基于OBE理念的“实变函数”课程教学探索与实践

秦喜梅，赵开斌，彭维才，杨晓伟，查星星

（1.巢湖学院 数学与大数据学院，安徽 合肥 238000；2.中国科学技术大学 管理学院，安徽 合肥 230026）

实变函数论是19 世纪末20 世纪初，主要由法国数学家勒贝格创立的，其核心内容是Lebesgue积分理论。实变函数进一步发展了微积分学，不仅是数学分析的深化和推广，也是现代数学研究的基础。但由于实变函数概念和定理的抽象性、证明过程的逻辑性，让很多学生望而却步，他们觉得实变函数的很多概念像是“帽子里突然跑出了一只兔子”[1]。OBE理念中注重以学生为主体，以产出为导向，这种理论体系能更好地增强学生学习主动性和获得感，这也说明OBE 理念为提升实变函数的教学效果带来了新思路。

1 OBE理念内涵及教育发展要求

OBE（Outcome based education）的教育理念为成果导向教育、目标导向教育或需求导向教育。自从1981年由Spady等人提出OBE理念后，很快得到了人们的重视、认可与应用，并形成了一套比较完整的理论体系和实践模式。

教育部于2017 年印发的《普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）》树立了以“学生中心、产出导向、持续改进”为师范类专业认证的基本理念。新一轮的《普通高等学校本科教育教学审核评估实施方案（2021—2025 年）》中也要求推动“以学为中心、以教为主导”的课堂教学改革。所有这些都推动了OBE 理念在教育和教学中的指导和应用。“OBE 进课堂”也因此成为教学改革的“最后一公里”[2]。在教学中融入OBE 理念，是推动高校教育教学变革的有效途径之一，对创新型、应用型人才的培养具有重要意义。

2 课程教学存在的问题及相关研究现状

2.1 课程教学中存在的问题

（1）教学形式单一、缺乏直观演示，学生课堂参与度低。课堂教学模式多是教师一个人唱独角戏，和学生互动的时间较少。学生往往依赖于教师单方面讲述，疲于记录笔记，课后仅仅凭借笔记、教材及习题来消化和吸收知识，与预期的教学设计效果有很大差距。

（2）学生在学习过程中容易出现急躁、急功近利的心理。随着高等教育从“精英教育”向“大众教育”的发展，加之“双减”政策的实施，大学毕业生的数量增加，但就业岗位相对较少。就业的压力促使学生选择性学习，想去中学从教的认为作为中学教师不会碰到、不会用到像实变函数如此深奥、含混晦涩的理论，所以在上课时没有学习的积极主动性，至多满足上课不迟到、不早退。有些考研的学生认为初试不考实变函数，因此把绝大部分的时间和精力都用在初试的科目学习上，牺牲了实变函数的课程时间。

（3）教师的教学与自身的教科研联系不紧密。一些教师只停留在讲授课本知识，没有将自己的教科研成果适当地转化成教学案例，没有让学生体会到探索未知学术世界的乐趣，不利于学生创新能力的培养。

2.2 课程教学的研究现状

曹广福以测度论课题式教学案例，说明实施实变函数的课题式教学有利于培养学生的数学思维能力[3]。魏含玉研究了利用师范专业认证来破解实变函数课程教学中存在的问题[4]。刘益波等以可测集的性质为例，呈现了在实变函数中实施探究式教学的策略和方法[5]。余玉峰等讨论了R2中面积和测度的关系，在实变函数课程中第一次把面积统一在测度之内[6]。依测度收敛是实变函数的一个教学难点，李成岳等研究了可测函数列依测度收敛与其Lebesgue积分的极限两者之间的关系[7]。OBE理念的应用是近年来很多学者关注的热点，对于OBE理念如何融入人才培养和一些课程的教育教学展开了详细讨论[8-10]，但OBE 理念在实变函数教学中的应用研究相对较少，而对于数学与应用数学专业师范认证、改革实变函数传统的教学方式，OBE理念是深化教学改革、提高人才培养质量的有效途径。

