基于蝶形准零刚度弹簧的双梁超材料低频带隙研究

陈晓刚,赵凯美,聂京凯,吴雪峰,黄晓峰,何 强

(1.国网浙江省电力有限公司,杭州 310000;2.国网浙江省电力有限公司金华供电公司,浙江 金华 321000;3.先进输电技术国家重点实验室(国网智能电网研究院有限公司),北京 102209)

随着我国城镇化不断推进,城市用电负荷量和电网电压等级显著增加,输变电设备的电压等级随之提高,使得高压输电线路被引进城市,众多高电压大容量变压器被安装进城市居民区中[1]。然而,变压器在为高压输电带来便捷的同时,其全天候运行产生的振动噪声给其环保达标带来严峻挑战。变压器的振动噪声是由铁芯硅钢片在通电绕组磁通作用下引起的磁致伸缩性弯曲振动而产生,并通过支座和箱体传向地基向外辐射噪声[2]。铁芯硅钢片因磁致伸缩效应产生的振动噪声以两倍工频为基频(即100 Hz),且主要为基频整数倍的低频振动与噪声。变压器不间断运行产生的低频振动噪声不仅会对配电设备运行及其本身使用寿命造成不利影响,而且还会使得居民舒适性下降。随着环保法规日益严苛,变压器低频振动噪声已成为制约高压输电建设中不可忽视因素。因此,如何降低变压器低频振动噪声并促使其实现环保达标受到了国内外学者的广泛关注。

目前应用于变压器减振降噪的技术主要是选择磁致伸缩小的优质硅钢片进行变压器本体改造(源头控制)、变压器外部布置声屏障(路径控制)、采用通过扩声设备产生声信号与噪声信号实时抵消的有源降噪技术实现变压器降噪(接受者控制)[3]。王瑜等[4]采用27ZDKH硅钢片对变压器铁芯进行改造,使得铁芯中的磁通由1.75 T降低至1.5 T,变压器噪声被降低了5 dB。胡静竹等[5]以220 kV变电站为研究对象研究了在变电站周围不同位置布置声屏障以及添加吸声材料声屏障的隔声性能,结果表明声屏障可将变电站噪声降低1 dB左右。刘姜涛等[6]基于广义有限脉冲响应滤波器优化的有源噪声前馈控制算法结合传感器阵列对电力设备进行有源降噪,仿真结果显示在频率50 Hz、100 Hz和200 Hz处的低频噪声成分被降低了12～18 dB。然而,以上用于变压器降噪方法虽可实现可观的降噪性能,但在实际工程中应用时均可受到一定限制。选择磁致伸缩小硅钢片改造变压器本体价格昂贵,且磁致伸缩性小并具有高磁导率的铁磁材料,尚处在研究阶段;而声屏障对高频噪声降噪效果显著,但对变压器低频噪声控制效果不佳;同时有源降噪技术需庞大次级声源阵列,对控制算法速度要求很高。

相比于变压器本体改造、声屏障和有源降噪技术,近年来通过在传递路径上安装高性能低频隔振装置隔离变压器低频振动噪声向外传播得到了电力部门广泛关注。张玉兰[7]利用橡胶隔振器开展了变压器降噪分析,指出橡胶隔振器有效降低变压器振动响应,从而降低了噪声辐射。刘玉成等[8]采用磁性负刚度与折叠梁弹簧并联设计了一种含摩擦阻尼准零刚度变压器隔振平台,仿真结果表明该平台可高效抑制变压器低频振动,并通过摩擦阻尼抑制变压器的共振响应,并在准零刚度隔振器基础上进一步引入了几何非线性阻尼减振方法,高效抑制了变压器的共振峰[9]。Cao等[10]采用竖直弹簧与倾斜弹簧并联设计了一种用于变压器减振降噪的准零刚度隔振器,实验结果表明该隔振器可高效抑制变压器的低频振动噪声向外辐射。然而,变压器运行温度较高,橡胶隔振器易老化丧失隔振性能;而与变压器相匹配的准零刚度隔振器一般机构较大,应用受到一定限制。

