建模思想在小学数学课堂中的应用——以《圆柱和圆锥》为例

☉王红军

数学建模思想通过引领学生在实际问题中抽象出数学模型，加深学生对模型的应用能力和对其背后原理知识的深入理解。因此，教师要运用好建模思想，提高学生的建模意识，提高学生用建模思想解决日常生活中问题的能力。在建模思维的影响下，学生可以根据数学的特点和知识内容建立数学知识模型，提高数学学习的质量和效率。在开展数学教学活动的过程中，教师应注意对教学方法进行优化创新，符合小学生当前阶段的学习特点，培养学生建模思想，引领学生进入数学知识的殿堂［1］。

一、数学建模概述

数学建模思想是指学生在解决数学问题的过程中，能够透过表象挖掘题目背后的本质，并抽象出相应的数学模型以解决实际问题的一种思想。数学模型是指提取事物的主要特性和相关数量关系，建立契合的数学表达框架。从一个较小的角度来看，数学模型反映着特定问题，代表了相关事物的数学结构，是系统中各种变量和关系的数学表达式，主要体现为系统的概念、算法、公式、定理等。

数学建模思维的内涵特征主要表现在两个方面：一是对数学模型的构造建立；一是对数学模型的有效应用。一般来说，数学建模意味着在一般数学概念中抽象实际问题，利用当前数学知识理解数学变量和实际变量之间的关系，从而使用相关公式解决实际问题。除了基础知识的学习之外，教师还要注重培养学生的实践能力和应用能力，提升学生的空间思维、应用能力和推理水平。通过建模思想引领学生学会简化数学问题，分析其本质，总结其规律，充分把握数学建模的方式方法，以提高学生对数学知识学习理解的热情和积极性，使教师更好地开展数学教学活动。

二、数学建模的重要意义

（一）激发学生的学习兴趣

为了培养学生的建模能力，教师要有意识地将生活场景引入课堂，将数学知识与日常生活结合，将理论知识与实践结合，帮助学生构建应用的思维体系，让学生更好地对相关知识进行消化吸收，提升学生对枯燥数学知识的理解与吸收能力，培养学生抽象思维能力和归纳总结水平，增强学生对数学学习的热情与信心。通过对相关数学模型的构建，将抽象的知识具象为可供理解的数学模型，提升师生间沟通理解的效率，增强学生对知识的接受度。

（二）提升学生的综合能力

过去，数学教学更侧重于知识的传授，对学生实践技能的培养有所忽视，这导致学生数学思维能力的发展不完全，对信息的提取应用能力较弱。在建模思维的影响下，学生要学会合理运用建模思想，提升思维的全面性，在面对问题时更加全面具体地思考，深入理解其中内涵，充分利用好建模思想，学会利用模型构建思考问题的方式方法，并将其综合应用到日常生活中，提升解决问题的能力。

（三）培养学生的创新意识

数学建模思想大大提高了学生的科学研究和创新能力，学生在解决问题的过程中努力思考解决方案，在既有理论的基础上尝试改革创新，探求全新的解决方法。充分利用发散思维，形成思考和尝试问题的良好习惯，有助于学生未来的发展与研究。

三、数学建模的基本过程

（一）创设生活情境，挖掘建模本质

学生只有积极学习和探索，才能实现能力的发展和突破。教师主要引导学生从题目中提取出有效信息，抓住问题本质，逐步培养学生从生活情境中发现问题，解决问题的能力。同时，教师应注重学习情境的构建，使学生尽可能在开放、充满活力的教育环境中，在快乐、轻松的氛围中学习数学，以激发学生的学习兴趣，拓展他们的视野。为了调动学生学习的积极性，小学数学教师应注重沉浸式课堂的构建，引领学生从日常生活中汲取数学养料，从问题情境中培养学生抽象概括一般数学模型的能力，同时，在熟悉的情境展开推理和抽象，便于学生吸收理解知识，在生活情境和数学模型之间形成有效的联系，逐步提高学生数学建模的能力［2］。

