基于数据意识进阶的“平均数”单元整体教学

宋煜阳　陈金波

【编者按】《义务教育数学课程标准（2022年版）》中将原来的“数据分析观念”细分成了“数据意识”与“数据观念”，明确要求：在小学阶段，学生要形成对数据的意义和随机性的感悟，初中阶段则要形成对数据相关属性的清晰认识。从中体现出学生核心素养的整体性、一致性与阶段性。教师需要在教学中重视对学生数据意识的培养，帮助学生理解现实生活中的随机现象，掌握数据的表达方式等。那么，培养学生数据意识的教学如何实施？本期专辑一起探讨。

【摘 要】“平均数”单元整体教学设计，要基于数据意识素养表现，强化教学中学生对平均数的代表性、统计意义的过程体验和实践探索。通过“平均数的代表性与计算—平均数特点与实际应用—平均数统计意义与综合实践”的单元整体教学，实现学生对平均数的理解从算法水平向概念水平、统计水平进阶，实现数据意识素养表现的认知进阶。

【关键词】单元整体教学 数据意识 平均数

一、平均数的数据意识素养的主要表现

平均数的数据意识素养表现，需要基于数据意识的内涵在平均数统计作用、理解水平两个层面来分析。

平均数具有描述统计和推断统计的作用。从描述统计作用角度来说，平均数被用来描述一组数据的平均水平或整体水平，以“代表性”反映了“对数据的意义感悟”“知道同一组数据可以用不同方式表达”的数据意识内涵。从推断统计作用角度来说，平均数具有推断、预测功能，能根据平均数对实际问题进行预测分析，知道每個数据波动会引起平均数的变化，导致预测结果不能百分之百正确，以“随机性”反映了“只要有足够的数据就可能从中发现规律”“形成数据意识有助于理解生活中的随机现象”的数据意识内涵。

平均数的理解主要包括算法水平、概念水平和统计水平三个层次。算法水平主要表现为利用“求和均分”“移多补少”等方法计算出一组数据的平均值，是理解平均数的重要基础。概念水平主要表现为知道平均数是代表一组数据整体（平均）水平的量值，它介于最大数与最小数之间，平均数具有容易受极端数据影响等特点。统计水平主要表现为体会平均数作为“代表”的合理性，根据实际需求和数据特点建立联系，感受数据的集中趋势，平均数可以帮助人们对事件作出预测和判断，但有时会出现“翻车”的意外，并非所有情境都适合用平均数作为代表。平均数的理解层次，也反映了“数据的意义感悟”“形成数据意识”等数据意识素养内涵的不同水平。

简要地说，平均数的数据意识素养表现主要指向平均数的代表性、区间性与敏感性、随机性三个维度。

二、平均数的单元学习目标与整体教学实施

（一）课标启示与单元学习目标设定

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在多处指明了平均数教学的意义与重要性。其中，“理解平均数的意义”“探索平均数的意义”，强调了教学中要重视学生对平均数意义形成过程的理解；“用平均数解决实际问题”，强调了数据描述的现实意义；“知道平均数的统计意义”“要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的代表性”，则明确了“代表性”是学生理解平均数意义的重点，重视对平均数统计水平的理解。

因此，“平均数”主题单元的学习目标可以设定为：（1）在具体情境中理解平均数的意义，理解并体会平均数具有代表性；知道并体会平均数区间性、敏感性等特点。（2）会计算平均数，能用平均数的知识解决相关实际问题。探索平均数的统计意义，能运用平均数对实际问题做一些简单的统计推断分析。（3）感受样本数据集中趋势能表达总体数据的集中趋势。体会平均数在生活生产中的广泛应用，了解平均数在数据描述中的适用性，培养和发展学生的数据意识。

（二）单元学习内容划分与课时学习目标定位

笔者通过前测发现，学生在选取一组数据的代表时，偏向于最高值与中间数，对于不在数据中的平均数选用比例较低。再由常态课的后测发现，学生对平均数含义的算法理解、概念理解明显优于统计意义理解。为此，“平均数”单元学习目标的达成，需要加强学生对平均数的代表性、统计意义的过程体验和实践探索。笔者打破了常态化“一节新授课+一节练习课”的单元内容组合思路，把学习内容划分为“平均数的代表性与计算”“平均数特点与实际应用”“平均数的统计意义理解与综合实践”三个课时，每个课时学习目标定位如下表所示。通过单元整体教学，促使学生对平均数含义的理解从算法水平、概念水平向统计水平进阶，数据意识素养表现在侧重平均数的区间性、敏感性的基础上向代表性、随机性全面进阶。