3 基于OBE理念的教学设计探索

3.1 基于超星学习通和微课的在线学习

信息化时代的快速发展使教育教学模式发生了翻天覆地的变化，“互联网+教育”真正实现了教育的信息化。学习通里大量的网络教学资源，为学生课前预习、课后的巩固提供了自学的便捷途径。

选用中国科学院数学与系统科学研究院李文林研究员的视频“实变函数论简史”，作为第一次课的总起介绍，选用超星学术视频里华中师范大学李工宝教授的“实变函数”系列视频作为自主学习视频资源。把这些优质的教学视频作为学习通中的任务点发布给学生观看，让学生随时随地进行学习，同时通过完成教师布置的练习题，进行知识的消化和巩固。

教师也可以根据教学大纲和教学目标，结合班级学生的学情和特点，选取教学中的一些知识点录制不同类型的微课。微课的主题可以是对教学中的某个重难点的突破，也可以是某类问题的专题讲解，还可以是某个知识点的拓展延伸，这些短小精悍的微课不仅能让学生根据自己的时间高效便捷地学习，而且能更好地满足学生对知识点的个性化需求，为实变函数的课堂教学减负增效，实现了实变函数的移动教学、移动学习和移动阅读（见表1）。

表1 视频学习重点和微课主题部分示例

3.2 基于OBE理念的“问题驱动”课堂互动教学模式

问题驱动教学法即基于问题的教学方法，教师精心设计问题来形成利于学生思考的“问题链”，调动学生参与课堂的积极性，启发学生连续地思考、深入地分析，根据问题的逐层深入去挖掘问题所体现的核心知识，提升学生的学习兴趣和成就感，这与OBE理念中以学生为主体的理念不谋而合。

以Fatou 引理的讲解为例，在教学中设置四个问题链，然后开展互动式教学，引导学生系统地应用所学知识，从探索疑问到解决疑问再到知识内化，实现从单纯的讲授型课堂向问题型课堂和能力型课堂转变，强调学思结合。

问题1 能否把Fatou引理中的“≤”换成“=”？

下面的例题说明不能把Fatou 引理中的“≤”换成“=”。

例1 设

则∀δ＞0，一方面有另一方面，

所以

问题2 Fatou引理中讨论了非负可测函数列下极限的积分，以Fatou引理为基础，能否讨论一般可测函数的积分和上极限的积分？

定理1 设g(x)和h(x)都是可测集E上的可积函数，是E上的一列可测函数，

（1）如果对任意的n，有g(x)≤fn(x)，∀x∈E，则

（2）如果对任意的n，有fn(x)≤h(x)，∀x∈E，则

证明（1）当g(x)=0 时，此结论即为原Fatou 引理。

再证一般情形.由于对任意的n，有fn(x)-g(x)≥0，∀x∈E，由Fatou引理知

即

已知g(x)在E上可积，所以积分∫Eg(x)dx的值有限，故由上式可得

从而

问题3 利用Fatou引理能否解决求极限与求积分交换顺序的问题？

定理2 设函数g(x)和h(x)都是可测集E上的可积函数，是E上的一列可测函数。若对任意的n，有g(x)≤fn(x)≤h(x)，且于E，则

证明由定理1知，

问题4 利用Fatou 引理能判断函数的可积性吗？

结合Fatou引理，若再添加积分一致有界，则可以得到判定函数可积的一种新方法。

3.3 基于OBE理念的课后研讨

作为课堂教学的延续，课后的及时研讨不仅弥补了课堂教学时间的不足，而且还能有效地帮助学生拓宽知识面、培养合作精神，同时开放性任务的设置使学生学无压力，并产生了“英雄有用武之地”的自信心和获得感，提升了学生的学习兴趣和主观能动性。

