“计数方法”内容的教材学习进阶研究

陈瑞华

【摘 要】“计数方法”是数学中的一个重要内容，在小学阶段就已经开始渗透，对提升学生的数学素养具有重要的意义。北师大版教材在四年级和六年级均有涉及“计数方法”的内容，教材从学习目标、学习路径、解决问题的策略等方面都有一个学习进阶的过程。

【关键词】计数方法 学习进阶 解决问题

在北师大版小学数学教材体系中，涉及“计数方法”的内容主要有四年级上册的“数图形的学问”和六年级上册的“比赛场次”，这两个内容都编写在“数学好玩”板块中，同属于“综合与实践”领域，教学内容的编排遵循“由易到难”“从简单到复杂”的原则。同时，这两个内容的编排体系都具有“模型化”的特点，即以“问题情境—建立模型—解释、应用模型”的方式进行课程教学。

一、教材中学习目标的学习进阶

学习进阶（learning progressions，简称LPs）也称学习进程，是美国科学教育改革中的一个新兴的概念，是对学生在各学段学习同一主题的概念时所遵循的连贯的、典型的学习路径的描述，一般呈现为围绕核心概念展开的一系列由简单到复杂、相互关联的概念序列。美国国家研究理事会（NRC）将学习进阶定义：学习进阶是对学生连贯且逐渐深入的思维方式的假定描述，在一个适当的时间跨度下，学生学习和探究某一重要的知识或者实践领域时，其思维方式会逐渐进阶。教师要利用学习进阶理论，找到“计数方法”内容，在学生学习的过程，把学生的学习划分成一些阶段或步骤，更清晰地认识到学生学习数学的规律和思维的层次，从而能够更好地引导学生由低到高的学习进程。

笔者从会抽象、会推理、会应用这三个方面对小学阶段“计数方法”内容的目标进行研究。

会抽象，主要是要求学生在实际问题中通过画图、列表等形式将内容抽象出来，通过对实际问题的表征、抽象使思维得以提升。

会推理，包括归纳推理和演绎推理，小学阶段的会推理一般指归纳推理，也叫合情推理，指通过观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法，为猜想提供依据。

会应用，主要包括解决问题的特质与策略。应用的策略具有多样性，如画图、列表、从特殊到一般等。

根据这些目标的描述，笔者将这两个内容的目标列举如下，通过对学习目标进行研究，找到“计数方法”中这一内容在小学阶段的学习目标的学习进阶。

（一）会抽象

“会抽象”内容和目标见表1。

这两个内容中“会抽象”的目标学习进阶：“数图形的学问”要将鼹鼠钻洞的问题抽象成数学问题，再把洞抽象成点，把钻洞问题抽象成数线段的数学问题，最后通过有序数线段的策略来解决线段计数的问题；“比赛场次”要将体育中的比赛场次问题，抽象成数学问题，然后通过线段图、连线图、表格等多种策略，解决比赛场次问题。

（二）会推理

“会推理”内容和目标见表2。

“数图形的学问”主要通过画图的方式，从简单的四个点入手，引导学生进行有序思考，做到不重复、不遗漏，通过数线段，推理出线段计数的规律。“比赛场次”主要是让学生运用从简单到一般的策略来解决问题，运用画图、列表、连线的策略，找到递推的方法，推理出比赛场次的规律，并找到其中的联系。

（三）会应用

“会应用”内容和目标见表3。

“数图形的学问”将生活中的问题转化为数学问题，有序地数出线段的条数，建立数线段的模型，然后解决生活中的单程车票的问题。“比赛场次”通过不同的策略来解决问题，体验从简单到一般的数学思想，并建立模型，然后解决联络方式的问题。

（四）研究结果

根据学习目标的学习进阶分析，这两个内容的根本目标就是要让学生做到“三会”，也就是会抽象、会推理、会应用。而这些目标不是通过教师的教实现的，而是要求学生在操作、体验的过程中，通过自我体验和感悟得到的。学生在建立数学模型的过程中经历观察、猜测、实验验证、计算、推理、应用等具有数学特征的活动后使学习目标更加深入。这三个目标在这两个内容中都体现了由易到难的过程，是一个明显的进阶过程。