有鉴于此,传统的降噪材料或减振结构较难实现变压器低频噪声的高效抑制。因此,需要研发应对变压器低频频谱特性且拥有优异减振降噪性能的装置。近年来,亚波长声子晶体与声学超材料因其在振动噪声控制方面具备减振降噪效果好、可调性高、体积小等优点成为研究热点,其为变压器低频振动噪声控制提供新思路。迷宫结构可通过改变几何尺寸调整其共振频率和带隙位置,在减振降噪应用中具有一定优势。王天正等[11]基于希尔伯特射频天线形式提出一种应用于变压器降噪的声学超结构,通过选择单胞参数,使其共振频率点避开变压器噪声主频点,获得了较高的传声损失,试验结果显示所设计超材料传声损失最高可达20 dB。赵欣哲等[12]针对400 Hz和500 Hz频率的噪声设计了一种混合盘绕型声学超材料,通过有限元仿真和试验分析指出在400～500 Hz频段传声损失到达25 dB。Sharafkhani[13]通过串并联多个亥姆霍兹共振腔,实现了变压器在100 Hz、200 Hz和300 Hz频率处的完美吸声。张嵩阳等[14]通过两侧支撑框架和高分子聚合物薄板设计一种应用于变压器低频隔声的两边支撑声学超材料板,可实现变压器在152～560 Hz频率范围内高达26 dB的隔声量。然而,以上声学减振降噪超结构均只能应用于变压器的外部,占用空间庞大,无法实现变压器本体减振降噪。因此,开发应用于变压器本体减振降噪的超结构新构型是高效抑制变压器本体低频振动噪声的根本途径。

追根溯源,变压器的低频振动噪声是由硅钢片在绕组磁通作用下产生磁致伸缩效应而引发的低频弯曲振动,因此降低变压器低频振动噪声应从振源即硅钢片弯曲振动入手,通过抑制硅钢片因磁致伸缩产生的低频弯曲振动,可降低硅钢片向外辐射噪声。因此,本文依据变压器低频振动噪声频率分布特性,基于蝶形准零刚度弹簧周期性耦合硅钢片梁与硬铝合金梁提出一种应用于变压器低频振动噪声高效抑制的双梁超材料,通过静力分析建立了蝶形准零刚度弹簧的力学模型,采用欧拉-伯努利梁理论建立了硅钢片双梁超材料的元胞动力学模型,结合Bloch定理研究了该元胞的色散关系及其低频带隙形成机理。与现有基于布拉格散射和局域共振的超材料相比,提出的双梁超材料不附加任何外部质量、惯性放大结构、材料变化、几何变化或控制波传播的电路装置,仅通过硅钢片与硬铝合金的周期性弹性耦合铰接分布的蝶形准零刚度弹簧形成低频振动噪声带隙,为变压器本体降噪提供一种崭新的设计方法。

1 双梁超材料

1.1 双梁超材料基本构型

如图1(a)所示为含双梁超材料的变压器铁芯装置,变压器铁芯是由多片方形硅钢片堆叠构成,在通电绕组的磁通激励下,方形硅钢片将产生磁致伸缩效应,并使得方形硅钢片沿其表面法向产生低频弯曲振动,从而向外部辐射低频噪声。依据变压器方形铁芯硅钢片的材料形式及其装配特征,在叠层硅钢片前后两端和中间分别布置双梁超材料,利用前后两组工字梁夹持机构夹持方形硅钢片,并通过前后紧固螺母与水平粗轴连接限位衬套将叠层硅钢片与双梁超材料以预紧力400～600 N进行夹紧装配。装配在图1(a)中的前端、中间和后端的双梁超材料如图1(b)所示,其由上下左右四组双梁构成方形铁芯,每组双梁采用厚度不等的硅钢片梁和硬铝合金梁组成,且每组双梁之间等间隙均布多个蝶形准零刚度弹簧,用于获取变压器铁芯硅钢片减振降噪的低频带隙。

(a) 具有双梁超材料的变压器铁芯

图1(b)中通过蝶形准零刚度弹簧周期性耦合硅钢片梁与硬铝合金梁形成用于变压器铁心硅钢片减振降噪的超材料,其相应的力学模型及含蝶形准零刚度弹簧的元胞如图2所示。元胞的长度为L,每个元胞由两个蝶形准零刚度弹簧进行对压连接硅钢片-1和硬铝合金-2。

(a) 双梁超材料力学模型

1.2 蝶形准零刚度弹簧力学性能分析

为实现变压器铁芯低频振动噪声的高效抑制,蝶形准零刚度弹簧的力学性能是关键。具有开槽的蝶形准零刚度弹簧尺寸示意图,如图3所示。b1为槽尖端宽度,b2为槽底部宽度,Dm为槽底部圆直径,d为槽尖端直径,h为闭合环高度,D为蝶形弹簧底端直径,t为蝶形准零刚度弹簧厚度,L0为蝶形准零刚度弹簧高度。当外力Fn作用于蝶形准零刚度弹簧锥形端部时,其变形如图4所示。槽尖端在竖直方向的位移δ为闭合环部分产生的刚性位移δ1与槽尖端弯曲变形δ2之和。

