易损件在连续跌落冲击载荷作用下的动力学响应

伍 瑾, 卢富德, 王 彪, 滑广军, 高 德

(1. 湖南工业大学 包装与材料工程学院,湖南 株洲 412007; 2. 浙江大学 宁波理工学院,浙江 宁波 315100)

聚合物泡沫材料被广泛用作能量吸收材料[1-3],其中发泡聚乙烯(expanded polyethylene,EPE)由于质轻及良好的缓冲效果,被广泛应用于缓冲包装。针对聚合物泡沫的缓冲性能,目前已有许多研究[4-5],研究者们常利用材料的缓冲曲线进行研究。传统的缓冲曲线测定方法耗时耗力[6],研究者们则尝试建立模型实现缓冲曲线的预测[7-8]或借助有限元软件的模型进行模拟[9-10],两者多用于研究材料在单次冲击下的特性。但实际情况下,产品在运输过程中会经历多次跌落冲击,缓冲材料在多次冲击下表现出的性能往往与仅考虑单次冲击的情况有较大不同。目前的缓冲设计多基于缓冲曲线,但缓冲曲线不能描述材料在加载-卸载循环下的变形行为,也不能反映实际情况下冲击响应对产品内部的易损件的影响。Mills等[12]利用有限元模拟预测了低密度闭孔EPE的压缩冲击响应,考虑了EPE在载荷加载再卸载过程下的响应情况。Ozturk等[13]利用有限元模拟对聚苯乙烯泡沫(expanded polystyrene,EPS)在静态压缩加载-卸载循环下的变形行为进行了研究,但他们没有考虑聚合物泡沫在动态压缩下的变形行为。Lu等[14]引入了特殊函数来描述EPE在加载-卸载循环条件下的力学响应,并建立了考虑应变率及残余应变的本构模型,该模型可以描述EPE在多次动态冲击下的变形行为。有文献[15-16]建立了易损件与产品主体耦合的常见模型,但目前还未见具有易损件产品受到连续跌落载荷下EPE缓冲性能分析与设计。

在实际情况中,包含易损件的产品在多次冲击下能否保持完好,需要定量分析产品模型与缓冲材料之间的相互作用。本文根据EPE在加载-卸载循环条件下的一维本构关系,建立易损件-产品-泡沫缓冲系统动力学方程,分析多次跌落对EPE缓冲性能及含易损件产品的影响。

1 聚乙烯泡沫本构模型

基于实际结构变形的微观力学模型复杂且成本高。因此,在现象学层面建立本构模型时,没有考虑材料实际的内部结构和变形行为。假定泡沫体是连续体,可以用数学公式描述其力学响应。根据Lu等的研究,选取密度是34 kg/m3的EPE(比常见的密度为28 kg/m3的EPE偏硬,应力-应变曲线多了一个应力平台),EPE在加载-卸载循环条件下的典型响应如图1所示,卸载过程从Q点开始,在R点结束,接着从R点开始下一个循环。

图1 聚乙烯泡沫在加载-卸载循环条件下的典型响应示意图

以此建立的EPE的一维宏观关系如式(1)～式(3)所示。式(1)为加载阶段,式(2)为卸载阶段,式(3)为再加载阶段

(1)

εre=g1εme+g2

(4)

(5)

(6)

(7)

c2(εre)=J1εre+J2

(8)

因此,在式(1)～式(3)所建的本构关系里,有σY,E,k,a1,a2,a3,a4,g1,g2,k1,k2,k3,k4,J1,J2等15个待识别参数来表征EPE加载-卸载阶段以及再次加载的复杂力学行为,具体参数如表1所示。

表1 EPE一维本构方程参数值

2 易损件-产品-泡沫缓冲系统动力学模型

对于具有易损件的产品,产品可以离散为产品主体与易损件,根据产品的加速度响应可以计算出易损件的加速度-时间曲线[17]。由于易损件的质量远小于产品质量,所以不必考虑易损件动力学响应对产品主体的影响规律。由易损件、产品与泡沫组成的缓冲系统示意图如图2所示,分别取产品、易损件的中心位置为坐标x,y原点,规定向下为正方向。

图2 易损件-产品-泡沫缓冲系统动力学模型

对于理想的弹塑性材料,应力、真实接触面积和负荷的关系可用式(9)表达

F=Aσ

(9)

当产品跌落后,EPE发生变形,产品主体产生位移x,易损件产生位移y,此时EPE的应变和应变率为

(10)

则产品主体的运动方程为

(11)

易损件进行近似完整的正弦波冲击过程,则其运动方程式为

(12)

根据式(11)及式(12),可得出系统的动力学振动方程为

2.1 多次冲击系统加速度响应

为研究易损件-产品-泡沫缓冲系统在多次冲击下的加速度响应,基于式(13),采用参数m=10 kg,fs=60 Hz,A=0.02 m2,h=0.045 m,v0=3.43 m/s。可得到系统进行连续三次冲击下的产品主体加速度响应与易损件加速度响应,如图3所示。

