一元二次方程教学实践中的逆向思维研究

⦿ 白银市第十一中学 金炳玮

数学教学离不开思维能力的培养,而学生思维能力的强弱在一定程度上制约着教学效果的提升.因此,培养学生的思维,不仅对学生的学习,而且对教师的教学都将产生积极影响.本文中以逆向思维的实践为研究内容,尝试在厘清思维点及其正向、逆向变式的基础上探究逆向思维的培养方法.

1 逆向思维及其内涵理解

根据思维方向的差异,可将思维分为正向思维与逆向思维两种.正向思维是常规思维,与知识的形成方向保持一致,体现为习惯性思维,具有普遍性[1].逆向思维常被认定为创造性思维,与常规思维相反,是一种求异思维.

首先,教师对学生逆向思维进行培养,既是提升学生数学核心素养的表现,也是协助学生调整心理状态的过程,甚至可以让学生的心理状态得到重建.在教育领域,思维和心理一直是两个相互影响、相互依存的对象.思维的培养影响学生心理的发展,如培养逆向思想能提高学生分析和解决一元二次方程及其实际应用问题,增加学生自信心、成就感等.同时,心理的成熟程度也会影响思维培养的效果,如对于心理不够成熟的学生,他们的逆向思维培养相对更加困难,对一元二次方程的逆向理解与应用不够理想.

其次,正向思维和逆向思维在哲学上既是对立的,也是统一的,既可作为单独的个体,又能相辅相成[2].正向思维的习惯性、普遍性使得在分析一部分问题时容易出现片面性错误,而逆向思维可以有效弥补正向思维的这一局限性.因此,从正向思维出发培养学生的逆向思维,能让学生找到更多不同的解决问题的途径,让思维得到发散,进而更全面、更牢固、更熟练地掌握知识.只有这样,才能灵活运用知识创造性地解决问题,这就是“熟能生巧”.

2 一元二次方程课堂实践逆向思维点例析

教师在培养学生的逆向思维时,需找准思维点,并在实践中发挥其基础性作用.下面借助例题进行分析.

2.1 定义

例1( )是关于a的一元二次方程.

A.3a=5a-1

B.3a2+6a=(a-1)(3a+4)

D.a2-2a+1=0

解析：根据定义,一元二次方程中未知数的最高次数为2,所以选项A错误;选项B中(a-1)(3a+4)运算后虽有3a2,但与等式左边3a2抵消了,所以选项B中的方程实际并无二次项;选项C的未知数在分母中,与定义不符,排除.故选项D正确.

例2已知关于a的方程(x-3)a|x|-1+6a+1=0是一元二次方程.求x的值.

解析：根据一元二次方程的定义,得x-3≠0,且|x|-1=2,所以x=-3.

例1是正向考查一元二次方程的定义,比较简单,主要抓住一元二次方程的定义及几个应注意之处,如二次项系数不为零、未知数次数最高为2等.例2是逆向考查,学生在计算“|x|-1=2”时,忽略排除x≠3.事实上,例2中有一个隐含条件,那就是“二次项系数不为零”,它极易被忽略.

2.2 求方程的根

例3一元二次方程x2-4x=0的根是( ).

A.x1=0,x2=4 B.x1=0,x2=-4

C.x1=1,x2=-4 D.x1=-1,x2=4

解析：根据一元二次方程的根的求法,可先将x2-4x因式分解为x(x-4),于是有x(x-4)=0,最后解得x1=0,x2=4.故选择答案:A.

例3是利用一元二次方程根的定义求根,而例4是已知一元二次方程的根求某个字母的值,前者是正向思维,后者是逆向思维.虽然这两个例题的难度不大,但例4中的逆向思维,尤其是解关于a的一元二次方程有点难度.

2.3 根的判别式

例5对一元二次方程x2-x-1=0根的情况判断正确的是( ).

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.无实数根

解析：由已知可得Δ=5>0,所以一元二次方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根.

故选答案:A.

例6如果关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

例5是正向思维题,比较简单,且直接;例6是逆向思维,需根据一元二次方程根的情况反向计算出系数k的取值范围.

2.4 根与系数的关系

A.-1 B.0 C.2 D.3

故选答案:D.

例7是正向思维,已知一元二次方程,求与两根之和或两根之积有关的代数式的值.例8是逆向思维,已知与两根之和或两根之积有关的代数式的值,求方程中待定字母的值.

3 总结

思维及数学思维的培养一直是教师教研的重要课题.在培养学生的逆向思维时,笔者认为需注意以下三个方面.

首先,在培养学生的逆向思维时,及时关注学生的心理状态.例如,在讲解例2、例4、例6、例8时,多注意学生上课状态的变化,尤其是后进生的学习状态.如果在面对逆向思维问题时学生的积极性不够,那么建议从正向思维题进行迁移或引申,这样有利于降低问题难度,便于学生接受.

其次,在培养学生的逆向思维时,不能忽视正向思维的基础性地位.例如,在引入例2、例4、例6、例8时,要从正向思维点的四个例题(即例1、例3、例5、例7)出发,逐步展开和深入,循序渐进.

最后,培养学生的逆向思维时,还需注重学生发散思维的培养.逆向思维和发散性思维都是由正向思维出发,但二者有明显的不同.逆向思维与正向思维相对,且逆向思维的“落脚石”是正向思维.而发散性思维是由正向思维无限“发散”,形成“放射状”思维,这种思维更灵活,对学生的素养要求更高.

例如,例7是正向思维,例8是逆向思维,二者是相似的题型,只是将“条件”与“结论”互换了.在解决问题时,例8中的逆向思维最终会走向例7中的正向思维这一“落脚石”.但是,如果命题者进行如下命题,则体现了发散性思维:

关于x的方程x2+2kx+k2-2k+1=0有实数解,其中k

这样命题不仅涉及的知识面广,考查的力度更大,而且对学生的发散性思维有更高的要求.因此,教师也注意对学生发散性思维的培养.

总之,逆向思维的培养需要教师在教学上注意策略的应用,不仅要注重正向思维的基础性,也要找到正向思维过渡到逆向思维的思维点.