文化融汇：赋数学课堂以深度生长

☉李 伦

数学教育本质上是数学文化的教育。对于课程编撰者而言，数学课程需要梳理数学知识产生历程的脉络，合理取舍社会生活应用、数学史、科学技术、数学美学等数学文化内容。对于数学教育专家而言，数学教育需要彰显数学文化价值，扩大受教育者的数学视野，弘扬人文精神，寻绎数学学术形态通达教育形态的文化向度。对于数学教师而言，数学教学需要根植文化沃土，用数学文化的视角审视现实世界，助推学生理解数学、应用数学，培育数学精神。

一、互鉴：以《大数的分级和分节》为例

苏教版小学数学四（下）的《认识多位数》和人教版小学数学四（上）的《大数的认识》两个章节对《数的分节和分级》相关数学文化知识都进行了介绍。

一般而论，数位的读法因民族传统文化不同而呈现差异样态。基于汉语的汉藏语系数位基数为四，即“四位一级”。个、十、百、千（个级计数单位）；万、十万、百万、千万（万级计数单位）；亿、十亿、百亿、千亿（亿级计数单位）……由此可知，个、万、亿、兆相对应的数位为第1、5、9、13，差值为4。其读法为几兆几亿几万几。而基于拉丁语的印欧语系数位基数为三，即“三位一节”。个、十、百（第一节计数单位）；千、十千、百千（第二节计数单位）；百万、十百万、百百万（第三节计数单位）……其中个、千、百万、十亿所代表的数位分别为第1、4、7、10，差值为3。其读法为几十亿几百万几千几。两种规则下的读法不同，用符号写数则一致。可见，利用数位符号的数字系统留存了语言符号系统的合理内核。

苏教版和人教版都将三位分级法编入教材，作为教学四位分级法的补充与参照。但是，以“千”“百万”为基础的国际单位，与中国以“万”“亿”为单位的固有文化传统之间存在对应冲突。教师在教学长度单位（千米与米）、质量单位（千克与克）和容积单位（升与毫升）进率时，能否关联国际通用的数的三位分节与以“千”为单位的进率进行反思［1］？为消弭学生思维困惑，能否探寻出一条让我国传统文化与国际规则接轨、互鉴的路径，以实现数学文化更顺畅的衔接和融合？

二、向度：由史学形态转化为教育形态

基于教材中《大数的分级和分节》个案分析，可见传统文化中的度量衡制与国际公制接轨有其现实的必要性，亟须剖析数学文化的本质内涵来观照其表现形态。数学文化涵括学术形态数学文化、课程形态数学文化和学习形态数学文化三种。要发挥数学文化的育人价值，必须将数学家研究的学术形态转化为数学教育专家编撰的课程形态和学生可以接纳重组的学习形态［2］。

（一）学术形态数学文化

在数学发展进程中，数学家创建数学结构的原始记录及历史形态，称为学术形态数学文化。其研究主体为数学家，凸显真实性。数学内部发展形成的危机和社会生产实践遭遇的难题往往是促进数学发展的源泉。学术形态数学文化就表现在数学家创设数学结构过程中对这些难题的具体破解和危机的逐步化解，以及从中映射出卓绝探索的精神品格。

学术形态数学文化还兼具严谨性与客观性特征。数学的发展，是遵循一定范式，在原有基础上进行严格推理产生的。遵循范式就能演绎出相同的结论，不会因人而异，因时而变。而推理必须逻辑自洽、无懈可击。逻辑自洽展示数学客观性的一面，这就是数学确定性特质。

（二）课程形态数学文化

按逻辑体系陈述于教材上的数学知识，抑或发表在数学杂志上的研究成果，称为课程形态数学文化。其研究群体为课程专家，凸显教育性。在课改进入深水区的当下，课程建设显得格外重要。课程形态的数学文化需要重新定位课程目标价值指归，聚焦数学核心素养培育，并依托数学课程来承载数学文化。

课程形态数学文化还兼具接受性与理解性特征。需基于学生的知识背景和年龄特点，恰当甄选教学内容，思忖呈现方式，直观形象地推介数学的思想方法、问题与观念等。例如苏教版教材中精选的65 处“你知道吗”，就易于学生理解和接纳，能有效激发其好奇心与学习兴趣。

（三）学习形态数学文化

基于师生理解学习的视角，在课堂及教室等特定教学时空内发生的数学文化传递活动，称为学习形态数学文化。其研究样本为师生，凸显动态性。教师依托现实学情，通过深入解读课程形态数学文化开展教学设计，课程内容的甄选灵活自主，内容的设计亦可融入智慧再创造。

学习形态数学文化还兼具开放性与情境性特征。教师需将课程形态数学文化转化为适合课堂教学的学习形态数学文化。数学学习受典型数学问题与特定问题情境影响，而创设教学情境可以支撑学生理解数学问题。学生对相同问题及情境的判断或建构迥异，源自知识背景和生活经验的差异［3］。