课后研讨首先要分析学生对实变函数学习的目标需求和学习障碍，然后基于OBE 理念根据目标需求反向设计研讨专题，比如让学生研讨对名人轶事的感悟，针对某个知识点的深入探讨、某个题目的多种解题方法等，教师也可以根据自身教科研进展，以科研成果丰富课程内容，选取和实变函数关系密切的教科研成果作为研讨课题。

实变函数论中的Lebesgue 积分是通过经典方法定义的，其过程是经过三个步骤完成：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分。对于一般的可测函数，Lebesgue积分定义为其正部的积分和负部的积分之差，而正部和负部总是非负函数，所以非负可测函数的积分是Lebesgue积分理论的首要关键知识点。以非负可测函数的Lebesgue积分为例，教师将学生进行分组研讨，引导学生探索非负简单函数与非负可测函数积分的关系，从而得到非负可测函数积分的一种新算法，培养学生从特殊到一般、从简单到复杂的数学思想。

引理1 设φ(x)是可测集E上的非负简单函数，如果是E上单调递增的非负简单函数列，且在

证明 任取0 ＜α＜1 ，令En(α)=E[φn≥αφ]，∀x∈E，则En(α)是E中的可测子集。

由于φ(x) 是E上的非负简单函数，不妨设，其中χEi(x) 是Ei的示性函数，，φ(x)在互不相交的每个Fj(j=1,2,…,l)上取非负常数值bj，则

因为φnχEn(α)和φχEn(α)仍是E上的非负简单函数，且在En(α)上φn(x)≥αφ(x)，所以φnχEn(α)≥αφχEn(α)，从而

已知在E上且函数列单调递增，则集合列单调递增收敛到E,从而{Fj⋂En(α)} 单调递增且

故

因此

由于0 ＜α＜1是任意的，所以

定理4 设f(x)是可测集E上非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列{φn(x)} ,使得对任意x∈E，φk(x)≤φk+1(x)(k=1,2,…),且同时

证明由可测函数与简单函数的关系[1]，只需证明

根据非负可测函数积分的定义知

从而

因此

综上可得

注：对E上的任意非负单调递增的简单函数列{φn(x)} ,只要就有

由此得出非负可测函数积分的一种新方法。

定理5 设f(x)是可测集E上非负可测函数，则

证明对任意的正整数n，将[0,n]划分为n·2n等份，令

则φn(x)是非负简单函数，且

当f(x)≥n时，φn(x)=n;

当f(x)＜n时，

3.4 基于OBE理念的课程评价设计

为了充分体现学生的主体地位，将学生的评价过程贯穿整个教学活动中，实行“4+N”的评价方式，“4”即是作业+单元测试+期中考试+期末考试，侧重考查学生对基本概念和基本理论的掌握情况；“N”是签到+学习笔记+视频观看+课后研讨+课程小论文+随堂自主讲解等内容，综合成绩=平时成绩×50%+期末考试×50%，强调了过程性评价的比重，客观地评价了学生学习的整体效果。同时为了避免评价过程出现漏洞，要求每项成绩均达到60%以上分数，否则综合成绩设置为不及格。这种评价方式不仅能检验学生对实变函数基础知识的掌握情况和综合应用能力，而且考查了学生的自主学习能力、数学推理能力、团队合作能力和创新能力。通过学习通提供的分数分布图信息和学生的评教，反馈教学，持续地改进教学。

4 结语

基于OBE 理念对“实变函数”课程进行教学模式和教学内容的探索、改革、调整和完善，在实际的教学活动实践中已取得一系列的教学效果和后续的升学效应。在教学中引导学生进行认知探究，转变学生的学习习惯，引导学生发现问题，辅助学生分析问题，关注学生的思维能力、实践能力和创新精神，逐步实现从“知识的传授”到“能力的培养”的转变，不断创新人才培养理念，逐步落实“以学生为中心、以成果为导向”的教育思想和理念，提升教学质量和水平，才能跟上新时代教育思想发展的步伐。