(a) 俯视图

图4 蝶形准零刚度弹簧变形Fig.4 Deformation of BQZSS

根据弹性理论和刚柔耦合变形理论[15],轴向力Fn与槽尖端位移δ之间的关系可表示为

(1)

(2)

(3)

式中,E、μ和Z分别为蝶形准零刚度弹簧的弹性模量、泊松比和开槽个数。式(1)中的系数K1和C分别表示为

(4)

(5)

通过将式(1)对轴向位移δ进行求导,即可得到蝶形准零刚度弹簧的刚度为

(6)

为验证蝶形准零刚度弹簧回复力式(1)的有效性,在ANSYS有限元软件采用solid185单元对蝶形准零刚度弹簧建模并进行扫掠网格划分,如图5(a)和5(b)所示。这里蝶形准零刚度弹簧采用尼龙PA12材料,其相应的三组结构参数如表1和表2所示。在图5(b)中,将蝶形准零刚度弹簧底座上的所有节点沿X、Y、Z三个方向的位移约束为0,并将蝶形准零刚度弹簧顶部的所有单元节点沿Y方向(即竖直方向)的位移进行耦合(如图5(c)所示),沿Y方向进行位移加载,开启大变形选项进行计算,可获取蝶形准零刚度弹簧顶部所有节点的沿Y方向的位移与反作用力。

表1 蝶形准零刚度弹簧力学参数Tab.1 Mechanical parameters of BQZSS

表2 蝶形准零刚度弹簧参数Tab.2 Dimensions of BQZSS

(a) 蝶形准零刚度弹簧有限元实体模型

将由式(1)解析表达式计算得到的回复力结果与ANSYS有限元软件中计算得到结果进行对比,如图6所示,在平衡位置附近,提供的恢复力大小近似为450 N,可用于变压器铁心硅钢预紧,且在平衡位置处回复力曲线较为平坦,呈现出高静态刚度与低动态刚度特性,解析结果与有限元对比表明蝶形准零刚度弹簧的解析回复力与有限元计算得到的结果相一致,验证了解析式(1)的有效性。

图6 解析结果与有限元结果对比Fig.6 Comparison between the analytic results and FEM ones

由式(6)给出的蝶形准零刚度弹簧的刚度过于复杂,为便于后续开展双梁超材料动力学分析,将式(6)进行泰勒近似如下

Kqzs(δ)=k1δ+k3δ3

(7)

依据解析表达式(6)与泰勒近似表达式(7)的对比仿真结果如图7所示,相应的泰勒近似系数k1与k3如表3所示。在0～8 mm范围内,由式(6)得到的解析刚度结果与泰勒近似完好吻合,且在运动量程范围内三条刚度曲线非线性度较弱,并且在平衡位置附近,蝶形准零刚度弹簧的刚度可近似为线性项,后续将采用近似线性刚度项开展双梁超材料的带隙分析。

表3 泰勒近似系数Tab.3 Mechanical parameters of BQZSS

图7 刚度近似Fig.7 Stiffness approximation of BQZSS

1.3 元胞动力学及其色散关系

为开展图2(a)中双梁超材料动力学特性及其低频减振带隙分析,选取图2(b)作为双梁超材料的元胞单元,建立局部坐标系x1oy1、x1oy3、x2oy2和x2oy4,元胞中各段梁的弯曲振动位移分别表示为Y1(x1,t)、Y2(x2,t)、Y3(x1,t)和Y4(x2,t),根据欧拉-伯努利梁理论可推导元胞的动力学方程为

(8)

(9)

(10)

(11)

式中,E1、E2、ρ1、ρ2、A1、A2、I1和I2分别为硅钢片-1和硬铝合金-2的弹性模量、密度、横截面积和惯性矩。基于谐波平衡法,设式(8)～(11)的谐波解如下

Y1(x1,t)=y1(x1)eiωt

(12)

Y2(x2,t)=y2(x2)eiωt

(13)

Y3(x1,t)=y3(x1)eiωt

(14)

Y4(x2,t)=y4(x2)eiωt

(15)