（三）课时学习表现性任务设计与教学实施

第一课时：平均数的代表性与计算。

【学习路径】先通过“寻找一组身高数据的代表数”活动，激活学生的数据代表经验，了解平均数的算法、含义和特点，初步认识平均数的代表性；再通过 “寻找两组踢毽子比赛数据的代表数”活动，体会平均数作为代表的必要性；最后通过“60米跑步训练中的平均数”“旅游景区中的平均数”等任务内化巩固，进一步理解平均数的代表性。

【活动实施】

1.寻找一组身高数据的代表数。

（1）引入。聊聊自己的身高在小组、全班处于怎样的水平。

（2）寻找代表数。给出第一大组7位男生的身高数据“138、141、142、141、143、141、148”，讨论：如果用一个数去代表这组男生的整体身高水平，你觉得哪个数合适？

（3）反馈交流。学生得出的代表数有：最大数148，众数141，中间数141和142，平均数142。邀请学生介绍得到代表数的思考过程，其中平均数的“求和均分”算法、“移多补少”算法结合直观图进行解读。说说平均数“142”表示的含义。

（4）挑选代表数。围绕最大数、众数、中间数、平均数，讨论：哪个数代表这组同学身高整体水平更合适？ 得出，最大数只代表最高水平，不能代表整体水平；众数、中间数、平均数都可以代表整体水平，平均数更匀称更合适。

（5）感知平均数特点。讨论：平均数与其他代表数（众数、中间数）相比，有什么不同？平均数“142”和这组数据中的“142”含义一样吗？

2.寻找两组踢毽子比赛数据的代表数。

（1）寻找代表数。踢毽子比赛中男生队5个同学的数据“19、15、16、20、15”，女生队4个同学的数据“19、23、16、14”，哪支队伍的成绩更好？写出你的思考过程。

（2）反馈交流评价。对“比总数”“比最多的”“比较平均数”进行分析，得出“用平均数反映一组数据的整体水平比较合适”的结论。

（3）讨论平均数算法的含义。追问：计算平均数时，为什么男生队除以5，女生队却除以4？

3.归纳小结平均数的代表性。

问：你对平均数有哪些认识？特别指出：平均数是反映一组数据整体水平的常用代表。

4.60米跑步训练中的平均数。

出示聪聪连续5天参加60米跑步训练的成绩，分别为14秒、15秒、12秒、10秒、14秒，他的平均成绩是多少？估一估，算一算，说一说。交流讨论：平均成绩在哪个范围？没有一天跑出13秒，为什么可以用来代表平均成绩？

5. 旅游景区中的平均数。

给出溪口旅游景区国庆长假期间平均每天接待游客数量（人次）：2018年16.38万人次，2019年20.56万人次。判断说理：（1）2018年10月1日的游客人数一定比2019年10月1日少吗？（2）2019年国庆节游客人数一定比2018年国庆节多吗？

第二课时：平均数特点与实际应用。

【学习路径】通过生活实际问题进一步认识平均数的特点和适用性。“评分问题”让学生认识极端数据对平均数的影响，体会其敏感性；“座位与身高问题”需借助平均数和个体数据进行辨析，让学生进一步体会平均数的敏感性；“推选队员问题”帮助学生认识到根据实际问题合理使用平均数来进行决策分析。

【活动实施】

1.评分问题。

（1）问题引入。学校组织合唱比赛，四（1）班和四（2）班的评分情况如下表所示，哪个班的成绩好？

（2）交流辨析。计算得出四（1）班平均成绩86分、四（2）班平均成绩84.9分的基础上，引发对极端数据“96”“75”的讨论，指出：“平均数”很敏感，容易受极端数据的影响而产生较大的变化。通常在比赛评分时会去掉一个最高分与一个最低分，然后取平均数。

