蔡忠平
应用一元二次方程解應用题是初中数学的重点之一,是历年中考的热点. 下面就此部分考题的常见类型进行归纳,并对解题思路、方法及策略加以分析.
类型一:平均变化率问题
例1 (2022·山东·德州)某校为响应全民阅读的号召,图书馆面向社会开放,阅读人数逐月增加. 据统计,3月份进馆1000人,5月份进馆1210人. 假设每月的阅读人数增长率相同.
(1)求该校图书馆3月份至5月份阅读人数的平均增长率;
(2)如果按此增长,6月份阅读人数应达到多少人?
分析:因为每月的阅读人数增长率都相同,设平均增长率为x,则4月份阅读人数为1000(1 + x),5月份阅读人数为1000(1 + x)(1 + x) = 1000(1 + x)2,6月份阅读人数 = 5月份阅读人数 × (1 + x).
解:(1)设该校图书馆3月份至5月份阅读人数的平均增长率为x,得1000(1 + x)2 = 1210,解得x1 = 0.1 = 10%,x2 = -2.1(不合题意,舍去). 答:该校图书馆3月份至5月份阅读人数的平均增长率为10%.
(2)1210 × (1 + 10%) = 1331(人). 答:6月份阅读人数应达到1331人.
点评:解平均增长率或降低率问题,应抓住每月的增长率或降低率相同,通常设增长率或降低率为x,用含x的式子表示增长后或降低后的量,即基础量 × (1 ± x)n,根据等量关系列出一元二次方程.
类型二:循环比赛问题
例2 (2022·黑龙江·龙东)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛?
分析:单循环比赛是指每两支队伍之间进行一次比赛,共n支队伍,每支队伍参加(n - 1)场比赛,一共比赛[n(n-1)2]场.
解:设共有x支队伍参加比赛. 依据题意,得[x(x-1)2] = 45,解得x1 = 10,x2 = - 9(不合题意,舍去). 答:共有10支队伍参加比赛.
点评:循环比赛分为单循环比赛和双循环比赛,其中单循环比赛总场次为[n(n-1)2],双循环比赛总场次为n(n - 1).
类型三:面积问题
例3 (2022·广东·深圳)如图1,在一块长12 m、宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2. 求道路宽多少米.
分析:把两条道路分别平移到矩形的最下边和最右边(如图2),则剩下的部分是一个稍小的矩形. 利用矩形面积公式即可列出方程.
解:设道路宽x米. 列方程得(12 - x)(8 - x) = 77,整理得x2 - 20x + 19 = 0,解得x1 = 1,x2 = 19(不合题意,舍去).
答:道路宽1 m.
点评:此题解法不唯一,还可以直接计算道路的面积列出方程:8x + 12x - x2 = 12 × 8 - 77.
类型四:利润问题
例4 (2022·广东·清远)商场销售某种服装,每件进货价为50元,市场调研表明:当每件服装的售价为60元时,平均每个月可销售800件,销售单价每提升1元,平均每个月的销售量就减少20件. 商场要使这种服装的销售利润平均每个月达到12 000元,则每件服装的定价应为多少元?
分析:设每件服装的定价为x元,则每件服装的销售利润为(x - 50)元,每个月的销售量为[800 - 20(x - 60)]元,据此得到总利润.
解:设每件服装的定价为x元,根据题意,可列方程(x - 50)[800 - 20(x - 60)] = 12 000. 整理得x2 - 150x + 5600 = 0,解得x1 = 70,x2 = 80.
答:每件服装的定价为70或80元.
点评:利润问题中“每……,每……”型问题,其特点是“每下降……,就每增加……”“每增长……,就每减少……”. 解题关键是抓住利润、售价、成本、销售量之间的关系,根据“总利润 = 每件商品的利润 × 销售量”这一等量关系列方程.
(作者单位:北票市桃园初级中学 )