一题多析感真知 深度探究促思维——2023年江苏省高考物理卷第16题赏析与解读

丁洪良

(丹阳市教师发展中心,江苏 丹阳 212300)

带电粒子在电磁复合场中的运动问题是高中物理教学的重难点,同时也是高考命题的重点.一方面在于其此类情境通常与现代前沿科学技术的发展密切相关,能体现中国高考评价体系要求的“应用性”和“创新性”;另一方面在于此类情境通常涉及力、电、能等知识板块内容,体现了高考评价体系要求的“基础性”和“综合性”,考查频率相对较高．“滚轮线运动模型”又是其中最为经典之一.其中2008年江苏省高考卷、2011年和2013年福建省高考卷、2022年全国高考卷都考查了这一模型.2023年江苏高考物理卷第16题再次对此进行了考查.下面对本次江苏压轴题的命题和解答进行相关剖析．

1 原题再现

(2023年江苏卷)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型．Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B．质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射．入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等．不计重力及电子间相互作用．

图1

(1) 求电场强度的大小E;

2 模型溯源

2.1 速度选择器模型

图2

2.2 滚轮线运动模型

滚轮线又称圆滚线或摆线,是一个刚性圆形滚轮在水平地面上沿直线做纯滚动时,轮沿上的任一点的运动轨迹(如图3所示)．本题中,当粒子速度不等于v0时,粒子就会向上或向下发生偏转,做轨迹恰为滚轮线的复杂曲线运动,故可从运动合成和分解的角度入手,找到一条便捷的思路,第(2)(3)小问均可考虑此法．

图3

3 多种解法

以第(3)小问为例,可以从不同的角度出发,选择不同方法求解.

解法1:设电子以速度v入射时,刚好能达到的最高点位置的纵坐标为y2(图4),且对应速度为vm,根据题干条件“电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等”,由受力分析示意图知两合外力分别为evmB-Ee和Ee+evB,故有evmB-Ee=Ee+evB,结合E=v0B解得

图4

vm+v=2v0.

(1)

再根据动能定理得

(2)

由式(1)(2)联立解得

(3)

解法2:粒子运动过程中,由于x方向不受电场力作用,故其x方向上动量的变化一定是由洛伦兹力的冲量引起的,则由动量定理写出微分表达式并求和,得到

∑BevyΔt=Bey2=mvm-mv.

(4)

联立式(2)(4)求得

这种解法,无须用到题干给出的“电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等”这个关键条件．

解法3:前面提到,通过运动的分解思想,可以将电子的实际运动等效为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动的合运动.这需要做一些技术处理,一般称之为“配速”.“配速”程序如下:第1步首先确定粒子做匀速直线运动的分速度v1,方法是根据粒子所受的洛伦兹力与电场力二力平衡从而解出v1(不妨将v1称作直线速度);第2步根据3个速度满足矢量运算法则v=v1+v2求出分速度v2.v2所对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动(不妨将v2称作圆周速度);第3步利用左手定则判断其圆周运动绕行方向.

具体到本题,首先根据两力平衡得Ee=ev1B,再将第(1)问求出的E=v0B代入可得直线速度v1=v0．故当入射速度v

图5

v2=v0-v.

(5)

图6

同样,以上方法也可用于第(2)问,相对简单,不再赘述.

4 反思拓展

问题1:题干中说“入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示”,那如果入射速度大于v0,电子的运动轨迹又是何种形式?

分析:如果v>v0,粒子所受洛伦兹力大于电场力,会向下偏转,根据v的大小不同,可能有以下3种情形,不同情形取决于粒子在最低点的合速度方向．

(1) 情形1: 若v0

图7 图8

(2) 情形2: 若v=2v0,入射O点的两个分速度如图9所示,由于v2=v0,当电子运动到最低点时,v合=0,故电子实际轨迹应如图10所示.

图9 图10

(3) 情形3: 若v>2v0,入射O点的两个分速度如图11所示,由于v2>v0,当电子运动到最低点时,v合=v2-v0,方向向左,故电子实际轨迹应如图12所示.

图11 图12

问题2:题干中说 “电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等”,为什么会是这样?

分析:从“等效替代观念”看,由于电子的运动可以视为匀速直线运动和匀速圆周运动的叠加,故其所受合外力也即匀速圆周运动的向心力,所以电子不仅在最高点和最低点所受合外力大小相等,其实在轨迹上任何一点所受合外力大小也一定是相等的．

问题3:求解过程中的式(2)为“vm+v=2v0”,即电子在轨迹最高点的速度和最低点的速度之和正好等于2v0,这也是必然吗?

分析:当电子通过最高(低)点时,当两个分运动速度方向相同时,可得最大速度vmax=v0+v2;当两个分运动速度方向相反时,得最小速度v=v0-v2;vmax+v=2v0,故式(2)为必然结果．

本题中带电粒子的运动学方程和速度分量方程如下(推导及求解过程略)．

也可以从运动学方程出发求解上述问题.

但不管是从什么角度出发思考和解决问题,关键前提是能弄清现象背后的物理学本质,只有理解透彻、“悟理”明晰,自能融会贯通.

本题较好考查了学生的物理观念和科学思维水平,对学生物理观念的形成、科学思维能力的提升都能起到较好的促进作用,特别对学有余力的优秀学生更能有效促进其数理融合应用能力,提升学科核心素养,同时对广大物理教师也有较好的启发、借鉴和参考价值．