明晰算理，掌握算法——在理解算理的基础上自主建构算法

王灵灵 (陕西省延安市宜川县城关小学 716200)

在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中“数的认识”与“数的运算”是两个主题,而在《义务教育数学课程标准(2022年版)》中将二者合并为一个主题,其主要目的在于促使学生理解算理与算法,探究二者之间的关系,并在此基础上培养学生的运算能力及推理意识。

一、以知识学习引导, 帮助学生理解算理意义

算理是数学运算的理论基础,其中涵盖了数学的基本概念、公式与定理等,体现了运算的规律,表现为抽象的运算知识。可以说,算理是具象化的运算过程与运算方法的基础。算理能力培养的目标要求学生在运算的过程中,以算理为基础,选择正确的运算方式并在运算的过程中发展自主分析问题与解决问题的能力。数学运算知识的学习、运算能力的培养都依赖于算理,算理具有抽象化的特征,体现了知识的本质。在小学数学课堂教学中,教师应充分利用新旧知识之间的关联,引导学生在复习巩固旧知识的基础上产生对新知识的探究欲望,从而领略新旧知识的共同基础——算理。该方法应用的目的在于将新旧知识对比后挖掘二者的共同点,达到既能降低学生学习难度又能提升学生对算理理解力的目的。

例如,在除法竖式运算的教学中,学生要学习两位数除以一位数或者三位数除以一位数的除法应用。这一知识点的算理是除法的概念与意义,需要运用公式及口算的规则等。

除法是已知两个因数的积与其中一个非零因数,求另一个因数的运算,其基本的公式是:商=(除数≠0),在这个公式中,除数如果等于0,则公式就没有意义;除法的意义是把一个单位平均分成多少份,每份有几个这样的单位,因此除法的本质意义在于求平均数。据此,教师可以通过画图或者是实物操作的方式向学生解释,除数等于零是无意义的。画图法便于学生理解及掌握除法的公式。

教师在教学中,从“分小棒”中引导学生复习巩固旧知识。首先要求学生从9个小棒中一次分三个小棒,一共分三次。其次布置竖式运算例题=?教师利用旧知识讲解每份6 个,36 分成几份,在获得正确答案后再追问学生两个问题:如果将6改换成0,即表达什么意义? 为什么得到的商“6”写在个位而不是十位上?

这两个问题能引发学生对除法公式及除法意义的探讨,其目的在于以算理的学习为除法运算的应用奠定基础。教师通过学生的回答了解到学生所应用的运算方法,继而与学生探究新旧知识共同所依据的运算算理,以便达到引导学生利用推理、对比理解算理的目的,为学生后续的算法学习与应用奠定基础。

二、以算理为基础, 促进学生把握算法的应用

算法与算理是不同的,算法侧重于表明数学运算规律,学习目标在于为数学运算方法的选择与应用提供理论支持。学生可以在解决数学问题中,应用恰当的运算顺序、合理的运算逻辑来实施运算,以达到减少运算时间、提升运算效率的目的。当然,算理的理解与算法的掌握是统一的,二者的应用不仅有助于学生构建系统化的知识框架,对于他们深入理解运算的相关知识,引导学生从理论的视角认知运算的本质,提高运算能力和运算精准度,在理解新知、创新学习方法等方面起到促进作用。

教师在教学中,以引导学生建立算理与算法之间的关联理念为主要目标,需要以实际问题为载体。学生在应用算法分析与解决问题的过程中逐渐理解算理,通过掌握算理的方法将其应用到相同类型的数学问题中,举一反三,同时强化了学生对算理与算法关系的认知与理解。在此过程中,学生能够应用正确的运算方法,实现正确的运算步骤。

如在“小数乘整数”的课堂教学中,教师列出0.3×10=? 要求学生进行运算。学生应用的算法有两种:一种是通过将0.3连加10次的方式得出结果。另一种是将0.3扩大10倍得到结果。两种算法得出的结果均正确,教师据此引导学生探究不同的算法所依托的算理。

探究得出结论:0.3连加10次的算法源于乘法的意义,即乘法是求几个相同加数的和的简便运算;将0.3扩大10倍的算法依据的算理是积的变化规律。积的变化规律是两个数相乘,一个因数扩大(或缩小)N倍,另一个因数不变,那么它们的积也扩大N倍。通过例题引出恰当的算法,再由算法探究出算理,从而促使学生顺畅地理解算法与算理间的内在联系。在此基础上,教师举出0.5×10=? 5×10=? 等一系列算式,其中涵盖小数乘整数、整数乘整数等不同类型,对此教师提出两个基本问题:比较0.5×10 与5×10 二者结果的差别,运算结果差别的原因是什么? 如果将原来的算式改变为10×0.5 与10×5,运算的结果有变化吗?

