钢丝绳隔振器的数学建模与参数识别

王冬雪，孟宪松，闫 明，孔祥希

（沈阳工业大学机械工程学院，辽宁 沈阳 110870）

1 引言

钢丝绳隔振器是由美国在70年代末研制出的一种非线性隔振器［1］，与其它隔振器相比具有良好的干摩擦阻尼特性及迟滞特性，可以吸收振动过程中的大部分能量，同时还兼顾了弹性元件的隔振、缓冲、降低高频结构噪声等三大功能，被广泛应用于航空航天、化工设备控制、各种机械、建筑物等各个领域的防冲隔振中［2-4］。

不同于普通的隔振器，钢丝绳隔振器的刚度和阻尼均呈现出了非线性的特征，具体表现在结构非线性、材料非线性及几何非线性等方面［5-6］，而钢丝绳隔振器内部的结构阻尼［7］使得钢丝绳隔振器在加载和卸载的过程中产生了迟滞回线，从而出现了明显的迟滞特性［8-9］，而分析该迟滞特性需要引入相应的迟滞模型。所以目前关于钢丝绳隔振器的非线性迟滞模型的研究一直是重中之重。

目前常用的非线性迟滞模型有双线性模型、迹法模型、多项式模型和Bouc-Wen模型等［10］。当前应用最广泛、识别精度最高的是Bouc-Wen模型。Bouc-Wen 模型是由Bouc［11］于20世纪70年代提出的一种描述迟滞回线的模型，该模型是通过将纯迟滞恢复力和变形与模型参数联系在一起，最终通过合理的选择模型参数，来描述各种各样的动力学系统，从而对工程中遇到的各种非线性现象来进行相应的模拟［12-13］但由于Bouc-Wen 模型在识别钢丝绳隔振器上仍存在识别困难及一些局限性的问题［14］。所以出现了很多基于Bouc-Wen模型改进的迟滞模型，以此来更好的描述钢丝绳隔振器的迟滞特性。

从迟滞模型出发，以分解识别方法［15］为基础，对钢丝绳隔振器的迟滞模型的参数识别进行了分析。首先通过对钢丝绳隔振器进行静态试验得到了钢丝绳隔振器的迟滞回线，然后详细介绍了识别过程，针对牛顿迭代法识别结果不收敛、迭代周期长的特点，利用遗传算法识别出迟滞模型的各项参数，再用Matlab画出迟滞模型下的钢丝绳隔振器的理论迟滞回线，将其与试验迟滞回线进行对比，来验证该识别方法的有效性及参数识别结果的正确性。

2 试验研究与参数识别

通过对钢丝绳隔振器进行准静态试验，可以获得钢丝绳隔振器的迟滞回线，进而可以得到钢丝绳隔振器在加载和卸载时的力和位移的试验数据，通过将试验数据代入迟滞模型中，利用遗传算法可以准确的识别出迟滞模型中的相关参数。

2.1 试验研究

T型钢丝绳隔振器也称为条形钢丝绳隔振器，是应用最早也是最广的一种钢丝绳隔振器，具体结构，如图1所示。

图1 T型钢丝绳隔振器Fig.1 T-Wire Rope Vibration Isolator

首先将钢丝绳隔振器通过上下两个夹具及螺栓安装固定在万能材料试验机上，然后对钢丝绳隔振器施加位移载荷，如图2所示。通过操作计算机和试验机对钢丝绳隔振器进行压缩和拉伸，压缩和拉伸位移为20mm，试验机内部的位移传感器和力传感器会将位移数据和力的数据传送到计算机上，计算机会根据位移和力的数据绘制出钢丝绳隔振器的迟滞回线，如图3所示。

图2 钢丝绳隔振器拉压方向试验测量装置Fig.2 Measuring Device for Tension and Compression Direction of Wire Rope Vibration Isolator

图3 钢丝绳隔振器拉压方向的迟滞回线Fig.3 Hysteresis Loop in Tension and Compression Direction of Wire Rope Vibration Isolator

