我们需要怎样的结构化教学*——谈小学数学学与教的结构化

章勤琼

2022 年4 月，《义务教育课程方案（2022 年版）》和《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）正式颁布，本次课程标准修订以核心素养为纲领，贯穿课程标准修订的全过程，统领课程标准修订的各部分，从而使课程标准的各个组成部分保持内在的一致性和统一性。基于此，结构化教学成为当前小学数学教学的热点。

结构化教学在教育学和心理学上有着广泛的理论基础，正如布鲁纳所言：“给任何特定年龄的儿童教某门学科，其任务就是按照这个年龄儿童观察事物的方式去阐述那门学科的结构。”韦特海默的格式塔心理学也提到了整体不等于各部分之和，强调让学生利用基本的记忆、想象、联想、感知、体验等途径对学科知识进行由浅入深的学习。皮亚杰的认知结构理论认为学习的本质就是同化与顺应，奥苏贝尔的有意义学习理论也提到学习需要关注学习对象的上位概念与下位概念。作为西方最具代表性的教学理论之一，结构主义具有以下特征：强调整体和关系（这是结构主义的最基本特征）；将认识结构化（模式化）；在研究方法上强调分解与化合；注重探究事物结构的层次。

然而，“结构化”是一个语意颇丰的词语，有不同层次的解读。例如，美国课程理论专家施瓦布就指出了学科知识的三种结构，除了不同学科间的组织结构外，还有学科内的实质结构和句法结构。其中，实质结构是指学科领域的观点、事实与概念及这三者间的相互关系，以及学科的概念结构和概念组织的原理；句法结构是指探究学科的方法，如何取舍优劣、创造及评量新知识，句法结构关注事实的分辨、鉴定、证明及应用的规则，如学科领域的重要观念与技能是什么。可以认为，实质结构更多关注学科内容本身的结构化，而句法结构更多关注学生学习过程的结构化。因此，结构化教学的探讨需要同时关注知识内容和学习过程两个方面的结构化。

此外，还需要从学与教两个角度来思考如何真正实现学生的结构化学习。例如，从学的角度而言，结构化既体现在内容的结构性上，也体现在数学思想方法的结构性上；既体现在知识系统的结构性上，也体现在学生认知过程的结构性上；既体现在教师课堂结构、板书形式的结构化上，也体现在学生思维结构化的孕育和发展上。从教的角度而言，结构化要求教师能够从宏观整体的角度进行教学设计，以学生已有的经验与知识为基础，为学生架构所学内容之间的桥梁，最终形成有章可循的体系，使学生能整体理解数学概念，掌握数学方法，形成数学素养。

一、学的结构化：基于学生认知基础的结构生长

若要真正实现有效的结构化教学，需要基于学生的认知基础顺学而教，真正的结构化不是由教师教给学生的，而是让学生真正形成自身的认知结构并实现生长。例如，新课标中有一个重要的提法：感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识，也就是“运算一致性”。加减法运算的一致性体现为：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。乘除法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘除。其中关于加减法的描述很好理解，无论是整数、小数还是分数的加减法，教师教学时都是从计数单位个数运算的角度来引导学生理解算理并掌握算法的。乘除法运算一致性的描述则引发了一定的争议，让不少教师无所适从。以小数乘法0.3×0.8=0.24 为例，算理为（3×0.1）×（8×0.1）=（3×8）×（0.1×0.1）=0.24，即计数单位0.1和0.1相乘得到新的计数单位0.01，计数单位的个数和个数相乘得到新的个数24，合起来就是24 个0.01。整数乘法（如300×20）和分数乘法（如）算理均可如此表达。然而，依据现行教材，0.1×0.1=0.01 该如何解释？之前小数的意义的学习，0.01 的产生并没有强调这样的过程，而的学习还在后面。另外，学生在学习30×20 时还未学习乘法结合律，如何更好地理解30×20=（3×10）×（2×10）=（3×2）×（10×10）？到了除法的学习，更是如此。例如，有教师在教学小数除法时，要求学生采用以下计算方式：

0.6÷0.03=（6×0.1）÷（3×0.01）=（6÷3）×（0.1÷0.01）=2×10=20，这样的方式对小学生来说显然不太友好，他们更熟悉的是将其转化为60÷3 来计算。况且，如果按照这样的方法，当学生遇到0.3÷0.06 时，该怎么来解决？如果变成（3÷6）×（0.1÷0.01），还需要再去处理3÷6，这显然是舍近求远，而且最后的结果变成0.5 个10，也不易于理解。从算理的本质的角度而言，这样的方式是正确的，符合施瓦布所言的实质结构。然而，从学生如何更好地理解算理并掌握算法的角度而言，却未必符合学生学习的句法结构。

事实上，从学的结构化而言，运算的一致性并不是一定要学生以某种固定的方式来“一致地”计算，更重要的是要引导每个学生学会一致性地思考问题。因此，学生在学习运算时需要一以贯之地贯彻两个方面：一是运算要基于数的意义理解，即数的本质都是多少个计数单位；二是得到运算结果的方式，都是先确定单位再确定单位个数。而确定单位并不只有唯一的方法，如40×2 是“4 个10”×2；也可以是单位计算得到新单位，如小数相乘与分数相乘；还可以是多次确定不同单位，如计算除法时需要在每一个单位上分别计算和转化。此外，在计算中还可以灵活运用运算性质与策略。因此，理解运算的一致性，仍然需要引导并鼓励每个学生形成自己的理解，不同人的理解角度可以不同，但每个人都需要努力实现自身理解的逻辑一致性。

