小学生数学推理意识的高质量发展——以运算律单元的实践研究为例

赵 倩(北京市海淀区万泉小学 100089)

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出了要“培养学生会用数学的思维思考现实世界”。数学思维主要表现为运算能力和推理意识,特别是对小学生来说,推理意识的培养至关重要。推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。学生通过运用推理意识来发现问题和解决问题,即通过对数学知识的思考和探究,依据已经掌握的知识推导得出新的结论。研究表明,推理意识并非与生俱来,而是在后天系统学习和训练中逐渐养成的一种能力,因此,发展推理意识必须注重培养过程性。

运算律是通过对等式进行观察、比较和分析而概括出来的运算规律。在系统学习运算律之前,学生在以往的知识学习中已经有了初步的了解。在运算律的教学中,教师组织教学活动时应思考和关注两个问题。首先是帮助学生借助已有的学习经验,通过图形、文字和符号语言描述所发现的规律;其次是在发现规律的过程中帮助学生发展抽象能力和推理意识。

一、关注学生已有经验, 重构单元框架

建立数学知识之间的联系,是学生不断积累和运用经验的过程。安布罗斯等人关于学习科学的研究成果表明:当学生把当前的学习与自己已有的知识联系起来时,他的学习效果将更好。教师应有目的地激活学生的已有知识和经验,帮助他们在新旧知识之间形成牢固的联系。因此,数学教学活动应重视学生已有经验。

结合北师大版四年级数学教材(以下简称“教材”)中的运算律教学单元,五个运算律的学习内容呈现形式基本相同,包括观察算式、仿写算式、解释规律、表述规律、应用规律,这五个运算律都是在直接出示算式后让学生发现规律。在教学实践中,教师可对教材进行进一步开发,关注学生已有数学知识。此外,数学知识本身具有内在结构,学生的认知结构也是遵循一定的规律建构而来。因此,在实际教学中,教师可更多关注学生已有经验重构学习单元,使其更加符合学生的认知,如图1所示。

图1 重构后的运算律单元框架

重构后的单元设计更关注学生利用已有经验发现规律的价值。在学习运算律单元前,教材中有关运算的内容之中已多次渗透了简便计算的方法,虽未提及运算律,但学生已对运算律有了初步体验。在运算律这一单元,学生开始系统学习运算律,并运用其解决简单问题,也能为后续小数、分数的简便计算打下基础。基于此,重构后的单元中设置了一节运算律的引领课,在有效唤醒学生已有经验基础上帮助他们建立运算律的整体观。首先,带领学生整理整数加法、乘法的问题情境,在解决问题过程中关注解决方法,继而从算式特点出发,通过观察、比较等方法,发现算式中数据、结构等存在的不同特征,帮助学生从整体感知运算律。接下来,再分别对每个运算律进行深入研究。学生先观察,然后仿写,再解释并表述运算律的意义,逐渐在运用运算律解决问题的学习过程中积累合情推理的经验。根据小学生的年龄和心理特点,上述教学设计更能够吸引学生,进而激发学生的研究兴趣,提高学生数学学习的效率,发展学生的推理意识。

二、引导学生对比分析, 建构知识框架

学习理解并运用知识解决问题,形成知识框架是学生学好数学的重要方式。小学数学的教学活动就是要帮助学生逐渐构建出知识框架,并支持学生在合情推理中逐渐丰富。

1.基于对情境的对比分析建构知识框架

史宁中等人认为“任何运算都是在讲故事”。在学生的思维世界里,与生活情境相结合的具体实例是他们理解抽象的数学概念生动且有效的载体。有关学习科学研究成果表明,基于深层的、有意义的特征,建立起丰富的内部关联的知识组织,能有效地支持学生的学习和学业表现。因此,教师应在学生探索规律的过程中帮助他们建立运算律的知识体系,在探究的过程中有效发展推理意识。

与生活情境相结合的小学数学课堂大多以情境教学法展开。研究表明,基于情境教学法的数学课堂能够在一定程度上激发学生的学习兴趣,使他们能更主动地进行数学探究来解决情境问题,并通过对比和分析不同情境的特点来进行数学推理,逐渐建构并丰富知识框架。因此,遴选适合小学数学课堂教学内容的事物或故事来创建教学情境,是发展小学生推理意识的重要教学准备工作。