2.2 参数识别

首先将迟滞模型改写为只与变形和载荷有关的函数［15］，如下式所示：

式中：x—变形；F—隔振器载荷；sgn—符号函数；z—总恢复力，式（4）为Bouc-Wen迟滞模型，式（2）和式（3）是结构调整项，待识别的参数为：h、k1、k2、k3、b、α、β、γ、n。

非Bouc-Wen模型参数的识别比较简单，而且文献［15］中介绍的很详细，在这里简单介绍一下识别流程，便不再赘述。首先常数项h的识别即是调整中心对称点，将变形为零时的上下载荷相加除以2即可得到h=30.06N；然后根据式（5）并利用最小二乘法可识别出三次拟合项系数k1、k2、k3的值分别为8.2183、-0.0179、0.0034。

最后将迟滞曲线两个端点的坐标（X1，-max，F1，-max）、（X1，+max，F1，+max）带入式（1）并相除即可得出b的表达式，如式（6）所示。

通过代入试验数据，可以得出b=1.0006。

以上5个参数识别起来较为简单，且不存在什么大的问题，但在尝试用原方法识别α、β、γ、n时却出现了识别结果不收敛，计算周期长等特点，所以这里采用适用于求解非线性问题的遗传算法来进行识别，识别过程如下（其中α、β、γ、n的取值范围依次为：（（-300，300）、（-5，5）、（-5，5）、（0，1））

误差函数为：

其中：

首先将式（8）的微分方程根据迟滞回线分为以下3段，如图4所示。

图4 分段迟滞回线Fig.4 Segmented Hysteresis Loop

以变形为0时为界限，将钢丝绳隔振器的迟滞回线分为以下三段：（1）（0～20）mm、（2）（20～（-20））mm、（3）（（-20）～0）mm；易知第1、3段曲线dx＞0故式（8）可改写为：

同理第2段曲线dx＜0时，则式（8）可改写为：

然后利用ode45对微分方程进行解算，并将解算结果与F3（x）做差便可得到误差函数。而对应的非线性最小二乘式为：

通过计算最小二乘式及利用遗传算法进行搜索得到的误差最小的一组参数识别结果如下：α、β、γ、n=11.7767、2.6024、2.4416、0.2230。

至此，所有参数的识别结果，如表1所示。

表1 迟滞模型参数识别结果Tab.1 Parameter Identification Results of Hysteresis Model

3 结果及验证

根据上述识别结果，可得到钢丝绳隔振器的数学模型如下：

根据上述数学模型，用Matlab 画出该模型下的理论迟滞回线，为了验证参数识别结果及该数学模型的正确性，将钢丝绳隔振器的理论迟滞回线与试验迟滞回线的对比图表示，如图5 所示。并根据相对误差计算式（17）可计算出该模型下理论迟滞曲线与试验迟滞曲线的相对误差δ为6.23%左右，其中y为试验得到的载荷数据值。由图5可知，理论模型得到的迟滞回线与试验测得的迟滞回线趋势相同，基本吻合，从而验证了识别过程和数学建模的正确性，进而也验证了遗传算法对于解决钢丝绳隔振器参数识别的有效性。

图5 试验迟滞回线与理论模型曲线对比图Fig.5 Comparison of Experimental Hysteresis Loop and Theoretical Model Curve

4 结论

通过理论分析、数值仿真及试验验证等步骤，对于提出的识别钢丝绳隔振器迟滞模型的方法—遗传算法识别法进行了验证，结论如下：

遗传算法识别法可准确有效的识别出T型钢丝绳隔振器的迟滞模型参数，且由于识别过程中运用了最小二乘法寻优及通过不断改变遗传算法的变异系数和交叉频率来进一步对参数进行寻优的双重寻优方法，大大减小了识别参数的误差，提高并保证了识别结果的准确性；遗传算法识别出的钢丝绳隔振器的理论迟滞曲线与试验迟滞回线比较吻合，能够有效的反映出钢丝绳隔振器的迟滞特性，且通过计算可知相对误差较小为6.23%。综上，该方法能够有效的识别出钢丝绳隔振器的迟滞模型参数，为之后钢丝绳隔振器的数学建模和参数识别研究提供了新的思路，也为钢丝绳隔振器的动力学性能分析奠定了一定的基础。