调谐负刚度阻尼器的H2优化及减震性能评估

郜辉, 邢晨曦, 王浩, 梁瑞军

(1.东南大学 混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室, 江苏 南京 211189; 2.东南大学 法学院, 江苏 南京 211189)

结构控制技术是提升结构抗震性能的重要手段之一[1]。根据控制方式,结构控制技术可分为被动控制、主动控制、半主动控制和混合控制。其中,在结构中附设隔震装置、耗能减震装置、吸能减震装置的被动控制在实际工程中应用最为广泛[2]。为提升被动控制装置的减震性能,国内外学者利用连杆机构、齿轮机构、杠杆机构、跨层支撑、变平动为高速转动等多种方式放大阻尼器的位移以提升其耗能效率[3]。

近年来,负刚度装置为放大阻尼器位移提供了新的技术手段。研究表明,并联负刚度弹簧的负刚度阻尼器(NSD)可以显著提升传统阻尼器对结构的减震效果[4]。基于预压弹簧式负刚度产生机制,Pasala等[5]研发了自适应NSD,基于仿真分析和振动台试验阐明了其在降低结构地震响应方面的优势;孙彤等[6]研发了一种轨道式NSD,发现其对结构位移的控制效果与LQR半主动控制相当,对加速度控制效果优于LQR半主动控制;杨巧荣等[7]研究了NSD对隔震建筑上部结构地震加速度和隔震层位移的控制效果;孙天威等[8]研发了一种基于氮气弹簧的负刚度摩擦阻尼装置以提升结构的抗震性能;Shi等[9]研发了基于永磁体作用力的NSD,验证了其对隔震结构的减震优势。基于阻尼器的惯性质量负刚度效应,Nakamura等[10]和Shen等[11]研发了适用于结构减震控制电磁式惯性质量NSD;黄智文等[12]和汪志昊等[13]研发了电涡流惯性质量NSD,并阐明了其对结构减震控制的阻尼增效机理。尽管上述负刚度减震装置显著提升了传统阻尼器对结构的减震效果,但其应用于结构减震控制往往需要较大负刚度和阻尼系数,增加NSD的设计成本。

为进一步提升NSD的减震效果,受调谐惯性质量阻尼器卓越减震性能的启发[14-16],Wang等[17]提出了一种调谐式NSD(TNSD),并采用固定点法推导了TNSD对结构减震控制设计公式,并阐明了TNSD对近场脉冲型地震作用下的减震优势。然而在地震等随机荷载作用下,更宜采用结构H2性能指标对阻尼器进行设计。为此,本文开展了TNSD对结构减震控制的H2优化设计,从TNSD的刚度和阻尼特性、TNSD对结构的阻尼增效、TNSD的耗能增效等角度阐明了TNSD相对于NSD的结构减震控制的优势,最后,评估了TNSD对结构地震作用下的减震效果。

1 TNSD对结构减震控制H2优化设计

图1 单自由度结构-TNSD耦合系统分析模型

(1)

式中:m、c和k分别表示单自由度结构的质量、阻尼系数和刚度系数;kp、kns和c2分别表示TNSD的调谐弹簧刚度系数、负刚度系数和阻尼系数;x和xc分别表示结构和TNSD阻尼元件的位移。

对式(1)进行Laplace变换,结构位移的传递函数H(s)和TNSD阻尼元件的位移传递函数Hc(s)可分别表示为:

(2)

式中:

(3)

为保证结构-TNSD耦合系统的稳定性,根据Routh-Hurwitz稳定性准则,TNSD的负刚度系数应满足不等式:

(4)

求解不等式(4),TNSD负刚度系数应满足:

α>-γ/(1+γ)

(5)

参照文献[18-19],结构位移的H2性能指标JH2可计算为:

(6)

式中:S0表示外激励的谱强度;Γ和R可表示为:

(7)

将式(7)代入式(6),JH2可进一步计算为:

(8)

为使JH2最小,TNSD的负刚度系数和阻尼系数应满足:

(9)

求解式(9),忽略结构较小的阻尼比,TNSD最优无量纲负刚度系数和阻尼系数可分别为:

(10)

将式(10)代入式(8),TNSD最优设计时结构位移的H2性能指标JH2为:

(11)

