抵偿面任意带投影法在高海拔地区GNSS 控制网长度投影变形中的应用

柯昌元 KE Chang-yuan

（贵州新中水工程有限公司，贵阳 550081）

0 引言

目前，我国使用的国家坐标系统大多采用高斯投影。高斯投影由于是正形投影，所以保证了投影角度的不变性、图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。

地面基线归算到高斯平面要经过两次投影变换，首先将地面观测的基线实际长度归算到参考椭球面；然后再将椭球面上的实际长度归算到高斯投影面。经过两次投影变换，会产生一定的投影变形，变形的大小随投影点的地理位置和投影点与大地水准面的距离不同而不同[1]。为了控制投影变形的影响，有效消除或减弱投影变形，必须对观测结果进行改正计算，以满足测绘相关规范及工程建设的实际需要。根据《工程测量标准》（GB 50026-2020）中3.1.5要求，平面控制网的坐标系统，应在满足测区内投影长度变形不大于25mm/km 的前提下进行下列选择：①可采用2000 国家大地坐标系，统一的高斯投影3°带平面直角坐标系统；②可采用高斯投影3°带，投影面为测区抵偿高程面或测区平均高程面的平面直角坐标系；或采用任意投影带，投影面为国家高程基准面或测区平均高程面的平面直角坐标系；③对于小测区或有专项工程需求的测量控制网，也可采用独立坐标系；④针对已有平面控制网的区域，可沿用原有的坐标系；⑤在厂区内可采用建筑坐标系；⑥大型的有特殊精度要求的工程测量项目或新建城市平面控制网，坐标系统可进行专项设计[2]。

1 影响长度投影变形的因素

1.1 高程对长度归算的影响[3]假设基线两个端点已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。此时由于水准面离开椭球体面一定距离，会引起长度归算的改正。

假设AB 为平均高程水准面上的基线长度，以S0表示，Hm为基线端点平均大地高程；R 为基线方向法截线曲率半径。则S0与S 满足下列等式（公式1）：

由此得S0在椭球面上的长度为：

将上式展开级数，取至二次项，则有：

由公式3 可知，由高程引起的基线归化改正数公式为：

可见，此项改正数主要是与基线的平均高程Hm及长度有关。

1.2 中央子午线对长度归算的影响 在我国高斯投影6°带中央子午线的经度，由69°起每隔6°划分为一带，直至135°，共计12 带。高斯3°带是在6°带的基础上划分的，它的中央子午线一部分与6°带中央子午线重合，而另一部分与6°带的分界线重合。根据高斯投影的原理，在高斯投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，而其他位置的投影都存在变形，且离中央子午线越远投影变形越大。这就是椭球面距离投影到高斯平面存在长度变形的缘故。

2 长度投影变形归算

在工程设计和实施过程中，通常都离不开测量工作。控制测量为工程设计所需地形图提供平面和高程基准，同时也为工程施工放样保驾护航。在工程的具体实施过程中，首先必须保证测量基准的准确性和可靠性。而对于平面控制测量，首先必须确定其采用的投影面和投影带，以解决实量边长归算到参考椭球面以及参考椭球面上的边长归算到高斯投影面引起的长度投影变形问题，以满足工程建设的精度要求。两次长度投影归算如下：

①实量边长归算到参考椭球面上，假设其变形影响值为△S1，则根据公式（4）取其近似值有下式：

在上述公式（5）中，Hm为归算边高出参考椭球面的平均高程，S0为归算边的长度，R 为曲率半径。因此，根据公式（5）变形可得归算边的相对变形为：

依公式（5）、公式（6）分别计算得出每千米长度投影变形值和不同高程面上的相对变形，如表1 所示。此处R 的值均取其概值6370km。

表1 不同的Hm 每千米长度投影变形值和相对变形值

根据表1 可知，△S1的值显示均为负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，其长度均缩短了；△S1的绝对值与Hm成正比例关系，随Hm的值增大而逐渐增大。在不考虑中央子午线影响的情况下，当Hm不超过159 米时，其投影变形值△S1≤25mm/km，可满足大比例尺测图和工程放样的精度要求，不需要考虑投影变形的影响。

②参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上，假设其变形影响值为△S2，则根据距离改化公式有：