以运算律单元引领课为例。学生首先选择自己最感兴趣的一个情境或从整体进行观察,利用整理的学习资料,从不同角度对问题情境对比分析引发新的思考。在多个情境问题的解决过程中,学生可以发现问题情境及解决方法的相似之处。经过小组交流,推荐最值得研究的发现。再进行全班交流,在寻找联系的过程中,感受问题情境对发现规律所起到的积极作用。通过解读小组的发现,整理归类,寻找联系初步发现规律,在对问题情境观察、比较、分析的过程中学生的推理意识得到了自然发展。

2.基于对算式的对比分析建构知识框架

发现规律是小学数学教学中的重要组织形式,尤其是通过对算式的对比分析逐渐发现规律,能够更好地帮助学生构建并丰富知识框架,进而提升其推理意识。

仍以运算律单元引领课为例。学生通过对情境的分析,从不同情境中抽象出算式,通过对算式对比分析,推导出与此算式具有相同特征的其他算式。

在交流过程中逐步深入思考产生冲突:加法和乘法能否放在一起研究? 学生再对加法和乘法算式进行对比,从乘法意义解读中发现“乘法是加法的简便运算”,理解乘法和加法之间的本质联系,并找出两类算式之间的相同点,即两个乘数或加数交换位置后积或和不变。

三、鼓励学生总结反思, 促进理解迁移

学生推理意识的培养侧重四个方面:一是要能够从具体情境中发现、识别需要观察的数学对象,同时能够遴选关键数学信息,并进行初步比较;二是能够对数学信息进行文字、图形、符号等多维表征,并对信息进行分析整合;三是能够把所有信息进行有效关联,进行知识迁移,提出合理猜想;四是能够对猜想进行验证并对已有信息展开重建,提出新的结论,并能够有理有据表达。

以运算律单元引领课的总结环节为例。学生在探索运算律的过程中,能够结合情境解读学习方法,主动地运用情境和数量关系赋予运算律实际意义,进而推导出具有相同特征的规律。

数学学科知识连贯性强,各部分知识组成了一个纵横交错、紧密联系的知识网。

每一个新知识都是在已有知识的基础上发展的,要善于运用类比推理和比较差异的思想方法进行新旧知识点的转化,达到触类旁通、方法迁移的目的。已有研究均表明,建立知识间的联系,在深刻理解基础上的数学知识结构才是稳固有效的。因此,在运算律单元引领课的总结环节,教师要引导学生梳理出探索规律的方法:观察、比较、联系、发现。学生及时对自己在探究过程中获得的基本活动经验进行总结和提炼,使原本模糊、直觉的经验上升为清晰、理性的数学思想方法。

四、设计学生实践作业, 启发学生说理

苏霍姆林斯基认为,在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需求,就是希望自己是个发现者、研究者,而在儿童的精神世界这种需求更为强烈。因此,数学课程中应让学生感受和体会到这种研究和发现的快乐,作业的设计也要能增强学生的学习兴趣和成就感。学生都是极富个性的生命体,他们对教材的理解和诠释极其富有独特性和创造性。因此,在作业设计过程中,可以充分展现学生的创造性,培养学生的创新意识。

运算律单元的作业设计要能够发展学生的数学应用能力。一是要促进学生对运算律知识的掌握,同时进一步熟悉课堂中所学探索规律的方法,发展学生的推理意识。二是要有助于提高学生应用课堂所学的运算律的相关知识解决问题的能力。三是要有助于培养学生的创新意识与实践能力,以及乐学善学、勤于反思的品质。同时,运算律单元的作业要有助于学生提升数学学习的兴趣,激发学生热爱数学和生活的积极情感。在学完乘法和加法的交换律后,教师可布置三个作业,第一个重在基础的落实,如用你喜欢的方式(写一写,画一画)表示加法交换律和乘法交换律;第二个重在拓展迁移,如用课上学习的推理方法验证减法和除法也满足交换律吗? 第三个兼顾学科整合,如生活中有没有一个词语,交换字的位置但词语仍然成立? 请举例说明。

启发学生进行说理是培养推理意识的一种方法。在小学数学课堂中,教师应通过各种教学活动引导学生进行说理,鼓励他们表达不同的想法,并帮助他们理解“理”的内涵,体会“理”的应用场景,逐步引导学生进行合情推理,并通过说理阐述演绎与归纳的过程。