可得到广义解为

y1(L/2)=y2(0)

(20)

θ1(L/2)=θ2(0)

(21)

y3(L/2)=y4(0)

(22)

θ3(L/2)=θ4(0)

(23)

-Q1(L/2)+Q2(0)+fs=0

(24)

-Q3(L/2)+Q4(0)-fs=0

(25)

-M1(L/2)+M2(0)=0

(26)

-M3(L/2)+M4(0)=0

(27)

在上述式(24)、(25)中,fs为蝶形准零刚度弹簧提供的回复力,可表示为

fs=k1[y2(0)-y4(0)]

(28)

第二种边界条件由周期性Bloch条件给出为

y2(L/2)=y1(0)eiqL

(29)

θ2(L/2)=θ1(0)eiqL

(30)

y4(L/2)=y3(0)eiqL

(31)

θ4(L/2)=θ3(0)eiqL

(32)

Q2(L/2)=Q1(0)eiqL

(33)

M2(L/2)=M1(0)eiqL

(34)

Q4(L/2)=Q3(0)eiqL

(35)

M4(L/2)=M3(0)eiqL

(36)

将式(12)～(15)代入边界条件式(20)～(27)和式(29)～(36),由边界条件式(20)～(27)和式(29)～(36)可得到一组线性代数方程组。因该线性代数方程组存在非零解,令线性代数方程的系数行列式为0可得到双梁超材料的色散关系为:

(e4μ+e-4μ)+T1(e3μ+e-3μ)+

T2(e2μ+e-2μ)+T3(eμ+e-μ)+T4=0

(37)

式中,i为单位虚数,q为波矢量,μ=iqL。根据欧拉公式并考虑到coshμ=cos(iqL),式(37)可进一步表示为

(38)

式(38)为cos(qL)的四次代数方程,故在沿元胞存在4对弯曲波±q1、±q2、±q3和±q4,相应的正负号表示每对弯曲波分别沿不同方向进行传播。根据波矢量q不同的数学表示形式,可将弯曲波分为以下3类[16]:

(1) 传播(P):波矢量q是纯实数,即q=Re(q)。在这种工况下,弯曲波在元胞上传播时没有衰减,仅存在相位变化;

(2) 衰减(A):波矢量q的实部为Re(q)=0或|Re(q)|=π,且虚部非零,这对应于弯曲波沿元胞传播产生衰减;

(3) 复数(C):波矢量q为复数,即0<|Re(q)|<π和|Im(q)|>0。在这种工况下,弯曲波沿着元胞传播时不断衰减。

通过求解式(38)得到±q1、±q2、±q3和±q4,并依次判别其相应的归类,双梁超材料在给定频率下将具有5种不同类型的色散特性:

(1) 传播-传播-传播-传播(PPPP):在这种工况下,4个弯曲波都在元胞中传播,没有衰减;

(2) 传播-衰减:即存在一个或多个弯曲波沿系统传播,其余均衰减;

(3) 衰减-衰减-衰减-衰减(AAAA):四个波数均属于衰减类。在这种工况下,相邻元胞要么同相振动,要么异相振动,使得波穿过元胞时衰减。该行为是典型的布拉格散射现象。因此,该区域称为布拉格散射区(BS区);

(4) 复数(CCCC):q1、q2、q3和q4为共轭复数。在这种工况下,4个波代表了同一种特征波,该特征波在穿过元胞时衰减并经历相变。这通常是局部共振机制的特征。因此,该区域记为局部共振区(LR区);

(5) 衰减-复数:四个波数解中一个或多个属于衰减类,其余属于复数(C)类,此时4个弯曲波将均被衰减。

基于以上分析,有三种衰减带隙类型(AAAA、CCCC和A与C的混合)。下节将基于以上分类开展双梁超材料的能带结构分析,并以此为基础研究其色散行为。

2 带隙结构仿真

为获得可高效抑制变压器铁心硅钢片低频弯曲振动的低频带隙,采用对压的蝶形准零刚度弹簧周期性弹性耦合硅钢片梁与硬铝合金梁,依据1.2节研究的蝶形准零刚度弹簧力学特性,式(7)给出的刚度是非线性,但其在平衡位置附近较为平坦,为便于带隙求解与分析,蝶形准零刚度弹簧刚度在平衡位置附近可近似为常数k1。因此,图2(a)中对压蝶形准零刚度弹簧的刚度为k1/2,硅钢片梁和硬铝合金梁的几何参数如表4所示。