二、教材中学习路径的学习进阶

两个内容的学习路径相似，具体如图1：

（一）情境不同

“数图形的学问”创设了鼹鼠钻洞的情境，教材利用鼹鼠卡通的形象，创设了“钻四个洞，任选一个洞口進入，向前走，再任选一个洞口钻出来”这样一个情境，激发了学生的学习兴趣。但是，鼹鼠钻洞的情境虽然以卡通的方式呈现，却离学生的生活较远，学生需要将生活问题抽象成数学问题，这对学生来说有一定的难度。

“比赛场次”以学生喜闻乐见的乒乓球比赛作为情境，教材创设了“六（1）班十名同学进行乒乓球比赛，每两名学生之间要进行一场比赛”这一体育赛事的情境，比较符合学生的实际，可以快速地让学生发现问题。解决这一问题时，学生可以比较容易地将其迁移到数学问题中。

（二）问题的起点不同

“数图形的学问”从四个端点开始研究，让学生数出有多少条线段，比较符合学生的年龄特点。

“比赛场次”从十个人参加比赛开始研究，让学生感受从特例开始寻找规律的必要性。

（三）问题串的设计不同

在问题串的设计上，“数图形的学问”设计了两个核心任务：（1）有四个点，数一数有多少条不同的路线；（2）想办法按顺序数出有多少条不同的路线，要做到不重复、不遗漏。通过两个学习任务的设计，学生可以感受到有序列举的价值。

“比赛场次”呈现了三个核心学习任务：（1）十名学生参加乒乓球比赛，每两名学生之间要进行一场比赛，一共要比赛多少场？（2）找找有什么规律？（3）你知道一共要比赛多少场吗？通过三个学习任务，学生可以感受到从特例开始寻找规律的必要性。教师再引导学生通过列表、画图、连线等策略发现规律，解决比赛场次的计数问题。

（四）研究结果

研究发现，这两个内容的教材编写都是按“情境+问题串”的方式来编排的，每个内容都创设了基于学生特征的情境，让学生围绕情境提出问题、展开学习。这些问题的提出也是基于学习目标，按照一定的结构精心设计的，问题的指向性非常明确，从学生的知识、方法、思想等方面进行设计，从而引领学生的学习进程，最后实现课程目标。但是，情境的创设、问题的起点、问题串的设计上都体现了一定的学习进阶。

三、教材中解决问题策略的学习进阶

策略就是为了实现某一个目标，首先，预先根据可能出现的问题制订若干对应的方案，并且，在实现目标的过程中，根据形势的发展和变化制订出新的方案，或者根据形势的发展和变化选择相应的方案，最终实现目标。

（一）解决问题的策略

解决问题的策略具体见表4。

（二）研究结果

这两个内容在学习策略的选择上是一脉相承的，有明显的学习进阶，在“数图形的学问”中是运用画图的策略发现规律，初步感受从特例寻找规律的解决问题的策略。在“比賽场次”中，运用画图、连线和列表等多种方式，运用从特例寻找规律的策略，解决比赛场次的问题。两个内容从特例寻找规律的解决问题的策略的要求都是逐步螺旋上升的。

四、对教学实施的建议

通过研究，我们发现，解决此类问题时，在学习路径的设计上有着较为相同的路径，在教学实施的过程中，我们要注意以下几点：

（一）要注重过程性

这两个内容都是从学生熟悉的情境出发，提出问题，确定任务后就要组织学生开展活动，让学生去尝试做一做，在做一做的过程中去交流想法、发现规律、应用规律。学生在整个活动的过程中要从头到尾地去思考问题，要参与到整个知识形成的过程中，经历一个完整的学习活动过程。

（二）要注重趣味性

这两个内容都是从解决学生感兴趣的生活问题入手，例如，“数图形的学问”要解决鼹鼠钻洞的问题，“比赛场次”要解决乒乓球比赛的场次问题。这些问题与学生的生活密切相关，在解决问题时，学生有着浓厚的兴趣。而且，这些问题的解决一般可以通过合作学习更好地完成，所有的这些知识都体现了学生的合作学习和探究学习，培养了学生的合作能力。

（三）要注重实用性

这两个内容的解决都可以在生活中进行应用，例如，“数图形的学问”可以解决生活中的车票问题，“比赛场次”可以解决体育运动中的比赛场次问题，体现了数学来源于生活，并应用于生活。

【参考文献】

[1]刘晟，刘恩山．学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].教育学报，2012（2）.

[2]郭玉英，姚建欣.基于核心素养学习进阶的科学教学设计[J].课程·教材·教法，2016（11）.