针对第一个问题,学生根据乘法的基本概念分别从两个方面进行解答。第一是10个0.5相加得到5;5×10同样表达的是10个5相加,最终得到50,二者的区别就在于5是0.5的10倍,结果也必须相差10 倍,因此符合“一个因数扩大(或缩小)N倍,另一个是因数不变,那么它们的积也扩大N倍”的积的变化规律。在第二个问题中,变化了的算式10×0.5、10×5与0.5×10、5×10的运算结果并没有不同,这一结果表现了“求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法”的基本要求。问题探究的主要目的在于引导学生对乘法的基本概念与积的变化规律予以深刻理解。

基于不同类型的数学乘法算式而理解相同的算理,继而促使学生选择正确的算法进行运算。在这一过程中,教师引导学生分别从正向思维与逆向思维理解乘法的算理本质,加深学生对乘法的概念、乘法的意义、积的变化规律等运算方法与技巧的掌握,使学生形成算理思维,建立算理与算法关联的理念认知,有助于学生把握运算的本质。尤其在其面对复杂问题时,学生能够以算理为基础准确选择算法,化繁为简,高效地解决实际问题。

三、以学情为基点, 辅助学生厘清算理与算法的关联

厘清算理与算法之间的关联可以引导学生应用算理指导算法选择,正确的运算方法、规范运算的过程。学生是课堂学习的主体,因此教师应该在把握学情的基础上应用合适的教学方法,引导学生主动探究,变被动学习为主动合作。运算教学中的算理属于基础理论知识,是进行运算方法应用及实施运算的程序、步骤的理论依据,解决了“为什么这样运算”的问题。

例如,整数乘法运算:3×5=( ) 6×4=( ) 2×8=( )等算式,学生可以利用口算的方式直接得到结果。

四、以算理的理解为基础, 达到学生自主建构算法的目的

课堂是培养学生自主探究学习能力的主要渠道,将算理结合算法教学能有效提高学生的数学知识掌握及解决实际问题的能力,从而培养学生的核心素养。因此,教师应从新旧知识连接处入手,帮助学生掌握算理,借助实际运算问题提升学生算法意识。通过相关题型的归纳、讲解,培养学生提高应用算法的能力,有助于学生更好地掌握算法和算理,建构算法。

例如,教师可设置情境:学校即将举办“体育节”,在筹备体育节的过程中,教师需要购买大量体育用品,这些体育用品包括乒乓球(52 个)、羽毛球(40个)、毽子(48个)等,其使用的对象分别是男同学与女同学组成的运动队。

要求:如何将乒乓球、羽毛球、毽子合理分配给男女两个队的运动员?

针对乒乓球(52 个)、羽毛球(40 个)、毽子(48 个)进行分配,分配的对象是男女两个队,其中分为三种类型的答案。

第一种乒乓球(52个)平均分配到男女运动队:52÷2=( )

第二种羽毛球(40个)平均分配到男女运动队:40÷2=( )

第三种毽子(48 个)平均分配到男女运动队:48÷2=( )

教师要求学生提出个人想法,列出与之对应的运算公式并以口算的方式运算出最终的结果,分析其所表达的意义。

52÷2=(26):52÷2=表示52中有2个26,两个26 是相等的,因此是将52 个乒乓球平均分配。

40÷2=(20):可以用画图来理解其中的意义,一个长条是由十个火柴棒组成,4 个长条就会有40个火柴棒,总共有40个火柴棒。四个长条可以划分为两个长条,而每个长条里面有20个火柴棒。所以,40÷2=20。

48÷2=(24):可以应用口算的方法解决,十位的4除以2,十位是2,个位的8除以2,个位是4,因此最后的结果24,是由十位的2与个位的4组成的。

在教师的引导下学生自主思考并选择的运算方法及所应用的运算过程,体现除法运算的算理。通过情境设置引导学生在解决问题的过程中回顾整十数除以一位数口算的算理与算法,强调除法的定义、运算的法则,引导学生在后续学习中主动从“运算单位个数的运算”角度,探索和理解两位数除以一位数的算理,为其主动建构算法创造条件。