【教学片段1】

学生在引导下提取出以下信息：

1．小麦堆是圆锥体

2．小麦堆底面周长18．84米，高1 米

3．粮囤是圆柱体，且底面直径3 米

4．将小麦倒入粮囤，正好全部倒满

师：现在我们已经整合出了所有的已知条件，请同学们告诉我，你能组合出哪些问题呢？

生1：信息（1）和（2）结合起来，就可以求出小麦堆的全部信息了。

生2：第（4）条信息表达的意思其实是小麦的体积和粮囤的容积相等。将四条信息综合起来，就可以求出圆柱的所有信息了。

师：那么，大家能进一步发现其中的关联吗？

生1：圆锥的体积公式＝1/3底面积×高。我们不知道底面积，但我们有圆的周长。通过周长可以求出圆的半径，进而求出圆的面积和圆锥的体积。

生2：圆锥和圆柱的体积相等，唯一的未知量是圆柱的高。上一个同学求出的圆锥的体积，直接除以圆柱的底面积就可以求得圆柱的高了。

教师引导学生提炼概括信息，把文字语言转化成数学语言，代入公式与符号，建立相关模型；把生活中的情境问题抽象成圆锥圆柱相关的体积、面积问题，让学生在思考解题步骤的过程中发掘问题本质，找出相关规律，提高建模能力。

（二）把握内部规律，培养建模意识

对于呈现内容较为零散和复杂的教科书，小学生较弱的抽象思维能力不足以支撑起他们根据教科书上的描述分析更深层次的信息，也无法有效调动他们的数学建模思维。因此，教师必须深入挖掘教材，合理组织教科书内容，将知识以更有规律性的方式呈现出来，提高学习材料的逻辑性，以便学生能通过学习材料，分析建立起知识之间的联系，提升数学建模能力。鼓励学生有意识地探索数学知识，学会从材料中抽象出实际的数学模型。

【教学片段2】

师：同学们，如果题目不告诉我们“将小麦倒入粮囤，正好全部倒满”这一条件，我们能求出圆柱体粮囤的高吗？

生1：不可以，还缺少一个条件。

生2：想要求圆柱的高，需要圆柱的体积、底面积两个条件。根据圆柱的直径，可以推得圆柱的底面积。但是，由于不知道圆柱的体积，我们还是无法求出圆柱的高。

师：那么现在请同学们仔细想一想，我们只要知道哪些条件，就能求出圆柱和圆锥的相关信息呢？

生3：我明白了，对于圆柱和圆锥问题，只要知道底面积、高、体积三个中的任意两个，就可以求出第三个未知量。其中，底面积可以用圆的半径、直径、周长任意一个信息替换，所表达的意思其实是一样的。

【教学片段3】

师：那么，如果把条件更换为圆柱和圆锥的底面积相同，其他条件不变，根据我们发现的规律，可以求出圆柱的高吗？

生：可以。

师：不用笔计算，有没有同学能在1 秒钟之内给我答案？不要觉得这不可能，仔细观察一下圆锥与圆柱的体积公式，你能发现什么？

生：我知道了！圆柱与圆柱等底面积等体积时，圆锥的高是圆柱的3 倍，只需要将圆锥的高除以3，就是题目的答案。

通过引导学生分析条件背后隐藏的规律，学生经由自己的思考和努力挖掘出了同类型题目的做题方法和圆锥、圆柱关系转换的几个重要结论，不仅对知识的记忆更加牢靠，对知识的理解程度也会更加深刻。在一步一步抽丝剥茧的过程中理清思路，在脑海中建立清晰的数学模型，这样，无论题目如何变化，学生都能够迅速切中其要害，完成解题过程。

（三）引入实践活动，探索建模过程

素质教育要求教育以学生为中心。教师作为学生教学活动的引领导师和知心助手，应充分发挥其作用，优化教学方式方法，帮助学生建立建模思想，引导学生在实践中仔细观察，积极发掘其中问题，培养学生善于发现问题的能力和意识，让学生面对难题勇于尝试，耐心思考，不畏困难；与老师和同学大胆讨论，积极交流，通过自己的实践建立模型，充分理解一般与特殊的关系并将其内化，真正学会用模型解决实际问题，形成终身的数学核心素养。

