各个参数、各种A/D位数、各种周波数、各种序列长度的仿真实验结果的一个近似规律,并无严格证明。

由此可见,在第1个误差阶梯内的序列长度,由A/D量化误差导致的参数拟合误差最大,后续拟合参数的量子化误差阶梯内,该拟合误差幅度会呈平方规律迅速衰减,第3个阶梯以后,将衰减一个数量级以上,因而,只要有可能,尽量避免使用第1个误差阶梯内的序列长度值。

针对序列所含信号周波数N对正弦拟合参数误差的影响,特别针对第一个量子化误差阶梯内的情况进行仿真研究,可以看到有两个规律:

拟合频率误差与拟合相位误差均有随序列周波数N增加呈1/N2衰减的规律。

拟合幅度误差、拟合直流偏移误差、A/D有效位数误差,均有随序列周波数N增加呈缓慢降低的变化规律。由于随着周波数N的增加,相应拟合参数误差降低的速度非常缓慢,也可以粗略认为它们不随信号周波数N的变化而显著变化。

一个周波情况下进行拟合获得的误差要明显大于多周波情况,实际工作中应选择2个周波以上的采集序列进行参数拟合,尽量避免出现一个周波的情况。

这些内容,就是上述正弦参数拟合误差规律所体现的核心内涵。通过该规律,人们对于由量化误差造成的正弦拟合参数的误差及其变化规律将有更加深入确切的理解。应用该误差规律选取拟合序列长度,使其坐落到明确的误差阶梯内,可获得明确的最佳测量方案。在资源有限的情况下,可以指导人们通过调整拟合序列长度来降低拟合误差。

有关正弦拟合参数误差的量子化阶梯现象的机理,可以用示例方式作如下说明。

不失一般性,选取A/D位数为3 Bit,量程范围±10 V,正弦频率为1 Hz,幅度为8 V,采样速率为360 Sa/s,序列长度721。则可以获得其理想正弦波形x(t)、采样量化正弦序列{xi}(i=0,1,n-1)、最小二乘拟合曲线波形{x(i)}如图21所示。其中,蓝色曲线为理想正弦波形x(t),黑色阶梯波形为x(t)的采样量化序列{xi}结果,而红色曲线为用最小二乘拟合法由黑色阶梯波形获得的拟合曲线波形{x(i)}。

理想正弦波形x(t)与采样量化波形{xi}的黑色差值曲线Δx(t)=x(t)-xi以及拟合正弦波形{x(i)}与采样量化波形的红色差值曲线Δxi=x(i)-xi如图22所示。

图21 正弦曲线x(t)及量化{xi}和拟合波形{x(i)}图Fig.21 Sinusoidal x(t) and {xi} and fitting curve {x(i)}

图22 正弦量化误差Δx(t)及拟合误差Δxi曲线Fig.22 error curve Δx(t) and fitting error curve Δxi

由图21、图22可见,理想正弦曲线x(t)与最小二乘拟合波形{x(i)}近似重合,同时量化误差曲线Δx(t)与拟合误差曲线Δxi近似重合。

由于理想正弦波形x(t)为周期信号波形,相位周期为2π,故其采样量化正弦序列{xi}波形、最小二乘拟合波形{x(i)}、量化误差曲线Δx(t)、拟合误差曲线Δxi也都是周期波形。且周期都应该含有2π因子。

由图22可见,量化误差曲线Δx(t)、拟合误差曲线Δxi的形状近似相等,拥有与被测理想正弦波形相同的循环周期,在同一周期内,除了峰值码与谷值码外,都是近似为拥有尖峰的不等宽锯齿斜波簇形状,具有等概率密度波形特征。若其被等间隔采样,则其量化误差特征与采样峰峰值具有相同幅度的三角波有相同的统计特征,因而,完整的采样序列应该是确保采到其量化误差峰值幅度的采样序列,即,符合上述式(1)关系的采样序列。它揭示的是拟合误差量子化台阶的边沿处误差最大的原因。

由于图22所示的量化误差近似等概率密度特征,导致除了量化误差峰值被有效采集到的条件苛刻外,其它量化误差幅度出现的概率是相同的,因此,在量化误差峰值未被采集到时,其它采集序列条件下的误差幅度具有等概率特征,这也是拟合误差量子化台阶边沿外的部分误差台阶比较平稳的原因。

上述机理特征导致,对于图21的正弦信号的采样序列而言,考虑量化误差时,相当于对图22的量化误差进行采样,因而,当每一个量化码均可以被依概率采集到时,对于有限长度的等间隔采样序列而言,只有当采样间隔与被测正弦信号周期恰好同步情况下,即符合前述式(1)的条件成立,才能依概率采样到量化误差各个锯齿的峰值,导致残差量值最大。若脱离式(1)所述同步条件,则将降低量化误差各个锯齿的峰值被采集到的概率,表现为残差量值降低,导致了总体展现阶梯形状。拟合残差量值的变化,将直接影响到各个拟合参数误差量值的变化,如图1～图3、图5中第2个量子化拟合误差阶梯及后续阶梯所示。

当采样数据点数过少,不足式(1)所述的一个量子化阶梯时,等间隔采样序列不能依概率采样图22所述的各个锯齿波峰值点,由此导致拟合误差量值的波动变大,如图1～图3、图5中第1个量子化拟合误差阶梯所示。

目前,本文仍然遗留的问题是,所述的正弦拟合误差规律仅仅是从数据仿真分析中总结出来的(1)、(2)、(3)条规律和结论,尚未从数学上予以证明,而量子化误差阶梯幅度随着阶梯序号m的增加呈1/m2规律变化也有待数学上的证明。

6 结 论

综上所述,本文通过大量仿真实验,对使用理想A/D转换器的仿真正弦测量序列在波形拟合中获得的正弦参数的拟合误差界的量子化阶梯幅度进行了探索研究,结合以往文献给出的结论,提出了表征该量子化阶梯宽度与幅度变化特征的正弦参数拟合误差规律。对实际工作具有理论指导意义,可在实际正弦问题的解决中予以应用。