上式中S0=S+△S1，S0为投影归算边长，ym为归算边两个端点的横坐标的平均值，Rm为参考椭球面平均曲率半径。则可得投影边长的相对投影变形为：

依公式（7）、公式（8）分别计算的每千米长度投影变形值以及相对投影变形值见表2 所示。

表2 不同的ym 每千米长度投影变形值和相对变形值

根据表2 可知，△S2的值显示均为正值，表明将参考椭球面上的归算长度再投影到高斯面上，其长度均增大了；△S2的值与ym的平方成正比例关系，并且离中央子午线距离越远，其变形值将越大。在不考虑测区平均高程影响的情况下，当ym不超过45 千米时，其投影变形值△S2≤25mm/km，可满足大比例尺测图和工程放样的精度要求，不需要考虑投影变形的影响。

③测区投影变形综合计算。

为使两项长度改正得到完全或部分补偿，即每千米长度投影总变形值|△S|≤25mm/km，方可满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。由于S0与S 极为接近，故取同值S，令R=Rm=6370km，故△S 须满足下式要求。

3 长度投影变形值与坐标系选择

在工程建设过程中，根据不同的情况选择不同的测量坐标系。

3.1 国家3°带高斯正形投影平面直角坐标系 从上述表1、表2 可知，在进行平面控制测量的，当整个测区的平均高程小于等于159m，并且ym的值小于等于45km 时，地面基线的投影变形值△S1及△S2均小于等于25mm/km，可满足测绘工作中大比例尺施测地形图和工程施工放样的测量精度要求。因此，在测区邻近中央子午线和地面平均高程不太大的平丘区，可以不考虑地面基线归算到参考椭球面的长度变形影响和参考椭球面上基线归算到高斯面上的长度投影变形影响，而直接采用国家统一的3°带高斯直角坐标系作为工程测量的坐标系，且不用对测量数据进行处理。该坐标系常用于测区位于中央子午线附近，且测区较平坦的工程测图或施工放样。

3.2 抵偿投影面的3°带高斯正形投影平面直角坐标系 当测区投影长度变形值＞25mm/km 时，可采用抵偿投影面的3°带高斯平面直角坐标系。该坐标系的投影仍是采用国家3°带高斯投影，并且坐标系的中央子午线仍然与原坐标系保持一致，但投影采用的高程面不再是参考椭球面，而是根据消除或减小高斯投影长度变形而选择的某一个平均高程参考面，该高程参考面对偏离中央子午线引起的投影变形进行抵消。在这个高程参考面上，长度变形为零。该坐标系常用于测区位于中央子午线附近，且地形落差较大的工程测图或施工放样。

3.3 任意带高斯正形投影平面直角坐标系 当测区投影长度变形值＞25mm/km 时，也可采用任意带高斯正形投影平面直角坐标系。任意带高斯平面直角坐标系仍然将地面基线归算到参考椭球面上，但坐标系投影带所采用的中央子午线不再是按照国家标准3°带的划分方法来划分，而是根据消除或减小高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线，一般以测区边缘或测区中央子午线经度作为新坐标系的中央子午线，目的是通过移动中央子午线对边长归算到参考椭球上的变形值进行消减。该坐标系常用于测区远离中央子午线附近，且较平坦的小面积工程测图或施工放样。

3.4 抵偿投影面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系 当测区远离国家3°带高斯投影所采用的标准带中央子午线，且整体海拔相对较高、高差较大，且投影长度变形值较大，通过单独采用抵偿投影面或移动中央子午线的方式建立坐标系已无法将投影变形值消除或减小时，这时可采用抵偿投影面的任意带高斯平面直角坐标系。该坐标系通常是将投影的中央子午线选在测区的中央，地面观测值归算到整个测区的平均高程面上。以上几种坐标系对比可知，采用这种坐标系更能有效地实现两次基线归算长度投影变形改正的补偿。该坐标系常用在公路、铁路等线性工程中，工程特点是全线平坦，高程变化不明显，具体处理时分为两种方案。一是直接投影法。首先将中央子午线移动至测区中央，不考虑偏离中央子午线引起的长度变形值，而是计算投影到参考椭球面上引起的长度变形值。然后计算缩放系数，对坐标放大处理即可。二是椭球膨胀法。选取地面上的一点，在法线方向上抬高椭球面，保持椭球膨胀后的中心、方向和扁率不变。基于椭球的各向异性，膨胀后原法线和新椭球面可能不垂直，就能得到新椭球的长半轴变化[4]。