图3 产品和易损件加速度响应

图3(a)中产品在第一次冲击下加速度先进行线性增加,再进行非线性增加至及速度峰值,之后逐渐降低,最后恒定为零,但第二、第三次冲击下未出现此行为,并且在第二、第三次冲下加速度峰值明显增大,说明EPE衬垫在经过第一次冲击后发生软化,导致缓冲性能有所下降;加速度峰值左移说明产品加速度更快达到峰值,缓冲时间减短,对产品的缓冲保护作用减小。图3(b)中易损件在完成一个近似完整的正弦波冲击过程后,开始进行简谐振动,后两次冲击下的加速度峰值是第一次冲击下加速度峰值的两倍。不管是产品还是易损件,它们在第二次冲击和第三次冲击下的加速度-时间曲线几乎重合,说明EPE衬垫在经历第一次冲击后缓冲性能已经大幅降低。

对第一次冲击下产品和易损件的加速度响应进行比较,如图4所示。易损件和产品几乎同时到达加速度峰值,易损件的加速度峰值要高于产品的加速度峰值,若易损件的固有频率选择较小,其峰值将右移。且在产品加速度恒为0后,易损件依旧进行简谐振动,说明冲击对易损件造成的影响持续时间较长。

图4 第一次冲击下产品和易损件加速度响应

2.2 不同频率系统冲击谱响应

为研究易损件-产品-泡沫缓冲系统在不同频率下的冲击谱响应,基于式(13),采用参数m=10 kg,A=0.02 m2,h=0.045 m,v0=3.43 m/s,给定频率f的区间10～80 Hz,得出易损件最大加速度G1m随频率f的变化关系,如图5所示。根据图5所示,G1m随着f的增大先升高后降低,这是因为系统在特定频率下发生共振,在共振频率下,很小的周期振动便可产生很大的振动,这是由于系统储存了动能。共振使G1m增大,且随着冲击次数的增多,共振时的频率右移,在进行缓冲设计时需要避免易损件-产品-泡沫缓冲系统发生共振。

图5 不同频率下系统冲击谱

3 数值设计算例

基于减量化原则来进行缓冲包装设计时,常需要通过多次试验来确定最合适的缓冲衬垫横截面积及厚度。进行曲线预测可以达到减少试验周期和试验成本的目的。

给定易损件固有频率以及极限加速度信息,即可通过求解振动方程式(13),得到合适的EPE缓冲衬垫尺寸。给定参数质量m=10 kg,频率fs=60 Hz,冲击初速度v0=3.43 m/s,极限加速度aj=120 m/s2,厚度h分别为0.035 m,0.04 m,0.045 m的三种EPE缓冲衬垫。基于式(1)～式(3)及式(13),利用数值计算软件可画出EPE缓冲曲线图如图6所示,连续跌落两次下易损件的最大加速度-衬垫面积图如图7所示。

图6 缓冲曲线

图7 易损件加速度-衬垫面积关系

基于减量化设计原则,缓冲衬垫在达到要求缓冲作用的前提下应尽量选择较小的尺寸。根据图6所示:当h=0.035 m时,EPE缓冲衬垫面积为0.041 m2,体积为0.001 435 m3;当h=0.04 m时,EPE缓冲衬垫面积为0.022 m2,体积为0.000 88 m3;当h=0.045 m时,EPE缓冲衬垫面积为0.017 m2,体积为0.000 765 m3。根据减量化原则,应选择体积更小的EPE缓冲衬垫,即h=0.045 m,A=0.017 m2。

考虑易损件在多次跌落冲击下的影响,根据图7(b)所示,当缓冲衬垫厚度h=0.035 m时,易损件第二次跌落时加速度超过极限加速度aj,因此不能选择h=0.035 m的EPE缓冲衬垫。暂拟定EPE缓冲衬垫厚度为0.04 m或0.045 m。取图7(b)中h=0.04 m和h=0.045 m两条曲线与G1=aj=120 m/s2的交点A,B。近似地取点A的横坐标为0.012,即横截面积为0.012 m2,此时EPE缓冲衬垫体积为0.000 54 m3;点B的横坐标为0.016,即横截面积为0.016 m2,此时EPE缓冲衬垫体积为0.000 64 m3。根据减量化原则,应选择体积更小的EPE缓冲衬垫,即选择h=0.045 m,A=0.012 m2为最终设计尺寸。根据易损件加速度-衬垫面积关系所求出来的衬垫尺寸小于缓冲曲线求出的衬垫尺寸,可以避免产品过度包装。

4 结 论

(1)第一次跌落冲击下,产品的加速度响应既有线性阶段又有非线性阶段,而第二、第三次跌落冲击下,产品未呈现此现象且加速度峰值明显增大,说明多次冲击下EPE缓冲性能降低,保护作用减小。

(2)系统在特定频率下会发生共振,导致易损件响应增大,且该特定频率会随着跌落次数的增多而增大。

(3)缓冲曲线没有描述冲击对易损件造成的影响,建立易损件-产品-泡沫缓冲系统动力学模型,利用本构关系可以算出连续多次载荷下的缓冲设计。

(4)在进行缓冲设计时,结合不同厚度的易损件加速度-衬垫面积关系曲线,与缓冲曲线进行对比,能够避免过度包装。