单层圆筒形铜制承压设备静强度概率分布

杨 帆* 华 滨 陈 帆 陈 刚 刘 兵 张红卫 刘小宁

（武汉软件工程职业学院 机械工程学院）

0 引言

单层圆筒形铜制承压设备(管道)的静强度可分为两种三大类，两种是指静强度包括屈服压力与爆破压力；三大类是指静强度的实测值，或考虑有关因素随机性，通过公式得到静强度的预测值，或不考虑有关因素随机性，用公式得到静强度的名义值。单层圆筒形铜制承压设备的工作介质往往是具有一定压力的液体或气体，为了保证其静强度的安全，常常采用有关标准来规范其设计、制造与检验过程[1-2]。

在常规设计方法中，将影响承压设备静强度的因素视为确定量，采用中径公式设计其静强度。由于铜材力学性能、承压设备的几何尺寸等影响静强度的因素往往是随机变量，综合考虑这些因素的不确定性，建立单层圆筒形铜制承压设备静强度的可靠性设计方法[3]，研究单层圆筒形铜制承压设备的静强度概率分布，是建立其可靠性设计方法的重要基础工作。

文中以长度与直径之比较大的单层圆筒形铜制承压设备静强度为研究对象[4]，将实测静强度与中径公式名义值之比作为随机变量，应用概率论和数理统计知识[5-6]，基于文献[7-8]对单层圆筒形钢制承压设备静强度概率分布进行探索，研究了单层圆筒形铜制承压设备的静强度分布规律与分布参数，并对实测静强度的下限进行了探讨。

1 理论模型

1.1 两个正态分布随机变量之积的概率分布

假设x，y分别为符合正态分布的随机变量，其均值分别为μx与μy，标准差分别为σx与σy，变异系数分别为Cx与Cy。

若z为x与y之积，即：

则随机变量z符合正态分布，并且均值μz、标准差σz与变异系数Cz分别为：

由概率论和数理统计知识可知，随机变量的分布规律与参数应从无数试验数据中统计得到，而工程界只能构建具有统计性质的随机变量，通过具有有效性与同质性的有限试验数据[9-10]，在一定显著度时分析随机变量的分布规律，在一定双侧置信度时，讨论随机变量分布参数的区间值[11-12]。

1.2 构建两个具有统计性质的随机变量

我国标准采用有关公式预测承压设备的静强度，并进行静强度设计，可建立以下等式：

式中：pr——承压设备静强度的实测值，MPa；

ur——将有关因素视为确定量时，计算得到的承压设备静强度的名义值，MPa。

令式（5）中：

由式（6）可以得到：

1.3 随机变量zr的分布规律与分布参数

根据统计数据，假设在显著度为δ时（通常取0.05）通过假设检验的方法证明xr与yr是基本符合正态分布的随机变量，在双侧置信度为（1-α）（通常取α=0.02）时，得到xr与yr分布参数的取值区间。对于符合正态分布的随机变量，其分布参数包括均值、标准差与变异系数，记xr与yr的均值、标准差和变异系数分别为μxr与μyr，σxr与σyr和Cxr与Cyr，则在双侧置信度为（1-α）时的取值区间分别为：

在式（8）与式（9）中，上标l与u分别表示参数在双侧置信度为（1-α）时的下限与上限。

在双侧置信度为（1-α）时，将式（8）与式（9）代入式（2）～式（4），可得到符合正态分布随机变量zr的均值μr，标准差σr和变异系数Cr取值区间分别为：

其中：

2 基于中径公式的静强度概率分布

2.1 计算静强度的中径公式

单层圆筒形铜制或者钢制承压设备静强度的计算公式比较多[13]，我国标准将影响静强度的因素视为确定值，采用中径公式计算其静强度名义值[14]：

式中：ur——单层圆筒形铜制承压设备静强度的名义值，MPa；

K——单层圆筒形铜制承压设备径比的名义值，K=Do/Di；

Di——设备的内直径名义值，mm；

Do——设备外直径的名义值，Do=Di+t，mm；

t——设备壁厚的名义值，mm；

Rr——设备材料力学性能的名义值，当下标分别取p与m时，Rr分别为材料屈服强度Rp的名义值与抗拉强度Rm的名义值，mm；

式（11）的应用范围为设备的设计压力不超过35 MPa，当抗拉安全系数取3 时[1]，即等同于设备与管道的实测爆破压力不超过105 MPa （3×35 MPa），或者容器径比的名义值K≤1.50。

为保证单层圆筒形铜制承压设备的制造质量，我国采用有关标准限制静强度影响因素的制造误差，将其控制在允许范围。当考虑静强度影响因素的随机性时，采用中径公式得到的静强度预测值为：

2.1.1 随机变量xr的概率分布

对于采用我国标准设计、制造与检验的单层圆筒形铜制承压设备，随机变量xr可描述其静强度实测值与设计公式预测值之比的概率分布。

对于单层圆筒形铜制和钢制承压设备，基于63组爆破压力实测值与中径公式名义值之比的研究[8]，发现在显著度δ= 0.05 时，xr为基本符合正态分布的随机变量，在双侧置信度为98%时，xr分布参数的取值区间为：

