提升高中学生数学运算能力的实践探究

邢燕

摘要：数学运算在高中数学教学与学习中占据重要地位，通过案例探究，分析教与学中的常见问题，梳理学生运算错误的主要类型，提出针对性的解决策略以及提升学生运算能力的操作方案，并对策略和方案的实践进行反思总结，在教学中落实数学运算核心素养的培养.

关键词：数学运算能力；实践探究

1 高中数学教与学中常见的运算问题

1.1 学生学习各类运算方法时常见的问题

一些学生在数学学习中对运算不够重视，平时学习和练习中只强化思路训练，不重视运算训练，认为算错只是大意，只要注意就能避免，殊不知运算也是讲技巧和方法的，正确的运算方法可以帮助你算得又快又准，错误的运算会导致你总是掉坑.一些学生在数学学习中对运算不够认真，出现看错数、算错数、计算不严谨等现象，导致最终答案错误.这样的运算错误大部分学生是归为粗心，自认为这题我会，只是不小心算错而已，下次小心就可以了.但事实上，数学运算是数学学科的核心素养之一，数学的学习就是要培养学生认真细致的做事态度，避免“差之毫厘，谬以千里”.

1.2 教师教学各类运算方法时常见的问题

首先，有些教师在教学过程中比较重视概念、定义等知识点的教学，强调通过概念、定义掌握问题的本质，常忽略了概念、定义的掌握也需要练习来强化.而数学练习中大多需要运算，只有运算正确才能得到正确答案.其次，教师在教学中往往会重视提问的设计，分析解题思路，但会忽略解题过程中的运算方法和运算步骤的总结与归纳.最后，教师在教学中虽然强调了正确的运算过程，但忽略了对学生易错点的分析，导致学生总是会而不对，不能通过练习获得成就感，从而对数学产生厌倦心理，对数学学习失去兴趣.

2 提升高中学生数学运算能力的策略

2.1 理解概念，夯实运算根基

利用新授课帮助学生理解不同的运算有不同的法则，但又有相通的体系.高中阶段常用的数学运算有整式、分式、根式的运算，指对数的运算，复数、向量的运算，集合运算，三角恒等变形，立体几何体积、表面积、角和距离的运算，排列组合与概率统计的运算，导数与函数、数列的运算，等等.可以说，数学学习离不开运算，但运算前一定要深入理解知识的来龙去脉，熟练掌握概念、定理、公式.教师要引导学生将新学的概念与旧知识进行比较，以加深理解，并巩固复习.只有正确理解概念，在运算中才能注意到平方会增根、约分会漏解、对数函数要注意定义域等这些细节，才能在运算中保持恒等变换.所谓运算的基本知识和方法，就是明确每种运算所适用的对象和范围，理解这种运算的数形关系，熟悉其逆用、变式及推广.在教学中，教师要给出针对性的训练，以加深学生对概念的理解.例如，“三角函数恒等变换”中“二倍角公式”这一节的新课教学，推导出公式，简单直接运用后，就需要进行公式的逆用、变形训练.

例1 求下列各式的值：

（1）sinπ12cosπ12；

（2）tan 22.5°1－tan 222.5°；

（3）cos4π12－sin4π12；

（4）cos 20°·cos 40°·cos 80°.

教师可根据基本概念、基本公式设计一些题目变式，以问题串形式给出，激发学生的思维和兴趣，鼓励他们解决复杂问题提升数学运算能力.这样可以加深学生对公式的理解记忆，熟悉公式的不同形式，更好地运用二倍角公式解决有关倍角、半角的问题，提高运算的正确率.

2.2 优化方法，明确运算方向

教师在教学中要展示不同的解题方法，让学生体会不同方法的运算差异.对运算过程中受挫的学生，教师应及时帮助他们发现和纠正错误，鼓励并指导他们反思总结，改进方法，明确运算方向.同时，为学生提供多样化的训练，包括不同难度和题型的题目，以帮助学生熟悉各种类型的数学运算，培养他们的运算能力.例如，求解圆锥曲线中的最值问题，不仅需要运算的基本功，还需要选择合适的方法，才能简化运算，正确求解.

例2 已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2.短轴的两个端点与F1，F2构成面积为2的正方形.（1）求Γ的方程；（2）如图1所示，过右焦点F2的直线交椭圆Γ于A，B两点，连接AO并延长，交Γ于点C，求△ABC面积的最大值.

