基于模糊控制的悬浮转子感应加热方法

李东峰，李冬梅，张 嵘，贺晓霞

（清华大学 精密仪器系，北京 100084）

惯性仪器的性能对温度变化十分敏感。真空悬浮金属球转子作为一种高精度导航仪器的核心部件，从室温状态启动后必须要与支承电极碗实现温度平衡后，方可进入工作状态[1]。由于悬浮转子与外部腔体无机械接触，仅依靠辐射传热实现热平衡所需时间较长，文献[2]的研究指出转子热平衡过程的时间常数约为6.6 小时，平衡过程历时20 小时以上，极大地制约了测试系统的启动效率。目前国内外尚无相关研究对转子升温平衡过程进行主动加热控制。

针对金属球转子在交变磁场中的不同运动状态，文献[3-5]对金属球上产生的电涡流及热效应进行了研究，为寻找主动磁感应加热方式提供了思路。文献[6]在优化线圈结构的研究中完善了旋转磁场的加转模型，文献[7]进一步在改进模型中发现：可以在不改变现有结构条件下，调节两路线圈中加载控制信号的相位差，产生一种特殊旋转椭圆磁场，对高速旋转的转子进行非接触式感应加热，在不引入额外转矩改变转子转速的条件下显著提升转子温升速率。文献[7]的研究从仿真计算证明了零施矩感应加热方案的可行性，但未进行相关控制方案设计与工程化应用。

因此，为了解决金属球转子进入高速旋转状态后升温缓慢问题，本文以文献[7]提出的感应加热方法为手段，引入模糊控制方式调整两路线圈中的控制信号相位差，利用数字控制技术对转子进行主动加热控制。实验结果表明，借助模糊控制方法，可以在维持转子转速条件下，实现对转子的持续稳定加热，有效缩短热平衡时间至5 小时以内，极大地提升仪器测试系统整体启动效率。

1 旋转椭圆磁场

1.1 转子-线圈加转模型

转子加转启动过程类似于交流异步电机，利用了交流旋转磁场产生加转力矩的原理，其空间结构如图1 所示。在加转平面XY 内，由外部四个完全相同的线圈做定子，内部悬浮金属球做转子，其中对向线圈分为A1A2、B1B2两组，在加转平面内呈正交分布[8]。

图1 转子-线圈结构模型Fig.1 Structural model of rotor and coils

加转状态下，同一组对向线圈的抽头N 相连，另外两个抽头分别做信号接入端P 和接地端GND。当在同一组线圈P 端通以一定形式的电信号，产生的磁场方向也相同。当向两组线圈分别施加具有90°相位差的同频等幅正弦交流信号，线圈中磁感应强度随加载信号同频变化，合磁场为交流旋转圆形磁场Bm，对转子产生垂直于加转平面的旋转力矩T 带动转子转动。

1.2 旋转椭圆磁场

加转线圈中产生的磁场强度与控制信号电压幅值成正比，通过调整控制信号产生单一空间指向的交变磁场B，从磁矢量势的泊松方程出发[9-10]，推导转子在外磁场中受力矩T为公式[9]：

式(1)中A为磁矢量势，τ为转子金属导体电阻率，r 为径向单位矢量，r为金属球转子半径，根据磁矢量势和磁感应强度有关系式[9]：

忽略高阶小量，磁矢量势简化有近似微分方程[9]：

式(3)中μ为相对磁导率。文献[9]采用分段求解，在一个交变磁场周期内做平均后，可以给出转子在某一轴方向上受加转力矩。文献[7]在此基础上，针对本文转子-线圈空间结构模型，当两路正弦控制信号在正交方向分别产生磁场强度Bi、Bj，相位差90°，也即合磁场B=Bisinωmti +Bjcosωmtj 作用下，给出转子在转轴Z 方向受到的加转力矩表达式[7]：

式(4)中ωm为加转控制信号角频率，ω为转子旋转角频率，r为转子半径，ζ为金属球转子表面电阻率。式中Bi、Bj为任意非零值时，将在空间形成旋转椭圆磁场。特别地，当Bi=Bj时，在空间产生旋转圆形磁场。

1.3 零施矩条件

转子与外部线圈温度升高将引起加转力矩显著下降，因此必须要采取冷启动方式，即在较低温度下加转至额定转速，随后经过较长热平衡过程等待转子温度升至与外部电极碗腔体一致[1]。因此要考虑在完成加转过程后对转子进行加热控制。

在对旋转椭圆磁场理论的研究中，文献[7]发现存在一种特殊的磁场条件使得Tz=0，即加转过程不施加转矩，此时确定磁感应强度满足关系式[7]：

式(5)中κ为与转子表面电阻率、转子半径、加转控制信号角频率和转子旋转角频率有关的系数，满足公式[7]：

此条件下作用于金属球转子的电磁场能全部转化为转子内能，引起转子温度快速升高，这一特殊椭圆磁场称为零施矩磁场。这一过程本质上是利用感应涡流生热，是一种特殊的加转过程。在转子高速旋转条件下，仅调节线圈中两路正弦信号的相对幅值大小，即可获得这一特殊零施矩磁场。实际上，如果保持两路控制信号幅值相等，仅调节两路信号的相位差，两组对向线圈中产生的合磁场也是旋转椭圆磁场。