由于屈服压力产生的机理也是材料变形，因此可认为，式（13）的参数同样适用于单层圆筒形铜制和钢制承压设备与管道屈服压力预测或者计算。

2.1.2 随机变量yr的概率分布

当单层圆筒形铜制承压设备是按我国标准设计、制造与检验时，随机变量yr描述了其静强度的公式预测值与公式名义值之比，反映了我国标准的科技发展水平及新成果在工程中的应用。

根据数理统计理论与概率论方法[5-6]，随机变量yr符合正态分布，其均值为：

标准差的计算公式为[15]：

式中：σyr——yr的标准差，与静强度的种类有关；

σδ，σφ，σDi，σRr——分别为圆筒壁厚、焊接接头系数、圆筒内直径、材料机械性能常数的标准差；

Cδ，CDi，Cφ，CRr——分别为壁厚、内直径、焊接接头系数、材料机械性能常数的变异系数，CRr与静强度的种类有关。

由于CRr和σyr都与静强度的种类有关，因此，当静强度为爆破压力时，CRr取材料抗拉强度的变异系数CRm，与yr对应的标准差为σym；当静强度为屈服压力时，CRr取材料屈服强度的变异系数CRp，与yr对应的标准差为σyp。分析表明[15]，Cδ=0.041 67，CDi=0.005，Cφ=0.033 33，1.0＜k≤1.50，由式（15）得：

根据我国科技发展的水平，钢材抗拉强度与屈服强度的变异系数分别可取0.05 与0.07[3]；基于对TP2铜材力学性能研究[16]，建议取其抗拉强度与屈服强度的变异系数CRm与CRp分别为：

将式（17）代入式（16）得到yr标准差的取值范围：

2.2 静强度的概率分布

2.2.1 爆破压力的概率分布

当用中径公式计算爆破压力的预测值或者名义值时，xr与yr用xm与ym表示，xm与ym都是基本符合正态分布的随机变量，zr用zm表示，根据式（7）与式（1），zm与z都是基本符合正态分布的随机变量。

基于计算爆破压力预测值或者名义值，在双侧置信度为98%时，将式（13）、式（14）与式（18）数据代入式（10），得到zm分布参数的取值区间为：

根据式（5）与式（6），爆破压力实测值为：

从工程应用的角度，必须对实测爆破压力下限进行严格控制，以保证设备安全。由于zm基本符合正态分布，从偏于保守角度，由概率论中随机变量正态分布知识可知，当单侧可靠度为99.865%时，实测爆破压力下限区间为：

将式（21）数据代入式（22），得：

2.2.2 屈服压力的概率分布

当用中径公式计算屈服压力预测值或者名义值时，随机变量xr与yr用xp与yp表示，xp与yp基本符合正态分布；zr用zp表示，根据式（7）与式（1），zp也是基本符合正态分布的随机变量。

基于计算屈服压力预测值或者名义值，在双侧置信度为98%时，将式（13）、式（14）与式（19）数据代入式（10），得到zp分布参数的取值区间为：

采用建立式（24）的方法，得实测屈服压力下限位于区间：

并将式（26）数据代入式（27）中，得到：

由概率论知识可知，从偏于保守角度，实测屈服压力下限满足式（26）的可靠度也为99.865%。

3 应用验证

为建立单层圆筒形铜制承压设备静强度的可靠性设计方法，必须应用有关实测数据对静强度的概率分布进行验证。参考文献[17-19]提供了32 组外直径名义值为7.00 ～ 12.70 mm的TP2铜管爆破压力实测值，可在可靠度为99.865%时，应用其对式（23）进行验证。现将有关物理量的名义值、爆破压力实测值及其预测区间一并列入表1。

表1 TP2铜管实测爆破压力及下限预测

由表1 可知，32 组铜管爆破压力实测值均大于其下限位于区间内，表明式（23）可靠。

式（26）的可靠性已在参考文献[20]中得到验证。

4 结论

应用概率论与数理统计方法，将单层圆筒形铜制承压设备实测静强度与中径公式得到的名义值之比视为随机变量，研究了单层圆筒形铜制承压设备实测爆破压力与屈服压力的概率分布，探索了承压设备实测爆破压力下限的取值，得到以下结论。

（1）单层圆筒形铜制承压设备的实测静强度与中径公式得到的名义值与之比，在显著度为0.05 时是基本符合正态分布的随机变量。

（2）对于实测爆破压力与中径公式得到的名义值与之比的随机变量，在双侧置信度为98%时，其均值不小于0.966 6 且不大于0.997 0，标准差不小于0.077 90且不大于0.097 90，变异系数不小于0.078 13且不大于0.101 3。

（3）对于实测屈服压力与中径公式得到的名义值与之比的随机变量，在双侧置信度为98%时，其均值不小于0.966 6 且不大于0.997 0，标准差不小于0.114 6 且不大于0.130 5，变异系数不小于0.114 9 且不大于0.135 1。

（4）经32 组实测数据证明，单层圆筒形铜制承压设备实测爆破压力与中径公式名义值与之比不小于0.672 9 的可靠度为99.865%。