初中数学作业设计：原则、要素及路径

●余小芬，郭润，刘成龙

数学作业是指为完成数学教学任务，要求学生在课后开展的独立完成的各种数学学习活动[1]。作业，作为课程改革的重要方面，是学生开展自主学习的重要过程，对增强学生的学习兴趣，提高学生的元认知能力、专注力、时间管理能力等具有重要意义[2]。加强作业设计研究不仅是发展学生核心素养、诊断学生核心素养发展水平的重要抓手，也是有效落实“双减”政策的关键所在。

一、初中数学作业设计原则

坚持全面发展、面向全体学生、聚焦素养发展、注重实践创新是义务教育课程应遵循的基本原则。作业设计应以核心素养为导向，关注学生差异，体现学科本质，帮助学生扎实“四基”、增强“四能”，形成正确的情感态度及价值观。由此，确定初中数学作业设计的四个原则。

（一）针对性原则

针对性原则强调作业的设计必须基于数学学习内容的知识内核及学情状况，这是保障作业质量、控制作业时长的前提和基础。第一，作业设计应指向教学内容，体现学习重难点，能有效帮助学生扎实基础知识、掌握基本技能。第二，作业设计要符合学生的年龄特征和认知水平，要能设计与学生思维水平、生活经验相吻合的问题情境或实践活动，以此发展学生的数学思考及应用能力。第三，针对不同课型，作业设计也要有所侧重。例如，新授课的作业，强调对数学概念内涵外延的巩固认识，对数学定理、公式、法则的理解运用；针对复习课的作业，重视知识框架的梳理及综合问题的解决。

（二）自主性原则

瑞士教育家皮亚杰指出，“学生认知能力不是从外部形成的，只能由学生自身的发展来决定。真正的学习并不是由教师向学生灌输知识，而是出于学生本身的自发性和主动性”。章建跃博士也认为，“学习归根到底是自己的事情，让学生掌握数学学习方法，学会思考，进而学会学习，这是数学教学的最高境界”。尤其在科学技术日新月异的今天，教育给学生的影响，不仅是要让他们习得一些事实性知识，更要帮助他们获得自主学习的能力。自主性原则强调作业设计要能充分考虑学生数学学习经历和生活体验，设计题型丰富、内容有趣、形式新颖、结果开放的作业，最大限度地激发学生主动作业、高效作业的学习动机。

（三）差异性原则

教育要面向全体学生，尊重学生的差异性，教学中不能采用“一刀切”。同样，作业设计也要关注学生的个体差异。作业难度要有梯度，内容也要有区分，要增强作业的选择性，体现作业的个性和弹性，让“不同的人在数学上得到不同的发展”[3]，促进教育公平。当然，除了要考虑学生个体间的差异，也要突出学习目标的层次性和差异性，以此提高作业的有效性。比如，对同一数学知识的考查，可设计有差异的作业形式，在知识巩固、能力考查、学情分析、检测诊断等方面发挥不同作用。

（四）发展性原则

发展性原则既是作业设计的起点，又是作业设计的终点。发展性原则强调作业设计要着眼于学生数学核心素养发展，着眼于学生未来发展。要用发展的眼光看待学生，要能充分挖掘学生的学习潜能。倡导通过项目式、探究式等作业，展现数学活动的多元性、开放性和实践性，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，增强实践创新、合作交流能力，形成“用数学”“做数学”的意识。

二、初中数学作业设计的要素

（一）符合学科学情的内容

作业设计以具体教学内容为载体，作业内容的选取既要反映学科本质，也要符合学生认知。首先，数学作业要基于课程目标，聚焦数学核心知识，渗透数学思想方法，围绕数学问题展开设计，减少死记硬背、机械重复作业，引导学生把握学科本质，形成学科思维。其次，作业设计要做好学情分析。所谓学情分析，是教师主动了解学生思想基础和知识能力基础的研究活动，是历来数学教学中行之有效的经验[4]。正如奥苏贝尔所指出的，“影响学生学习唯一重要因素就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并以此进行教学”。只有了解学生的起点，才能更好把握作业难度、效度，发挥作业价值，引导学生从“最近发展区”向“现实发展区”跨越[5]。