2.座位与身高问题。

（1）出示座位图（图略），提问：你认为第一组的平均身高和第一排的平均身高相比，哪个高？说明理由。判断说理后，给出表3、表4，组织学生计算进行验证。

（2）小明是这个班的学生，身高134 cm。根据以上3个表格中的信息，你认为小明在班级里是偏高还是偏矮？说明理由。

（3）新学期转进一个新同学，全班平均身高会发生什么变化？

3.推选队员问题。

根据两个队员七天训练得分情况，你会选择哪一个队员参加比赛？

第三课时：平均数的统计意义理解与综合实践。

【学习路径】围绕“数据得到的过程”“决策原因”两个核心问题，让学生在三个真实情境中经历大数据抽样调查和分析决策过程，体会平均数的统计意义；在此基础上给出课外实践调查问题，让学生在具身体验中加深对平均数统计意义的理解。

【活动实施】

1. 宁波地铁儿童免费新规问题。

在新的《宁波市轨道交通乘客守则》里，身高不满1.3米的儿童乘车时可以免票。讨论：“1.3米”免票线是怎样制订的？免票身高会从1.2米增长到1.3米的原因是什么？

2.人均寿命问题。

据一项数据统计显示，2021年宁波市人均预期寿命是82.40岁。李奶奶今年80岁了，看到这个消息，心里可焦虑了，你想对李奶奶说些什么？2021年宁波市人均预期寿命82.40岁，这个数据是怎么得到的？宁波市人均预期寿命不断在提高，寿命增长的原因是什么？

3.人均课外阅读量问题。

“全国国民阅读调查”显示：我国小学生的人均课外阅读量2011年为7.3本，2013年为8.3本，2020年为10.71本。人均课外阅读量是怎样得到的？预测一下2023年人均课外阅读量，说说你的想法。

4.课外调查实践问题。

（1）调查记录自己一周内每天上学途中所需要的时间，用图表、平均数表达上学的平均时间。

（2）调查能够体现我国社会发展或科技进步的实例，运用平均数加以分析与评价。

三、平均数的单元学习表现性任务测评与分析

笔者选择的测评对象为乡镇学校四年级的2个班，实验班以前文分析的三课时进行教学，对照班根据人教版教材进行教学。平均数的表现性任务测评围绕平均数的代表性、区间性与敏感性、随机性展开。

针对平均数的代表性、区间性与敏感性，笔者设计了一组以“某学校四年级各班参加‘爱阅读书香班级评选”为情境的表现性任务：两张统计表，表1给出各班最低、最高年阅读量和班级人数；表2给出各班年阅读量分段的统计。问题1求某班年平均阅读量；问题2给出某班原来年平均阅读量和新转来一个同学的年阅读量，判断现在班级的年平均阅读量；问题3给出某班一个同学的阅读量，分析他在班级、年级里阅读量的水平高低。数据显示，实验班对平均数的区间性（问题1）、敏感性（问题2）和代表性（问题3）的理解程度都优于对照班，其中平均数的代表性更为明显。

平均数随机性，笔者设计了以“李明20次投篮成绩统计”为情境的表现性任务：提供李明投篮成绩条形统计图（数据集中在12个、14个），问题为“李明第21次投篮可能会投进几个，最有可能是几个（选项为5、13、15、20）”。认为第21次投进个数四个选项都有可能，实验班占比明显高于对照班。对于“最有可能”选项，实验班从平均数角度思考的占比更高；从投篮技术越来越稳定角度思考的，实验班与对照班的数据相近。

基于上述数据分析显示，教学实施后学生的数据意识素养实现了进阶发展，表明“平均数的代表性与计算—平均数特点与实际应用—平均数的统计意义理解与综合实践”的单元整体教学是合理可行的。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）［S］. 北京：北京師范大学出版社，2022.

［2］章勤琼，达尼·本兹威.统计素养：小学阶段“统计教学”关注的重点——以色列海法大学教授达尼·本兹威访谈录［J］.小学教学（数学版），2016（12）：4-7.

［3］章勤琼.计算平均成绩是否合适——小学阶段统计量教学的一些思考［J］.教学月刊小学版（数学），2020（01，02）：95-98.

［4］刘加霞.“平均数”的本质及小学生理解水平解析［J］.湖北教育（教育教学），2021（02）：36-38.

［5］宋煜阳，刘加霞，沙国祥.求实达理，不断推进“学习进阶”研究——宋煜阳老师访谈录［J］.教育视界，2022（29）：31-38，30.