高考全国卷中导数问题的考向分析

■江苏省吴江汾湖高级中学 徐 杭

导数及其应用是历年高考必考的内容,属于中高档题。本文罗列出常见的考向,供大家复习时参考。

考向一、导数的概念及几何意义

导数的几何意义是高考的热点,主要考查形式有:(1)已知切点,求斜率k;(2)已知斜率k,求切点;(3)求过某点的切线方程;(4)求公切线。

评注:处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点之间的关系(切点处的导数是切线的斜率;切点在切线上;切点在曲线上)列出关于参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数。

考向二、利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性是高考重点考查内容,常见的考查形式为:(1)求不含参数的函数的单调区间;(2)求含有参数的函数的单调区间;(3)已知函数的单调情况求参数的取值范围。

例2已知定义在R上的函数f(x)=xeax,a∈R。讨论f(x)的单调性。

解析:易知f′(x)=(ax+1)eax。

当a=0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增。

评注:对于研究含参函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。注意在划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0 的点和函数的间断点。个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数。

考向三、利用导数研究函数的极值或最值

利用导数研究函数的极值或最值也是高考重点考查内容,常见考查形式有:①求函数的极值或最值;②已知函数的极值或最值求参数;③已知函数在给定区间内恒成立,求参数的取值范围;④利用最值证明不等式。

评注:求函数f(x)在闭区间[a,b] 上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b),与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值。若所给的闭区间[a,b] 内含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值。

考向四、利用导数解决恒成立(或存在性)问题

解决此类问题的常见方法为:分离法求参数的取值范围或等价转化为求函数的最值后再求参数的取值范围。

例4已知函数g(x)+h(x)=3x,其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数。

(1)求g(x)与h(x)的解析式;

(2)当x∈ (0,1 ]时,2ln[h(x)]-ln[g(x)]-t=0 有解,求实数t的取值范围。

解析:(1)因为g(x)+h(x)=3x,所以

评注:(1)对于“恒成立”或“存在性”问题,一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价转化。(2)构造函数是求范围问题的一种常用方法,解题过程中尽量采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题。若行不通,再考虑带参数分类讨论。(3)不等式在某个区间上恒成立(存在性)问题的转化途径:①f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x,使 得f(x)≥a成 立⇔f(x)max≥a。②f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x,使得f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b。③f(x)>g(x)恒成立,F(x)=f(x)-g(x),则F(x)min>0。

考向五、利用导数证明不等式问题

利用导数证明不等式问题的常用方法为:移项构造函数证明不等式;放缩后构造函数证明不等式;分拆函数法证明不等式等。

例5已知函数f(x)=2excosx,设函数g(x)为f(x)的导函数。

考向六、利用导数研究函数的零点

此考向主要是利用导数研究函数的单调性与最值,通过分析函数图像的特点,判断、证明、讨论函数零点的个数,或者根据零点情况求参数的取值范围。

例6已知f(x)=ex-x-1,g(x)=ax2(a∈R)。设F(x)=f(x)-g(x)+2,若当a∈(t,+∞)时,F(x)有三个不同的零点,求t的最小值。

解析:因为F(x)=ex-ax2-x+1,所以F′(x)=ex-2ax-1,F″(x)=ex-2a。

若a≤0,则F″(x)>0,F′(x)单调递增。又F′(0)=0,当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,故F(x)在区间(-∞,0)上单调递减;当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,故F(x)在区间(0,+∞)上单调递增。所以F(x)≥F(0)=0,此时F(x)与x轴只有1个交点,即只有1个零点,不合题意。

若a>0,令F″(x)=ex-2a=0,得x=ln(2a),所以F′(x)在区间(-∞,ln(2a))上单调递减,在区间(ln(2a),+∞)上单调递增。

评注:函数的零点个数可转化为两个函数图像的交点个数,根据图像的几何直观求解。对于与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点判断函数的大致图像,进而求出参数的取值范围。也可分离出参数,转化为两函数图像的交点情况。

对于导数的备考,我们只要注重夯实基础,勤于总结,提升解决问题的关键能力,分析难点,很多问题便可迎刃而解。