“微分几何”课程分层次混合式教学模式探索

杨云龙

（大连海事大学理学院 辽宁 大连 116026）

全面实现以学生为中心是落实全国高校思想政治工作会议精神和党的二十大精神的重要举措，旨在实现三全育人，培养新时代接班人，具有重大的战略意义。以学生为中心的教学是全面贯彻以学生为中心教育理念的重要方面，也是教师落实三全育人的主要途径。

微分几何作为数学与应用数学专业必修课，是一门高阶课程，能将数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程等先修课程内容进行综合，对拓宽学生视野具有重要作用。近五年来，该课程面临一些挑战，如学生在开课前的学业绩点差距明显，对先修课程内容的掌握程度存在个体差异。为此，本文提出引入分层次教学方式。传统的分层次教学因学时所限，难以获得较好的效果，因此可借助混合式教学的方式来实现。混合式教学可根据知识点的难易程度，通过网络资源对知识进行模块化处理，为不同知识层次的学生提供不同难度和主线的课程内容，因材施教，不仅体现课程的高阶性，还符合国家教育数字化战略。

“以学生为中心”教育理念最早起源于美国实用主义教育家杜威，我国对这一教育思想的研究始于20 世纪90年代初。2011 年，华中科技大学校长李培根在《以学生为中心的教育——一个重要的战略转变》中明确提出“以学生为中心”的教育理念，这关乎大学的核心理念、精神与文化，也关乎学校未来发展战略。

尽管对公共基础课程的混合式教学已有较多实践[1-4]，但数学类课程，尤其是微分几何这样的专业必修课，其以学生为中心的混合式教学研究仍相对较少。因此，探索以学生为中心的混合式教学模式，对于达成育人目标并在其他高年级数学专业课程中借鉴是具有重要意义的。

结合近五年的课前学生学业绩点数据来看，对数学与应用数学专业学生进行同等程度的混合式教学，既不能满足新时代高层次人才培养的需求，也是一种不结合具体教学实际问题的盲目教学改革。从学生特点、课程特点和课程所承载的培养目标任务来看，在有限学时内，既要确保学生掌握必要的知识，又要了解课程的实际应用、拓宽学生视野，采用以学生为中心的分层次混合式教学是一种必然的选择。

分层次教学在数学线下课程，尤其是高等数学等数学类公共基础课中，已进行相当程度的实践探索，参见文献[5-8]。在化学[9]和计算机[10]等具有实验要素的学科中，分层次混合式教学模式已得到尝试，但其在数学专业课程的实践探索中并不常见。因此，针对数学与应用数学专业的特点，探索分层次混合式教学模式是非常有意义的。

1 微分几何课程改革举措

在以学生为中心的教育理念下，本文对大连海事大学数学与应用数学专业的“微分几何”专业课进行了课程框架内容重塑。新的框架构成了多层次多目标的学习任务，通过“课前—课中—课后”教学过程的闭环设计，融入课程思政内容，三位一体地实现全面育人的培养目标。课程内容与毕业设计有效联动，鼓励学生在实践中探索，加深对课程的理解，辅助完成协同育人中的重要一环。

在课程内容修订上，以课程自编讲义内容为蓝本，尝试将教材知识点分成A（基础）、B（提高）和C（拓展）三个层次，探索与知识点对应的课程思政元素，具体实施细节如下。

1.1 课程内容分级

教材中A（基础）层次知识点包括：内积、外积、混合积及其运算性质，向量函数的定义、一元（二元）向量函数的连续、极限、导数（偏导数）及其性质，平面曲线的定义、切向量、奇异点、正则点、平面曲线的弧长、曲率和Frenet 公式，空间曲线的定义、切向量、主法向量、副法向量、奇异点、正则点、空间曲线的弧长、曲率和挠率；不同参数下的Frenet 公式和曲率、挠率求法，平面凸曲线的概念、平面凸曲线的支撑函数和宽度函数，曲面的概念及其表示，曲面的第一基本形式、度量矩阵，曲面的第二和第三基本形式、法曲率、Gauss曲率、平均曲率、Euler公式，直纹面、可展曲面，Einstein 和式约定；Gauss 公式和Weingarten 公式，高斯绝妙定理及其应用，测地曲率、测地挠率的定义与计算，测地线的定义及测地线方程，Gauss-Bonnet 公式。

教材中B（提高）层次知识点包括：Lagrange 恒等式、Jacobi 恒等式和Binet-Cauchy 恒等式，一元向量函数的积分及其性质，平面曲线的Frenet 公式的应用，平面曲线论基本定理、近似曲线、平面曲线的高斯映射几何意义，平面常曲率曲线的分类，空间曲线的Frenet 公式的应用，一般螺线，空间曲线论基本定理，平面曲线的切线极坐标和曲率中心轨迹，曲面的Gauss 映射和Weingarten 映射，可展曲面的特征，Gauss 方程和Codazzi 方程、曲率算子，曲面论基本定理，Liouville 公式，曲面上的半测地坐标网，常高斯曲率曲面分类，Gauss-Bonnet 公式的应用。

