一道初中几何压轴题的点评*

刁 琴 石勇国

⦿内江师范学院 数学与信息科学学院

从近年全国各省市中考来看,动态几何题已成为中考数学的热点题型之一.这类题按照“观察—抽象—探索—猜测—论证”方式命题,有较好的区分度,具备探究的功能,有力地考查了学生的数学核心素养.然而这类题难度大,知识点跨度宽,多数学生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南区二模初中数学压轴题为例,利用归纳、类比、猜想、化归的数学思维,结合数形结合的方法进行求解分析;同时点评了该题的考点、区分度、命题设计,并且给出了变式拓展以及教学上的几点建议.

1 试题求解分析

题目在△ABC与△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,且∠CAB=∠CDE=θ,点D始终在线段AB上(不与点A,B重合).

图1

图2

对于第(2)问,利用类比、归纳,发现不变量.根据两角对应相等的两个三角形相似,判定Rt△ABC∽Rt△DEC,有

根据相似三角形的判定定理,即两边对应成比例且夹角相等,确定△ACD∽△BCE.于是

∠CBE=∠CAD=θ,∠DBE=90°,

以及相似比

猜想:不管角θ多大,均有△ACD∽△BCE,而且∠DBE是直角.

证明方法类似.

第(3)问利用化归的方法,转化最值问题进行求解.根据两个不变量△ACD∽△BCE,∠DBE=90°,结合M是DE的中点、直角三角形斜边中线定理和θ=30°,得到BM=ME=MD=CE.

图3

2 试题点评

2.1 考点知识面宽,区分度明显

试题第(1)问考查了三角形全等的判定.第(2)问考查了类比法、三角形相似的判定、相似比以及归纳法的第一步特殊值验证.第(3)问考查了直角三角形的中线定理、勾股定理、直角三角形斜边大于直角边,以及最值问题.题中附带的两图,包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9个三角形,3个四边形.涉及2个变量,即1个角度变量∠CAD,1个动点D.考点从等腰直角三角形变化为一般的直角三角形,从角度变化到动点变化,从求比值到求最值.问题由易到难、层次分明,考点之间有机融合,三个小问区分度明显,是一道非常好的几何压轴题.

2.2 考题变中有定,动中有静

该题有两个变量,同时在变化中也有两个不变量:一是△ACD∽△BCE;二是∠DBE是直角.

为了分解题目的难度,将变量θ依次取特殊值进行设问.第(1)问以简单特殊值入门,让考生初步尝试;第(2)问以另外一个特殊值进一步探索,通过类比、归纳、猜想,引导学生发现上述两个不变量.第(3)问将变量θ设置为固定值,以D为动点求最值.通过化归的方法,将动态的问题转化为直角三角形的静态最值问题,最后得到解.

题目设计以学生为中心,让学生从考题中享受探索发现、类比猜想、验证证明的乐趣.选题动静结合,从特殊到一般,在变化之中寻找不变量,在动态之中寻找最小值.三个小问由易到难、逐步深入,相关知识点衔接顺畅,设计精巧,是一道适合探索研究的好题.

2.3 考题变化有度,适合变式训练

本题有两个变量,因此可以设计较多的变式拓展的训练题.例如下面的问题(4):

(4)若θ=60°,M为DE的中点,当AC=2时,BM的最小值为多少?

另外考虑点D可能在AB的延长线上,可以设计如下问题(5):

(5)若θ=60°,且D在直线AB上(不与A,B重合),点M为线段DE的中点.若AC=2,当△BMC为直角三角形时,求BE的长.

图4

图5

再由直角三角形中线定理,可得

3 教学建议

(1)培养学生逻辑思维与直观想象能力

针对几何题,引导学生读题并且联想变化过程、绘制多幅图展示动态过程,从题目中提取关键信息,在众多的三角形中找出全等或相似三角形,利用相似比,根据三角形重要定理,列出边角所具有的关系.利用数形结合的方式,对题目进行双重表述,锻炼逻辑思维与直观想象能力.

(2)培养学生数学思维方式

按照数学的思维方式传授数学知识,提升学生的四种数学思维:从特殊到一般的归纳思维、触类旁通的类比思维、化繁为简的化归思维、“反其道而思之”的逆向思维.引导学生学会遇到问题时该如何发现规律、举一反三、变换化简、反向思考,逐步养成数学思维方法,能够用数学的眼光看问题,了解问题的本质,分析出难点,选择合适的数学方法,用数学语言表达求解过程,以此训练学生的思维方式,提升数学核心素养.

(3)教学融入德育实践

对复杂的动点几何题分析不难发现,变量在变化过程中常常会出现数量关系保持不变的情形.这就需要我们勇于探索,排除动态变化的干扰,用数学的眼光去发现不变的规律,大胆猜测,小心求证.教学中要融入德育实践,在润物细无声中,培养了学生讲理、严谨的理性精神,鼓励学生认识与评价数学,养成正确的理想信念,增强学生的兴趣与自信心,培养坚韧不拔、谦虚谨慎与志存高远的品质,以及追求创新的精神.Z