基于式(10)给出的TNSD设计公式和式(8)给出的结构位移性能指标,图2(a)给出了不同结构阻尼比下结构位移性能指标随TNSD调谐刚度的变化曲线,由图2可知,忽略结构固有阻尼计算的结构位移偏大,因此,基于式(11)的性能指标设计TNSD时可以得到偏保守的结果。采用数值优化方法,图2(b)和(c)分别分析了结构固有阻尼对TNSD最优负刚度系数和最优阻尼系数的影响,可以看出结构阻尼对TNSD最优参数影响较小,表明了采用式(10)对TNSD进行设计的可行性。

2 TNSD对结构减振增效机理研究

2.1 TNSD阻尼与刚度特性

TNSD对结构的作用力Ft可表示为:

(12)

式(12)表明TNSD可以等效为一个NSD,其中,等效负刚度kns,eq和等效阻尼系数cns,eq分别表示为:

(13)

(14)

式中φk和φc分别为TNSD等效负刚度系数和阻尼系数的放大系数。

当α和ξt取最优值时,φk和φc可进一步表示为:

(15)

(16)

根据式(2)和式(15)、(16),图3给出了结构位移、TNSD等效负刚度系数和等效阻尼系数随激励频率比的变化曲线。由图3可知,在TNSD的有效控制频带内,TNSD的调谐弹簧放大了其等效阻尼系数,同时减小了负刚度系数。由于放大阻尼系数和减小负刚度均有利于结构的位移控制。因此,TNSD对结构的位移控制效果优于相同设计参数的NSD。

图3 结构位移、TNSD等效负刚度和阻尼系数随激励频率比变化关系

2.2 TNSD对结构阻尼增效

(17)

参照式(6),其计算结果可表示为:

(18)

根据式(18),结构-TNSD耦合系统的阻尼增效方程可表示为:

(19)

(20)

式中:γx=σx/σx,0表示TNSD控制时和无控时结构的位移响应比;ψxc=σxc/σx表示TNSD内部阻尼元件的位移放大系数。

结构的等效阻尼比为:

(21)

将TNSD的最优负刚度系数和最优阻尼系数代入式(21),可得:

(22)

式(21)和(22)表明,平稳随机荷载激励下,结构的等效阻尼比与结构位移响应比的平方呈反比,与TNSD阻尼元件的位移放大系数和TNSD调谐刚度系数呈正比。因此,TNSD位移放大系数和调谐刚度系数越大,结构的位移响应比越小,结构的等效阻尼比越大,TNSD的控制效果越好。

图4进一步给出了TNSD内部阻尼元件位移放大系数和结构等效阻尼比随TNSD调谐刚度系数的变化关系。由图4可知:TNSD内部阻尼元件位移放大系数均大于1,表明TNSD可以放大其内部阻尼元件的位移,进而提升TNSD的耗能效率,并提升其对结构的减震效果;结构的等效阻尼比与TNSD的调谐刚度近似呈线性关系,即TNSD的调谐刚度系数越大,结构的等效阻尼比越大;结构固有阻尼比也会增加结构的等效阻尼比,有利于减小结构的位移响应。

图4 TNSD内部阻尼元件位移放大系数和结构等效阻尼比

2.3 TNSD耦合系统耗能机理

根据式(1),单自由度结构-TNSD耦合系统能量平衡方程可表示为:

(23)

式中:

(24)

方程(23)两边同时对时间t求导并求期望,可得:

(25)

对平稳随机激励,式(25)可以简化为:

(26)

(27)

其计算结果可表示为:

(28)

将式(28)代入式(26),结构-TNSD耦合系统的输入功率可进一步表示为:

(29)

式(29)表明,TNSD并不改变耦合系统总的输入能量。因此,TNSD耗散的能量越多,结构耗散的能量越少。TNSD的能量耗散系数Θ定义为:

(30)

基于式(27)和式(30),图5给出了TNSD耗能系数随调谐刚度系数的变化关系。由图5可知,当TNSD的负刚度系数和阻尼系数最优时,TNSD的耗能系数基本仅与结构的固有阻尼比有关,当结构阻尼比越小时,TNSD耗散的地震能量越多,结构耗散的地震能量越少。