4 应用案例

4.1 工程背景及概况 该工程地处黔北某县，地理位置分别位于东经106.9028°~106.9518°，北纬28.4248°~28.4583°。为国家能源局《抽水蓄能中长期发展规划（2021-2035）》长期规划储备项目，已纳入《贵州省抽水蓄能电站中长期规划》，为贵州“十六五”重点核准开工建设项目。测区位于黔北山地与四川盆地的衔接地带，构造体系复杂，构造运动强烈，冰川作用显著，溶蚀、侵蚀并存，属黔北中山峡谷区；地势呈东北高、西南低形状，最小高程约为600 米，最大高程约为1600 米；离中央子午线108°最远约为107.4 千米，最近约为102.6 千米。工程测绘的主要任务为测区范围1:2000 比例尺地形图测量，测区面积15.90平方千米。拟建电站设计上水库坝顶高程为1445 米，下水库坝顶高程为712 米。

4.2 测区坐标系确定

4.2.1 测区长度投影变形估算及坐标系选择 由4.1节可知，测区Rm值约为6366km，测区平均高程面Hm约为1100 米，测区离中央子午线最远的横坐标为107.4km，测区中心距中央子午线的垂直距离为105km。通常在进行高斯投影前，先估算高程归化改正和高斯投影变形，保证综合长度投影变形值不大于25mm/km，根据公式（5）、公式（7）以及公式（9）计算可得，△S1的值为-172.8mm/km，△S2的值为142.3mm/km，综合长度投影变形值△S=-31.5 mm/km。由此可见，测区综合长度投影变形每千米缩短31.5mm，采用标准3°带高斯正形投影不能满足测区内投影长度变形不大于25mm/km 的要求。综上所述，该工程测区应选用抵偿投影面的任意带高斯正形投影独立坐标系，即通过选取抵偿高程面和平移中央子午线的方法以减小长度投影变形的影响，从而满足投影变形不超限的要求。在本项目中将中央子午线移至测区中部，取L0=106°56′。由于电站主要水工建筑物均布置在上、下水库之间，且上水库坝顶高程远低于测区最高点高程，故将测区抵偿投影面略下移，取拟建电站设计上、下水库坝顶高程平均值（即H0=1080 米）。

4.2.2 新坐标系下长度投影变形综合计算 由于该工程测区面积较小，且中央子午线已平移至测区中部，△S2等于零，故不考虑高斯投影变形影响。则新坐标系下综合长度投影变形为：

得每千米综合长度投影变形为：

由上式可知每千米综合长度投影变形缩短3.1mm，小于25mm/km，满足规范要求，故该工程选用的抵偿投影面的任意带高斯正形投影独立坐标系可行。

4.3 平面控制网解算及成果对比 该工程联测4 个国家C 级控制点（平面坐标系为CGCS2000，高程基准为1985 国家高程基准），新作8 个四等GNSS 控制点。为方便设计和施工测量，使独立坐标系更接近国家坐标系，该工程独立坐标系需挂靠在国家2000 大地坐标系下。控制平差解算时，首先将4 个已知控制点采用椭球膨胀法转换为抵偿投影面的任意带高斯正形投影独立坐标系下的坐标（中央子午线经度L0=106°56′，Hm=1080 米），再将新的控制点以对角线交点为基点，靠近测区的短边对角线为基线平移、旋转至国家2000 大地坐标系，从而得到挂靠于国家2000 大地坐标系下的抵偿投影面的任意带独立坐标系坐标。最后，将其带入平差软件进行平差计算，最终得到整个工程控制网点在抵偿面的任意带独立坐标系中的坐标值。控制网投影变形前后控制点坐标及边长对比如表3 所示。

表3 控制网投影变形前后坐标及边长对比表

5 结束语

在工程建设过程中，为保证工程施工放样工作顺利进行，必须使控制点坐标反算的边长与实地测量的边长相等。因此，地面实测边长归算到参考椭球面上的变形值及参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形值代数和必须小于施工放样的精度要求，通常规定投影长度变形值小于25mm/km，即边长相对误差小于1/40000。文中通过工程实例验证了在测区远离中央子午线，高海拔、高落差的地区采用抵偿高程面的任意带独立坐标系，通过抬高投影面和平移中央子午线可有效消减综合长度投影变形值，从而满足工程测量的精度要求，保证地图的顺利接边和使用，对高海拔地区控制测量坐标系的选择有一定的借鉴作用。