【教学片段4】

师：要把一块长5 厘米、宽3厘米、高4 厘米的铁块，熔铸成底面积为6 平方厘米的圆柱体。那么，圆柱体的高是多少？

生1：这个题和上题的思路一样，熔铸就说明两者的体积是一样的。知道了体积和底面积，可以完成高的求解。

生2：先求长方形的体积＝长×宽×高，再除以题目给出的底面积，就可以得到答案，圆柱的高：（5×3×4）÷6 ＝10（厘米）。

师：如果是求圆锥的高呢？

生1：根据公式列式子，圆锥的高：（5×3×4）÷6×3 ＝30（厘米）。

生2：也可以直接运用结论，将圆柱的高乘以3，快速得到答案。

师：同学们说得都对。如果将题目变化一下，想要将铁块熔铸成等高的圆柱和圆锥，那么，它们的底面积会有什么关系呢？

生3：体积依然相等，高不变，根据公式，圆锥的底面积是圆柱的3 倍。

师：我相信，一定有同学被这些数量关系弄迷糊了。现在请同学们拿出一张纸，亲自动手折一折，感受一下其中的奥秘。

如果只是让学生单纯记背相关结论，学生印象不深，而且极其容易记混记错，一旦出现问题很难纠正。教师要引领学生理清做题思路，通过多次的数据变换加深练习，帮助学生形成直接经验，完成初步的模型构建。随后，引领学生对相关数学问题进行总结分析，通过进一步的实践，完善模型的构建。除了直接套用公式做题以外，学生还可以在实际动手操作的过程中这样理解：圆锥比较瘦小，如果想和圆柱在等体积的情况下等底面积，就需要长个“高个子”；如果想和圆柱在等体积的情况下等高，作为支撑的底面积就要大一些。如果条件允许，教师还可以在多媒体上演示圆柱和圆锥的变化过程，以更直观的演示加深学生对知识的理解吸收。通过对实际的数学模型进行合理构建，能够加深学生的印象，让学生在实践过程中亲身感受数学建模思维的方便与快捷，感受数学建模的魅力。

（四）拓展提升能力，提炼建模思想

随着年级的提高，对数学建模思维的要求也越来越严格。因此，在学生构建数学模型解决问题后，教师要注重回顾反思的重要意义，指导学生概括提炼解题思路，探索其中内在规律，总结做题方式方法，促进学生深度思考，进一步提升学生建模能力。

【教学片段5】

师：现在难度升级，请同学们听题：有一个圆锥形的小玩具，需要放进圆柱形水池中清洗，水面升高了4 厘米，水池的底面积是30 平方厘米。那么，玩具的体积是多少？

师：这道题目涉及圆柱和圆锥，看似只给了两个不知如何下手的数据，但其实，题目中隐藏了许多有效信息。请同学们结合生活实际，揣摩一下题目的意思，告诉我你的解题思路。

生1：水溢出的部分应该就是玩具的体积，但题目只给了水升高的数据。

生2：其实，问题应该转化为求升高部分圆柱的体积。水升高的4 厘米就是圆柱的高，底面积题目已经告知，应用体积公式就可以轻松计算出来了。

师：题目看似复杂，只要读明白题意，所有的问题就都迎刃而解。对于数学建模思想的应用，同学们有什么心得体会？

生：我发现，不管题目条件怎么变，问法怎么变，就是几个模型来来回回换不同的“新衣服”而已。只要把握住模型，万变不离其宗，再难的题目都有法可解。

师：是的，看来同学们已经理解了建模思想的内涵。在今后的学习生活中，也要注重建模思想的应用，简化数学问题，提高解题能力。

通过练习，学生充分感悟到数学建模思想应用的便利之处，切实体会到建模思想的独特优势。无论是公式推导、数学计算的应用，还是小学数学的实践，数学建模的理念都是不可分割的。将数学建模理念融入教学，提高教学质量，通过培养学生的建模思维，让学生充分意识到建模思想的简单性和实用性，使学生养成使用数学建模来进行问题解决的良好习惯，提高学习效率［3］。

四、总结

为了进一步激发小学生的数学建模意识，培养其数学建模技能，教师要着力展开培养学生的综合能力，抓住典型例题，引导学生从中抽象概括出一般模型，提升学生观察分析问题的能力，总体规划学生的发展路径，唤醒学生的数学学习动机。教育工作者要改变传统观念，不仅要重视学生的理论知识学习，还要注重在日常的数学教学过程中对学生展开数学建模思想的贯彻与渗透，引导学生归纳总结数学学习经验，构建完善的知识体系框架和结构，提升数学建模能力。