图5 TNSD耗能系数随调谐刚度系数的变化关系

3 TNSD对结构减震控制的地震响应分析

为进一步阐明TNSD对结构减震控制的优势,本节开展了TNSD对单自由度结构减震控制的地震响应分析。选取ATC-63在FEMA-P695中推荐的100条地震动,包括44条远场地震动、28条近场无脉冲地震动和28条近场脉冲型地震动[20]。为了便于评估TNSD对结构的减震效果,地震动幅值调整为0.3 g,TNSD的无量纲调谐刚度系数γ=0.2,NSD的负刚度系数和阻尼系数与TNSD相同。

当单自由度结构阻尼比ξ1=0.02时,图6对比了NSD和TNSD控制时不同类型地震动作用下结构平均最大位移和绝对加速度。图7、8分别给出了结构周期等于0.5 s和2.0 s时结构最大位移、结构最大绝对加速度、TNSD耗能系数的变化范围。由图7、8可知,TNSD进一步提升NSD对结构位移和绝对加速度的控制效果,尤其是短周期结构的绝对加速度响应控制和长周期结构的位移响应控制;此外,TNSD可以显著提升NSD耗散的地震能量。

图7 单自由结构最大地震响应和阻尼器耗能系数(T=0.5 s)

图6、7表明,当结构周期等于0.5 s时,远场地震作用下结构平均最大位移响应由55.09 mm(无控)降低为41.69 mm(NSD控制),进一步降低为24.87 mm(TNSD控制);结构的平均最大绝对加速度响应由8.70 m/s2(无控)降低为5.64 m/s2(NSD控制),进一步降低为3.83 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均较NSD提升了35.8%。近场无脉冲地震作用下结构平均最大位移响应由45.03 mm(无控)降低为38.15 mm(NSD控制),进一步降低为24.19 mm(TNSD控制);结构的平均最大绝对加速度响应由7.12 m/s2(无控)降低为5.16 m/s2(NSD控制),进一步降低为3.64 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均较NSD提升了36.3%。近场脉冲地震作用下结构平均最大位移响应由47.12 mm(无控)降低为36.77 mm(NSD控制),进一步降低为25.23 mm(TNSD控制);结构的平均最大加速度响应由6.59 m/s2(无控)降低为4.97 m/s2(NSD控制),进一步降低为3.59 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均较NSD提升了36.7%。

图6和图8表明,当结构周期等于2.0 s时,远场地震作用下结构平均最大位移响应由0.20 m(无控)降低为0.16 m(NSD控制),进一步降低为0.11 mm(TNSD控制);结构的平均最大绝对加速度响应由1.99 m/s2(无控)降低为1.39 m/s2(NSD控制),进一步降低为1.12 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均较NSD提升了30.3%。近场无脉冲地震作用下结构平均最大位移响应由0.19 m(无控)降低为0.15 m(NSD控制),进一步降低为0.10 m(TNSD控制);结构的平均最大绝对加速度响应由1.93 m/s2(无控)降低为1.39 m/s2(NSD控制),进一步降低为1.13 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均较NSD提升了28.9%。近场脉冲地震作用下结构平均最大位移响应由0.30 m(无控)降低为0.28 m(NSD控制),进一步降低为0.17 m(TNSD控制);结构的平均最大绝对加速度响应由3.01 m/s2(无控)降低为2.35 m/s2(NSD控制),进一步降低为1.76 m/s2(TNSD控制);TNSD耗散的地震能量平均较NSD提升了33.6%。

4 结论

1)TNSD的最优负刚度系数与最优阻尼系数与其调谐刚度系数有关,调谐刚度系数越大,TNSD的最优负刚度系数和最优阻尼系数越大,TNSD减振性能越好;结构固有阻尼比也会增加结构的等效阻尼比,有利于减小结构的位移响应。

2)TNSD可以放大其内部阻尼元件的位移,实现TNSD等效阻尼系数放大和单自由度结构等效阻尼比增效,但TNSD不能改变耦合系统的总能量,TNSD耗散的能量越多,结构耗散的能量越少。

3)与相同负刚度系数和阻尼系数的负刚度阻尼器相比,TNSD可以耗散更多的地震能量,并能进一步降低地震作用下的单自由度结构的最大位移和最大绝对加速度响应。