例如，在“分数除法”单元教学中，首先要更好地理解作为度量意义的分数，以为例，学生需要认识到，其意义不仅是把一个或一些事物平均分成5份后取其中的4份，也可以看成以作为单位度量4次的结果，即4个。在此基础之上，建构符合学生认知结构的学习路径。在教学分数除以整数时，教师要注意引导学生以等分的模型理解，如就 是 将4 个平均分成2份，结果为2个，即。遇到这样不能均分的，则运用分数的基本性质转化为。而到了除数为分数的除法时，则可以以包含的意义来理解，如，可理解为“6 个”中含有多少个“2 个”，也就是6 里面有几个2，因此，。如果是异分母的情况，需要先将计数单位变为相同后才可以用包含的方式来相除，因而需要通分。在学生经历等分和包含两种意义，真正理解算理之后，还需要思考如何使用运算策略。即在计算除数为分数的除法时，还可以思考如何转化为已经学过的分数除以整数，因此可以运用商的变化规律。如，或者可以将除数化为1，，这也就是“除以一个数，等于乘这个数的倒数”。

因此，就“分数除法”这个单元而言，真正的结构化是学生基于分数意义的理解，用符合自己认知的方式建构对算理的理解，并能进一步思考如何运用运算策略，最后得出计算方法。这样的学习方式跟所有运算的学习一致，是学生自主生长出来的认知结构，并不是要由教师“教”给学生某种“结构化”的方法，要求学生必须以这样的方式来计算。

二、教的结构化：关注教学方式和内容的一致性

新课标明确提出，要“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养”。然而，教的结构化并不是教师将成人视角下“应有的”结构“告知”学生就能实现的，必须同时考虑内容的整体关联与学生的学习经验。例如，为了让学生更好地体会运算的意义，教师应注意加强四则运算之间关系的教学，体现减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算。有教师在二年级学生学习完四则运算之后，专门增加一节“加减乘除是一家”这样的课，帮助学生梳理四则运算之间的关系。这样的教学可以认为是教的结构化的一种方式。但事实上，像这样关联起来的四则运算之间的关系，更多是一种教师所教的知识，并不是学生在真正理解之后自主建立起来的结构。

如果说学的结构化更多关注学生学习和理解数学的路径，那么教的结构化则更强调在教学时要整体思考，并形成教学方式上的一致性。因此，需要从教学内容和教学方式两个方面来思考教的结构化。

首先是教学内容的结构化。如理解算理是小学阶段所有运算教学的核心目标，是算法的依据，也是后续形成运算策略的基础。但学生对算理的理解不是一步到位的，总体而言，算理理解的水平也可以有以下几个层次：水平一，理解数的意义，需要理解数的组成与算式的意义；水平二，表征计算过程，能用自己的方法计算并对过程进行表征和描述；水平三，识别比较方法，能识别不同的方法并进行比较；水平四，提炼基本方法，能在比较联系中发现相同本质，提炼通法。上述算理理解的四个层次适用于所有计算的算理课，因此，运算教学的模式也可以进行迁移，可以思考如何从一节课发展到一类课，构建算理理解教学的一般路径。

其次是教学方式的结构化。教师整体把握教学内容，能够帮助学生以一以贯之的方式来学习每一个内容。如运算能力是小学阶段需要落实的核心素养，其中一个内涵为“明晰运算的对象与意义”，从教的结构化出发，教师需要认识到，加减乘除四则运算的意义是与这一核心素养表现有联系的知识内容。因此，虽然这些内容分散在小学数学教材的不同单元中，但是在教学中需要将它们放在一起思考，都需要指向“明晰运算的对象与意义”的落实。目标定位一致，所采取的教学方式也应该一致。在教学中，都需要让学生经历识别情境、提出问题、提取并关联数学信息的过程，在此基础上用多种方式表征情境信息，列出算式并进行阐释，提炼基本运算模型，还需要进一步运用算式解决更多数学问题。这样的教学能让学生经历从现实到数学的过程，真正明晰运算的对象与意义，最后真正落实运算能力这一核心素养。这可以成为运算意义教学的一般路径，也是所有数学教学中都需要让学生经历的数学化过程。

从更大的层面而言，教的结构化还体现在落实核心素养导向的教学中，教师可以思考一般化的教学路径。例如，为了更好地落实与评价核心素养，可以基于课程标准，实现“学教评一致性”，需要首先明晰核心素养的内涵，确定学习目标；其次，基于学习目标，在分析学生的学习起点后设计学习任务；再次，依照学习任务进行教学实施；最后，制订适当的评价框架，对学生的学习进行分析，并反思改进教学。这样才能帮助学生建立能体现数学本质、对其未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系，这也是一条能更好地将新课标中提到的核心素养落实到教学中的实践路径。