（二）具备自主探索的环境

有效的数学学习活动，不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式[3]。然而，课堂时间有限，无法充分展开部分学习活动，学生也难以在短暂而紧凑的课内消化所有内容，课后作业的设计恰好弥补这一不足，让学生通过课后宽松自由的时间空间环境，开展较为充分的探索和发现活动，延拓学习的深度和广度。此外，面向人工智能高速发展的时代，作业设计还应注重与信息技术的有效融合，重视大数据、人工智能等对作业活动的辅助作用，如利用翻转课堂、云课堂等网络资源，丰富学生课后学习资源，拓宽学习渠道，促进学生学习方式的转变。还比如，教师利用数学软件指导学生展开数学实验，培养学生研究性学习的意识，增强自主学习的能力。

（三）具有灵活多样的类型

要发挥作业巩固、诊断、学情分析等多种功能，需要考虑作业内容的丰富性和作业类型的多样性。多样性既是对学生差异性的尊重，也是对教学内容的有的放矢。对数学作业的内容而言，可以考查学生对数学知识和技能的理解与掌握，也可考查对数学思想方法的领悟与应用，还可考查综合解决问题的能力与素养。应特别强调的是，在作业内容的选取及处理上，教师要做到“四要”，即要重视单元视角的整体规划，要加强数学内容与学生经验及社会生活的紧密联系，要关注数学与其他学科的知识整合，要探索智育与德体美劳的有效融合。

（四）提供科学有效的评价

作业评价应坚持以核心素养为导向，关注学生综合能力的提升，关注学生情感态度和价值观的变化。教师作为作业评价的重要主体，首先应转变作业评价观，从重视作业“量”转为关注作业“质”，从设计巩固提升的“短作业”走向素养发展的“长作业”[6]。其次要创新评价方法，注重基于证据的评价，探索增值评价，倡导协商式评价，推进表现性评价[7]，全面关注学生核心素养的形成和发展，切实关心学生的已有数学水平和提升空间。学生作为学习的第一责任人，应积极主动开展自评和互评。通过自评，学生了解自己在作业时间、压力、情感变化以及掌握知识等方面的程度，增强自我学习管理能力。通过互评，学生产生横向比较与学习，促进自我反思和完善[8]。斯塔弗尔比姆曾说：“评价最重要的意图不是为了证明，而是为了改进。”作业评价，也正是为了学与教的不断改进和提升。

三、初中数学作业设计的路径

（一）立足教材，展现知识核心内容

教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教和学生学的载体[9]。数学教材为学生的学习活动提供了主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源[10]。因此，作业设计必须重视教材的分析。作业内容要基于课标要求，符合教材内容，体现数学学科核心知识、思想方法，不能随意、盲目地增删知识。立足教材的同时还应超越教材，创造性使用教材。

（二）提供平台，倡导探索交流活动

作业的完成需要较为充足的时间和相对自由的空间，这是保障作业顺利进行的前提。首先，教师应提供较为充足的作业时间，引导学生独立思考、探索、体验，促进对知识的深度理解。其次，教师可围绕作业评阅环节，展示学生作业情况，鼓励学生交流完成作业的收获与困惑，加强师生、生生互动，提高学生的表达反思能力。最后，教师可借助技术手段和网络资源，突破课堂时空限制，为学生开展个性化学习和交流活动提供广阔平台。

（三）体现差异，鼓励分层个性作业

设计差异化、层次化、个性化的作业，不仅能减轻学生学业负担，减少数学学习挫败感，还能有效挖掘学生的学习潜力，增强数学学习的兴趣和信心。分层个性作业设计，需要教师结合教学重难点和学情分析，有梯度、有区分地设计作业。内容上从考查基础知识、基本技能、思想方法到综合能力逐层递进，形式上不仅要有传统题型，也要考虑数学小报、思维导图、研究报告、数学小论文等个性作业。

（四）重视评价，关注能力素养发展

作业评价是学校作业管理的重要一环，对于掌握学生学情、检测教学效果、优化教学方法具有重要作用[11]。如何进行科学有效的作业评价呢？应注重基于证据的评价，重视对作业的批阅、记录和分析；探索增值评价，尊重学生的情感体验，关注学生真实发生的进步；倡导协商式评价，加强对话交流，促进评价双方自我总结、反思、改进；推进表现性评价，通过作业展示、成果汇报、实践操作等方式，关注学生综合实践能力和学习情感态度的发展[7]。