在例2的解题过程中会遇到几处需要选择正确策略便于简化运算的地方.首先，直线方程的选择.直线方程斜截式的两种形式——x＝my＋t，y＝kx＋b，选哪个运算更简单？通过比较会发现，如果已知直线经过的点在x轴上，则用前者运算更简单；如果已知直线经过的点在y轴上，则用后者更简单.其次，直线和椭圆联立方程，代入消元后，直接求解会有根号和分式，用“设而不求，整体代换”思想可简化运算.再次，在求三角形的面积时，需要用到弦长公式——①|AB|＝1＋k2|x1－x2|，②|AB|＝1＋1k2|y1－y2|（k≠0），选择哪一个公式使运算更简单.既要看前面所设的方程，消元后得到的是关于x还是关于y的一元二次方程，也要看后面题目所求的是什么.最后，化简后的式子怎样求最值，可以利用函数的性质或基本不等式求最值，也可以利用三角换元、图形的几何特征求最值.

不同背景的题目往往几个方法都可以解决问题，但不同方法解决问题的难度是不同的，有些简单直接，有些则比较繁琐，这就需要优化解题策略，选择合适的运算方法.总之，在教学中要教会学生明确运算方向，选择合适的方法，促进运算能力的提高.

2.3 养成习惯，熟用运算方法

教学中可利用专项训练提高学生的运算能力，促使学生熟练掌握运算方法，养成习惯.专项训练也称为题组训练，该训练不是盲目的，而是有目的、有计划地进行各个运算专题的训练.明确的目标可以有效引导学生的学习，不做无用功，少走弯路，使学生在训练中学会运算的通性通法，达到触类旁通的效果.这种训练不能搞题海战术，需要教师精挑细选有变式、有梯度的同类题.认真研究高考真题，参考各地模拟题，可以直接归类练习，还可以变换数字、角度进行变式训练.通过对这类高质量题的反复练习，归纳总结，纠错反思，有效提高学习效率的同时，也提高了针对这类题的运算能力.学生在这样的专题训练中，可以熟练掌握一类题的运算方法，形成“肌肉记忆”，即养成习惯.在复习课中使用这种训练方法效率高，效果好.例如，在高三一轮复习中，讲解“直线与圆相切”这一节时，有关切线长的最值问题，可以给出以下例题和变式.

例3 若P为直线y=x+1上一动点，过点P作圆C：（x-3）2+y2=1的切线PA，A为切点，求切线长的最小值.

变式1 已知P为直线y=x+1上一动点，过点P作圆C：（x-3）2+y2=1的切线PA，PB，A，B为切点，则PA＼5PB的最小值为___________.

变式2 已知P为直线y=kx+1（k>0）上一动点，过点P作圆C：（x-3）2+y2=1的切线PA，PB，A，B为切点，若弦AB长的最小值为2，则k的值为___________.

高考链接 （2020年新课标Ⅰ卷＼5理）已知⊙M：x2+y2－2x－2y－2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB方程为___________.

深度的变式和高考链接，使学生熟悉这类题目的题设和所求以及解决这类问题的通性通法，再遇到此类问题时能快速找到最简单的解题路径，从而提高学习效率，对学生的数学思维和数学运算能力都能起到综合提升的效果.

3 反思总结

两年的实践探究，我们发现提升数学运算能力对不同的学生而言有很大的差異，个体的主观能动性对效果影响极大，唯有持之以恒方有成效.教师需要把数学运算的培养贯穿教学的始终，在教学中可以运算作为纽带建构教学进程，引导学生通过运算发现规律，借助运算解决问题［1］，发展学生的数学思维，促进高中学生运算思想和运算能力的形成.数学运算核心素养的形成，不仅需要教师的指引，更需要学生的积极参与，以形成自己的运算习惯和运算观.数学运算核心素养的培养是一个循序渐进的过程［2］，需要一线教师长期不懈怠的探索和研究.因此，应把数学运算核心素养的培养渗透到每一节课的教学中，落到实处.

参考文献：

［1］章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：19-20.

［2］马云鹏.关于数学核心素养的几个问题［J］.课程＼5教材＼5教法，2015（9）：36-39.