“新定义问题”教学的思考与实践

刘攀坤 _ 北京师范大学附属中学

问题研究

新高考的一个重大变化是从能力立意向素养导向的转变。素养导向不仅强调知识和智力，更强调知识的迁移和后天的习得。“新定义问题”就是一类典型的检验学生数学素养达成水平的数学问题。“新定义问题”的显著特征是“新”“活”和“抽象”。“新”主要体现在情境和立意新颖；“活”主要体现在数学思维灵活，没有固定的思维模式；“抽象”主要体现在用抽象的数学符号给出新定义，问题也更加抽象。“新定义问题”不仅对学生的学提出要求，也对教师的教提出了更高要求。借名师工作室交流的机会，在闻岩老师指导下，笔者搜集大量相关资料，并和名师工作室其他成员一起沟通交流，进行了一些关于“新定义问题”在组织教学以及组织学生学习方面的思考和实践。

1.帮助学生克服对抽象数学符号的恐惧感，提升数学阅读能力

因为“新定义问题”本身以及参考解答基本全是抽象的数学符号语言，很多学生表示看不懂。为了解决这个问题，教师可以选取若干典型的、难度适中的“新定义问题”，每个问题制作成一张卡片，卡片正面只呈现新定义和简单的问题，卡片背面提供第2问的比较典型的求解方法。第1问可以多给出一些具体的例子，希望学生通过具体例子的分析加深对“新定义问题”的理解。第2问可以适当分解问题，设计两个或多个递进的小问题，减少学生的思维障碍。教学中，先给学生一段时间思考这两个问题，然后，师生、生生交流，可以让部分学生展示自己的想法，教师点评，并引导学生换个角度看问题。最后，让学生阅读卡片背面的解答过程，适当做一些批注，思考参考解答和自己的方法的异同，思考自己心中的疑惑是否已经解答，最后进行归纳总结。通过给学生提供恰当的学习资源，以“独立思考+阅读训练”的教学形式，帮助学生克服对数学符号的恐惧，提升数学阅读能力。

2.让学生在问题探究中积累一些基本方法和研究思路

“新定义问题”的解决常涉及一些学生并不熟悉的方法，如枚举法、反证法、奇偶性分析、数学归纳法，等等。很多学生经常说：“这种方法怎么想到的？太巧妙了吧，我怎么想不到！”这主要是因为积累不够，对“新定义问题”的思维方式不了解。教师要注意问题的典型性和层次性，在进行教学设计时应思考如何以一种深入浅出的方式把问题的探究过程完整呈现出来，同时，教师还要适时设问，调动学生课堂参与的积极性，在研究问题的过程中尊重学生合理的和不合理的思路。通过精心设问，适当留白，给学生足够的思维训练，让学生在不断的尝试和探索中积累一些基本方法和研究思路，在归纳、总结、反思中将这些基本方法和研究思路内化于心。

3.引导学生用联系的眼光看问题，培养数学直觉和“猜测+检验”的能力

“新定义问题”往往采用不断进阶的设问方式来考查学生的数学核心素养。教师在教学中要引导学生用联系的眼光看问题。教师在教学时要引导学生重视第1问，挖掘第1问所蕴含的更深刻的内容，如能否结合具体例子，重新换一种比较简单的或比较形象的描述方式理解新定义，这往往对后面的问题解决很有帮助。第2问是第1问的延伸，很多学生对第2问无从下手，这时，可以让学生从以下几个角度进行思考：枚举一下前几项；举个具体例子；用具体例子理解第2问，并思考能否从中得到启发；能不能用第1问得出的新定义的简化形式理解第2问；能不能尝试得出一些猜想，再用逻辑推理论证猜想。这些思考的目的是锻炼学生的数学直觉和猜想能力。教师应引导学生回归“新定义问题”本身，挖掘本质，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，小心论证，从多个角度对问题进行分析，不断进行归纳总结和反思。第3问难度比较大，教师可以适当分解问题以降低难度，还可以引导学生思考能否借助前面的结论分析第3问，能否借助特殊情况先猜后证，等等。数学是用直觉和猜测来发现的，逻辑的功能是保证发现的正确性。逻辑推理很重要，但对于“新定义问题”，数学直觉和“猜测+检验”往往是打开解题局面的入口。在教学实践中，要注意培养学生数学直觉和“猜测+检验”的能力。

4.丰富和完善“新定义问题”学习资源，增加师生交流的机会

对于“新定义问题”，教师应该从高一年级开始就让学生接触。例如，高一可以选择以集合和函数为背景的“新定义问题”，高二可以选择以集合、数表和数列为背景的“新定义问题”。另外，学生只利用课上的时间学习和钻研是远远不够的，还需要在课下加强师生交流。对于一些对“新定义问题”比较感兴趣的学生，教师还可以每周布置一道“新定义问题”，每周定期采用讨论班的形式进行交流，由学生主讲，其余学生补充，教师点评。课后，请主讲学生把讨论的内容整理出来，建立学习资源库。教师可以编写一些关于“新定义问题”的学习材料，其中不仅包括常见方法的归纳总结，还有典型问题的详细分析（尤其重点分析第1问和第2问的详细思考过程），让学生进行钻研和交流，要求学生对每一道题都要做出适当的批注，如总结问题突破口是什么、采用的方法有哪些、新定义的内涵是什么、困惑是什么，等等。最后，把讨论班整理的内容和教师编写的学习资料整合起来，建立一个适合学生反复研读的学习资源库，形成单元学习资源，这对学生的学和教师的教都很有帮助。

闻岩老师点评

数学教学中的“单元教学”，其实质强调的是整体设计与实施教学，即提倡整体教学观，在整体视角下确定教学目标，设计教学情境，把握课程内容，选择教学方法，以促进学生数学核心素养的发展。“单元学习”与“单元教学”同样重要，通过开发典型的单元学习资源，让学生自主阅读、理解、交流学习数学的体会，是一种需要探索的单元学习方式。

刘老师的教学思考和实践，给我们提供了教师书写学习资源并利用资源指导学生学习的案例。上面的学习资源不是习题集，而是典型问题的梳理，研究过程不仅仅是解题，也是对数学思维方法的探索。事实上，适合学生自己阅读学习，也需要学生反复理解、再认识的学习内容都可以形成单元学习资源。学习资源既可以供学生在单元学习时使用，也可以供教师在单元教学中使用，甚至学生也可以参与到资源整理的过程之中。上述探索，一方面可以推进课程标准中提出的“理解”“整体把握”“核心素养培养”的策略研究；另一方面，也可以从一定程度上改变“学生手中的学习材料只有习题集”的现象，在改变学生学习数学的方式方面做出进一步尝试。