四、初中数学作业设计案例

案例：人教版八年级（下）第十七章“勾股定理”第一节“勾股定理”的作业设计

勾股定理是平面几何中的重要定理，也是初中阶段图形与几何领域的核心知识，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是沟通几何与代数的有力工具。本节学习中，要引导学生经历勾股定理的发现和证明过程，增强推理能力，发展几何直观和空间想象能力；体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的严谨性、简洁性；会用数学的思维思考问题、解决问题，发展模型观念[3]。因此，基于课标导向和“双减”精神，设计如下四个层次的课后作业：

（一）扎实基础——勾股定理的理解应用

题目1 如图1，图中所有三角形都是直角三角形，四边形A，B，C，D，E 都是正方形。已知正方形A，B，C，D 的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形的面积。

图1

题目2 如图2 所示，有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点。它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

图2

题目3 我们知道数轴上的点有的表示有理点，有的表示无理点，你能在数轴上画出表示的点吗？ 按照找的方法，在数轴上画出的点。

设计意图：题目1、2、3 皆取自教材，三个题目在问题难度、内容设置、考查能力方面逐层递进。具体为：题目1 再现面积法证明勾股定理的模型，既强化了探索勾股定理的教学重点，也体现了勾股定理的简单应用及模型价值。题目2 在题目1 的基础上，增加对学生在实际情境中数学抽象能力的考查，发展学生的数学阅读、空间想象、数学运算能力。同时，题目2 取材于我国古代数学名著《九章算术》，不仅能弘扬我国古代数学取得的卓越成就，也能推广阅读数学经典著作，推动数学文化走进课堂、融入课堂。题目3 蕴含“海螺无理数”的数学文化背景，展示勾股定理沟通代数与几何的工具价值，帮助学生积累勾股定理解决线段长问题的活动经验，增强尺规作图的能力。

（二）拓展知识——勾股定理的证法探索

任务1 阅读教材第30 页阅读材料“勾股定理的证明”，尝试根据毕达哥拉斯证法（图3）、弦图另一种证法（图4）、加菲尔德“总统证法”（图5）的图形提示证明勾股定理，并总结上述证法之间的联系与区别。

图3

图4

图5

任务2 结合网络资源，查询了解关于勾股定理的更多证法，并自行整理2 种不同证法，与同学交流分享。

设计意图：任务1 一方面引导学生形成良好的数学阅读习惯，提高自主学习、反思总结的能力，一方面发展学生数学推理、几何直观、模型观念等核心素养。同时，在问题证明中感受数学思维的魅力，体会数学家们解决问题的创造性。任务2 鼓励学生利用网络资源展开自主探索、同伴交流。不仅让学生了解勾股定理发展历程中所积累的丰硕成果，拓宽知识视野，发散数学思维，同时也增强学生查询并获取资源的能力，引导学生学会学习、学会交流。

（三）实践创新——勾股定理的生活妙用

任务3 结合教材内容，归纳总结勾股定理的作用。利用勾股定理解决你在生活中遇到的问题，并尝试用数学的语言进行表达和问题解决。

设计意图：任务3 将数学还原到生活中，为学生“用数学”“做数学”搭建平台，让学生在做中学、学中思、思中悟、悟中创。

（四）反思学习——勾股定理逆命题探究

任务4 利用数学语言写出勾股定理的逆命题，并尝试探究该命题的真假。

设计意图：弗莱登塔尔曾说：“即使是儿童，也已经具有某种‘潜在的发现能力’，他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征，让他们重复人类数学发现的活动是完全可能的。”任务4 作为后续新课学习内容，可作为选做题，主要是针对学有余力的学生，积极唤醒、激发他们的思维活动，引导他们自我完善知识结构，构建命题体系。同时，帮助他们体会数学研究的方法和手段，增强研究性学习的意识和能力。

减负，不仅要做“减法”，更要做“加法”，并且“减”的关键取决于学习质量的“加”。作业，是课程改革中不可忽视的关键领域[2]，只有提高作业质量，关注作业有效性，才能减少学生机械重复训练，切实减轻学生过重作业负担，为其全面发展提供可能。