进一步地，要使调相实现的旋转椭圆磁场也实现零施矩条件，此时相位角Φh应满足条件：

在式(7)条件下，采用调相方式可以获得等效零施矩磁场，对转子进行感应加热。零施矩条件下，参数κ的表达式(6)中，转子表面电阻率ζ随转子温度升高变化会改变零施矩磁场条件，即零施矩相位角也会移动。因为调相方式只涉及相位差一个控制变量，且不受控制信号幅值限制，所以本文考虑采用调相方式实现零施矩感应加热。

2 模糊控制

2.1 模糊控制

零施矩感应加热条件下，考虑当两路控制信号相位差偏离零施矩条件，转子表面受额外非零力矩，转速会偏离额定值nm，所以可以建立以转子转速为反馈的闭环控制过程，以实现零施矩相位角的动态调整。采用调相方式控制转速恒定是一个非线性过程，模糊控制方法较为适合本文设计。

模糊控制理论的核心在于建立模糊控制规则，是一种基于人类思维模式的主观控制方法。它摆脱了对被控对象数学模型的限制，较为适合难以掌握被控对象内部结构与数学模型的复杂系统控制过程，尤其是对存在非线性、时变和滞后等问题的控制过程，具有较好的鲁棒性和适应性[11]。

2.2 基于模糊控制的算法设计

采用模糊控制实现零施矩感应加热过程的调相恒速控制，具体实现包含以下几个步骤：

1)确定控制器结构

以实时转速与额定转速的差值en和转速差变化率ecn作为输入量设计二维模糊控制器，控制器直接输出量为相位差Φh变化量ΔΦh。模糊控制器系统设计框图如图2 所示，控制器输出量为零施矩相位角调整增量ΔΦh，改变作用于转子的加转力矩Tz，控制转子转速n，Jζ为转子转动惯量，1Jζs代表了控制过程被控对象，虚线框内为模糊控制器，表征了控制器内部进行的基本控制过程：二维输入变量经过隶属度函数库μF进行清晰值模糊化（D F），对模糊变量在包含模糊运算规则的知识库R中进行模糊运算过程（A*◦R），得到输出变量的模糊量，最后由清晰化方法库fd进行模糊量清晰化（F D）过程。

图2 模糊控制器框图Fig.2 Block diagram of fuzzy controller

2)模糊化输入、输出量

根据实验获取加转特性变化数据，确定转速差en的模糊量SE，模糊子集简记为{NL(负低)，L(低)，ML(零低)，MH(零高)，H(高)，PH(正高)}；转速差变化率ecn的模糊量SEC，模糊子集为{ DNL(负低)，DL(低)，DML(零低)，DMH(零高)，DH(高)，DPH(正高)}；相位角变化量ΔΦh的模糊量U，模糊子集为{NB(负大)，NM(负中)，NS(负小)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}。

隶属函数库μF中存储了用以将数字清晰量转换为模糊量的隶属度函数。各变量论域上的模糊子集分布是不均匀的，尤其在平衡零点附近采用斜率较大的三角形隶属度函数，既提高平衡零点附近的转速控制精度，又可以在偏差较大时使系统从远离平衡点处迅速趋向平衡点附近[12]。

3) 建立模糊规则

模糊规则的建立依赖于实验操作经验，设计实验获取零施矩相位角Φh附近相位角变化量与加转力矩的变化关系，实际中加转力矩的变化可由转速差与转速差变化率表征。根据调试经验，形成模糊控制知识库R，建立模糊控制规则表以进行模糊运算。

4) 近似推理

模糊推理采用Mamdani 型推理，定义uen、uecn、分别为转速差、转速差变化率和输出相位角变化量的隶属度，∩为Mamdani 推理中的取小算子，则输出相位角变化量的隶属度有表达式：

5) 输出量清晰化

输出模糊量清晰化采用方法库fd中的最大隶属度平均值法，即确定最大隶属度对应的所有输出量值点取其平均值，得到输出相位角变化量清晰值。

3 实验测试

3.1 椭圆磁场加转特性

本文选取400 r/s 额定转速条件进行相关实验设计，实验硬件条件是基于DSP 的数字控制电路，设计了以DDS芯片AD9958为核心的双通道正弦信号发生器模块，通过DSP 内部SPI 通信指令控制AD9958 产生两路24 V 幅值，1000 Hz 频率正弦加转信号，在400 r/s 转速条件下实现零施矩感应加热。室温下启动转子至额定转速，由于初始温度与加转过程热效应的差异，进入零施矩感应加热条件的初始相位角Φh一般在55 °附近，此时围绕Φh附近以一定幅度调整两路信号相位差，得到转子转速变化率如表1 所示。