教材中C（拓展）层次知识点包括：旋转指标定理、四顶点定理，切线的球面标线、球面曲线的刻画，常曲率和挠率的空间曲线分类，近似曲线、切触、Fenchel 不等式，用Fourier级数表示平面凸曲线的几何量，等周不等式的不同证明方法，反向等周不等式、Chernoff不等式和反向Chernoff不等式，近似曲面、Dupin 指标线、Minkowski 公式、球面的刚性，曲面论基本定理的应用。

1.2 思政元素探索

针对不同层次的知识内容，确立以培养数学思维、树立科学精神、抱有家国情怀、欣赏数学之美、探索生活实践、掌握哲学思辨为导向的课程思政融入方向，具体实例：

①微分几何以向量函数微积分为主要工具，探索几何研究对象的整体性质，将“工欲善其事，必先利其器”的名句体现得淋漓尽致，展现了数学思维的系统性和全局意识。

②微分几何中一个重要研究对象——等周不等式，自古希腊时期开始一直研究至今，经过不同时期数学家的深入思考，延拓出许多全新的主题，对等周不等式的不断探索恰恰展现了不屈不挠的科学精神。

③国际著名微分几何学家陈省身先生的几何成就，激励了一代又一代中国学生投身微分几何学的研究。陈先生始终心系祖国，通过自身的国际影响，对国内数学事业的发展起到了不可磨灭的作用。

④微分几何中的研究对象出现在实际生活中的许多场景中，如飞机和轮船的航线设计与微分几何学中的测地线理论密切相关，海图与地图的制作与可展曲面紧密相连，鸟巢等许多建筑身上都有直纹面的身影。这些微分几何在生活中的应用无不体现了数学的美。

⑤由活动标架法所引导的黎曼几何理论与物理学家探究广义相对论的工具不谋而合，恰恰体现了哲学中的事物的统一性原则。

在课程资源拓展方面，结合自建课程资源内容，筛选优秀的网络内容资源，拓展学生的课后自主学习资源，引导学生独立思考，具体实施细节如下。

1.2.1 学科史引入

介绍微分几何的简史，引入国际知名数学家丘成桐先生的“数学史：近代几何的历史”系列通识讲座作为拓展资源，为学生搭建从学科史的角度去理解概念和定理的产生和发展过程的平台，拓宽学生对微分几何学科的认知，使学生理解和了解数学家思考问题的方式和角度，增加学生投身数学事业的热情。

1.2.2 竞赛试题选讲

通过选讲历届全国大学生数学竞赛专业组中的“微分几何”试题，帮助学生厘清不同知识点的内在联系，从而深入理解课程内容，形成运用几何学思想解决问题的全局意识和系统性思维方式。

1.2.3 研究性课题探索

增设与课程内容相关的研究性课题，供学有余力和对微分几何有探究热情的学生深入思考和拓展练习，如利用Fourier级数探究几何不等式、利用活动标架法考虑球面的刚性问题等。

1.2.4 前沿应用推送

精选张伟平院士《从三角形到流形——Atiyah-Singer指标理论简介》和南京大学“本科生论坛”中涉及微分几何课程的相关通识报告，拓宽学生的数学视野和对微分几何基本理论的理解。推送与课程内容相关的数学公众号内容，使学生了解微分几何知识的前沿应用，如国内知名的数学公众号“老顾谈几何”中介绍微分几何在计算共形几何等图形图像处理领域中的应用。

在课程内容与毕业设计联动方面，依据课程内容给出部分可以作为毕业设计的题目，将这些题目作为雨课堂讨论区中的内容，供有兴趣的同学预研。预研有一定成果的同学一般都会以本课程的题目作为毕业设计选题，这种“从课程中来”到“课程中去”的毕业设计题目设计机制，实现了研究内容与学生的双向选择，节省了毕业设计阶段学生对选题的了解时间。实际应用到毕业设计选题的内容包括等周不等式的证明，平面凸曲线的几何不等式，Fourier级数在几何学中的应用，非欧氏空间的曲线与曲面理论，平面曲线流的相关研究等。

2 建设情况与实践效果

两个学期的课程建设完善了“微分几何”在雨课堂平台上的课程内容搭建，完成雨课堂资源包内图文、视频类内容共计10 章31 个学习单元（其中课程视频资源40 个）及课程思维导图与配套习题库，为学生提供了不同程度的自主学习资源。

经过一个学期的实践教学，在不改变平时成绩占比且考题难度与考点相同的前提下，以学生的实际期末考试试卷成绩为标准，2021―2022（2）学期（改革学期）与之前的学生成绩数据相比，60 分以下的数量为0，90 分以上优秀学生的数量提高，平均成绩较往年也有提高，详见图1。“微分几何”混合式教学实践踏出了以学生为中心的分层次混合式教学模式在大连海事大学数学专业课建设的第一步，对数学与应用数学等其他专业课程有一定指导意义。

图1 改革前后学生成绩对比

在课程内容与毕业设计联动方面，本课程的实践也取得了一定成果，在课程改革周期内累计指导与微分几何课程内容相关的毕业设计6 人次，相关成果已整理完成并投稿2 篇国际学术期刊论文，其中1 篇已被《数学物理学报（英文版）》接受待发表。