表4 双梁结构参数Tab.4 Parameters of double-beam

2.1 带隙仿真计算

首先采用PA12-I的刚度泰勒近似进行双梁超材料带隙及色散关系分析,此时双梁超材料中对压蝶形准零刚度弹簧的刚度为536 N/m。依据式(38)结合表4提供的双梁参数,计算获得波矢量qL的实部与虚部如图8所示。在0～1 000 Hz低频频段范围内,一共存在4个低频带隙:第一个带隙分布为0～37.57 Hz,相应的波数q1、q2、q3和q4起初均为共轭复数,属于LR衰减类,可实现4个弯曲波的高效衰减,当激励频率增加到28.78 Hz时,在28.78～37.57 Hz低频频段内,波数q1、q2、q3和q4中含两个共轭复数解和两个Re(q)=0且虚部非零的解,属于LR与BS混合衰减;第二/三/四带隙的频率分布为96.12～203.8 Hz、270.6～378.9 Hz、470.8～1 000 Hz,可高效衰减变压器铁心在100 Hz、200 Hz、300 Hz、500 Hz的低频振动噪声响应;在第二、四带隙中,波数q1、q2、q3和q4为两个共轭复数解和两个Re(q)=0且虚部非零的波数解,即为LR与BS混合产生的混合带隙;在第三带隙中,波数q1、q2、q3和q4均满足Re(q)=0或Re(q)=π且虚部非零,属于BS衰减类。

(a) 波数对实部

将图8进一步进行简化,得到如图9所示的带隙分布及其衰减特性分布图。由图9可知,基于双梁超材料可在0～1 000 Hz低频段范围实现宽带减振降噪,且随着频率增加,带隙范围增大,并在相应的带隙内具有较大的衰减常数,有利于变压器铁心硅钢片低频弯曲波的高效抑制。

(a) 双梁超材料带隙分布

2.2 刚度对带隙结构的影响

双梁超材料是由蝶形准零刚度弹簧周期性弹性耦合硅钢片梁和硬铝合金梁构成,蝶形准零刚度弹簧的线性刚度项k1对双梁超材料的带隙结构影响如图10所示。

(a) 刚度k1对带隙结构的影响

如图10所示,分别采用1.2节中PA12-I、PA12-II和PA12-III三种尺寸结构的蝶形弹簧将硅钢片梁与硬铝合金梁进行耦合,从图10(a)中可知,随着k1的增大,带隙也随之逐渐增大,特别是低频带隙,并且每个带隙的起始频率也随k1的增大而增大。另外,随着k1的增大,在低频范围内,衰减常数也随之增大,而500 Hz以上带隙对刚度k1不敏感。

2.3 元胞长度对带隙结构的影响

元胞长度L对带隙分布的影响如图11所示,取PA12-I和表4中的几何参数,当元胞长度L由0.133 m增加到0.17 m时,低频带隙宽度减小(如散点图所示),且随着L的增大,且每个带隙的其实频率向低频段移动,越容易在低频段形成用于变压器铁心低频弯曲振动高效抑制的带隙分布。与此类似,增大L使得衰减常数分布向低频段移动。因此,增大元胞长度L将有助于低频振动噪声抑制性能的提升。

(a) 元胞长度L对带隙分布的影响

2.4 双梁结构几何参数对带隙结构的影响

(a) 双梁超材料结构几何参数对带隙分布的影响

3 结 论

针对变压器铁心硅钢片在交流磁通作用下因磁致伸缩效应导致的低频弯曲振动噪声问题,本文提出一种应用于变压器低频振动噪声高效抑制的双梁超材料。与基于布拉格散射/局域共振原理设计的传统超材料结构形式不同,双梁超材料是通过蝶形准零刚度弹簧周期性弹性耦合硅钢片梁与硬铝合金梁构成,建立了双梁超材料的动力学模型,采用边界条件和Bloch定理研究了双梁超材料的带隙结构及色散关系,分别获取了BS型带隙、LR型带隙以及BS与LR混合带隙分布,覆盖了变压器铁心所需要的低频振动噪声频段,仿真研究了蝶形准零刚度弹簧刚度、元胞长度、双梁结构等关键性能参数对带隙结构的影响规律,结果表明通过调节蝶形准零刚度弹簧刚度、元胞长度、几何参数可用于打开/关闭带隙来修改双梁超材料的能带结构和带隙边缘频率,为变压器铁芯低频减振降噪提供一种新的思路。