表1 相位角调节与转速差变化率关系Tab.1 Relationship between phase difference adjustment and speed change rate

据表1 总结出以下调试经验：输出相位角调整值ΔΦh越大，引起转速偏差ecn变化越快；转速偏差变化率的符号由相位角调整方向决定。

3.2 模糊控制器设计

二维模糊控制器设计中，根据手动调试经验，以转速差为例，选取转速差en的模糊量SE 论域为[-2 r/s,2 r/s]，其模糊子集对应隶属度函数如图3 所示。转速差变化率、相位角调整量采用了相似的隶属度函数，模糊子集分布有所差异而有调整，以提升控制器动态控制性能。

图3 隶属度函数Fig.3 Membership functions

根据手动调试经验进一步形成模糊控制知识库，建立模糊控制规则表，如表2 所示。模糊推理过程采用Mamdani 型推理方法，清晰化过程以最大隶属度平均值法得到零施矩相位角调整量输出清晰值，以实现感应加热过程的恒速控制。

表2 模糊规则控制表Tab.2 Fuzzy rule control table

3.3 感应加热功率调整

利用模糊控制，在400 r/s 转速附近进入调相恒速控制状态，实现零施矩感应加热过程。设置控制信号幅值24 V，频率1000 Hz，转子转速与零施矩相位角变化情况如图4 所示，稳态转速控制精度优于0.02 r/s。

图4 感应加热过程转速与零施矩相位角变化情况Fig.4 Variation of speed and phase difference during heating

感应加热过程还需要对加热功率进行一定限制。实际中加热功率不易直接测量，但转子温升速率与加热功率成正比，加热过程转子温度和电极碗温度的相对变化引起热胀冷缩，会通过支承间隙变化反映到支承电压变化上，具体体现为公式：

式(9)中ΔTr、ΔTe分别为转子和电极碗温度变化，αr、αe分别为转子和电极碗材料热膨胀系数，K为间隙-控制电压系数，ΔVz为支承轴Z 轴方向控制电压变化量。忽略转子自转引起的离心变形影响，将线性方程(9)两端同除Δt，整理后得到转子温度变化速率估算式：

测试条件下式(10)中各参数与常量取值见表3。改变控制信号幅值依次为24 V、17 V、12 V，当转轴垂直于地面，对比多组测试加热功率下Z 轴支承电压变化情况并进行线性拟合，结果如图5 所示。三组不同控制电压条件下进行加热实验，得到Z 轴支承电压变化速率依次为-284.7 mV/h、-125.2 mV/h、-40.7 mV/h。

表3 参数与常量取值Tab.3 Parameters and constants

图5 不同加热功率下Z 轴支承电压变化情况Fig.5 Variation of Z-axis support voltage under different heating powers

加热阶段电极碗温升速率由外部温控系统调节，一般情况下碗温升速率ΔTeΔt大约为30°C h，代入式(10)分别估算三组控制信号下转子温升速率为45.86°C h、31.86°C h、24.44°C h，得到实际测试感应生热功率与信号幅值基本满足正比关系，这与控制信号频率、幅值、金属球形状、运动方式、线圈结构、线圈发热情况等诸多因素有关。

对比相同条件下，自然热平衡过程在稳定热辐射阶段换热效率与转子和电极碗的温度差有关，随时间呈指数衰减，最高约为20°C h，可见利用控制信号进行持续主动感应加热，可以使转子温度更快速升高。考虑到外部电极碗温升速率限制，最终选取18 V 为一般情况下感应加热控制信号的幅值。

3.4 实验结果

配合外部电极碗温度控制与转子间接测温手段，对比自然辐射传热方式与18 V 控制电压下感应加热方式，实现热平衡过程转子温度的变化情况，如图6所示。实验结果显示，基于模糊控制方法实现感应加热控制，使转子温度快速从室温升高至与电极碗温度平衡，热平衡时间缩短至5 小时以内，相比自然辐射传热过程所需20 小时以上热平衡时间，本文实现的主动加热方式使转子热启动效率提高75%以上，极大地提高了测试系统整体的启动效率。

图6 转子温度在不同热平衡条件下变化对比Fig.6 Variation of rotor’s temperature under different heating conditions

4 结论

针对真空悬浮金属球转子在加转启动后升温缓慢、热平衡所需时间长问题，本文以文献[7]提出的零施矩感应加热方法为基础，提出了一种基于模糊控制的感应加热控制手段。在400 r/s 额定转速下，本文实现了针对真空悬浮转子的感应加热过程闭环控制，在保证恒速控制精度的条件下，可对转子进行长时间稳定加热，显著缩短热平衡时间，相比自然辐射传热过程，有效提高了测试系统的启动效率，为后续在设备实用化方面提供了应用参考。