数学文化的三种形态关系，其中学术形态数学文化是根基，为课程形态数学文化与学习形态数学文化提供支撑，能够帮助学生“感受数学家治学的严谨”。课程形态数学文化是中间纽带，联结学术形态数学文化与学习形态数学文化的两端，能够“激发学生学习数学的兴趣”。而学习形态数学文化则是终极目标，是学术形态数学文化和课程形态数学文化的实践指南，能够促进学生“欣赏数学的优美”，进而“帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用”。

三、变式：数学文化融入教学的螺旋之阶

数学文化唯有渗透在课堂教学中，才能敞亮文化韵味，彰显育人价值。我国传统数学教育以“双基”见长，而注重“变式”教学则是“双基”教学的一个关键特征。《九章算术》流露出“问题解决”的现实主义数学文化特质，根据问题“以类合类”进行编排，强调不变元素（双基）和变易元素（变式）的设计模型，渗透在文化上则可以追溯到《易经》。简易、变易和不易，诠释了“易”的三种不同质态或层级，蕴含变与不变的哲学思辨。

（一）简易——一题多解，变中求不变

大道至简，简易蕴含问题本质。在日常数学教学中，教师需回归原点设计最基本的数学问题，即数学原型问题，引导学生联系条件与问题，概括数量关系，聚焦题目中隐含的“不变量”（单位量），最终找寻出解决问题的不同策略。

【教学片段】

（1）教学例2。

学生自学例题，思考问题。

提问：这道题的已知条件与所求问题分别是什么，你能尝试通过列表表示出来吗？

引导：同学们，谁说一说表中的数量排列存在怎样规律？

明确：每2 小时水位下降12厘米，即每小时水位下降6 厘米。水位下降的速度保持不变。

（2）归纳数量关系。

要求：小组合作，联系条件与问题分析题意，概括数量关系，并列出算式。

分组汇报解题思路与算法：

从条件想起或从问题想起：12÷2 ＝6（厘米），120÷6 ＝20（小时）；

比较水位下降的关系：120÷12 ＝10，2×10 ＝20（小时）；

参照数据排列规律：按数据的内在规律列举下去，可得水位下降120 厘米需20 小时。

列表整理信息凸显了“化繁为简”的数学思想。复杂问题简单化，学生便能清晰地发现“每2 小时水位下降12 厘米”这一关键信息。伴随“时间”变化，“水位下降”也相应变化。在此过程中，学生能感知并探寻出“时间”与“水位下降”之间隐藏的不变规律，即紧紧把握住“水位下降的速度”不变这一本质，并且围绕“不变”达成“一题三解”的目标。

（二）变易——一题多变，不变应万变

变易是“易”的核心，彰显应用的广泛性。在原型问题上循序渐进地变换非本质特征，如问题或条件，使之形成新的数学问题，就是“变式”。变式教学是我国数学文化教学的传统特质，以“一题多变”促进学生思维发展，以简驭繁，举一反三，实现认知顺向迁移的预期。立足原问题尝试创设新问题，搭建“以旧引新”的去路；同时，将新问题归结为已解决的原问题，连通“以新归旧”的回路，实现问题解决的完整闭环。

【教学片段】

（1）完成“想一想”。

出示“想一想”问题。

启发：求经过12 小时水位一共下降多少厘米，很明显这道题是例2 的变式，请联系条件思考一下，如何解题？

学生列式计算。

讨论：说一说式子中每一步分别表示什么？怎样快速辨别数量之间的联系？

小结：列表整理条件和问题，并将两者对应联系进行分析，数量关系便一目了然。结合所学例题，易知先求什么，再求什么。

（2）比较异同，感知联系。

提问：回顾两题的解答过程，谁来比较一下它们的异同？

问题由“水位下降120 厘米，一共要放水多少小时”变化为“经过12 小时水位一共下降多少厘米”，实现了“变式”。学生在解决问题时，巧妙运用类比推理与转化策略，能从变的现象（所求问题变化）中，明晰不变的本质（已知条件不变）；也能从不变的本质（水位下降的速度）中，探究出变的规律（每2小时水位下降12 厘米），从而顺利攻克新问题，做到“以不变应万变”。

（三）不易——多题一解，万变不离其宗

不易，即恒常不变，它是万物运行的基本法则和公理。在教学中，教师需引导学生广泛触及各类问题，辨析、归纳出同类问题的共性特征，洞悉不变的本质，形成问题解决模型，删繁就简，实现“多题一解”。这也是变式教学中的归类，如将数学问题归为植树问题、行程问题等类别。

【教学片段】

（1）完成“练一练”第1题。

启发：从问题想起，求小军使用的元数与小丽购买的本数，需先明确什么信息？

学生按每人的本数和元数整理并交流。

提问：你觉得题目中哪个数量是不变量？

学生解答并板演：18÷3 ＝6（元），5×6 ＝30（元），42÷6＝7（本）。

交流解答过程与算法。

（2）完成“练一练”第2题。

学生读图并交流数量关系。

讨论：这道题哪个数量是不变量？

利用除法先求出不变的“单位量”，再以此为标准考量其余条件求出结果。该类问题在数学上有固定模型，称为“归一问题”，而解决归一问题的关键在于秉持“单位量”不变，视不变的“单位量”为“宗”，所谓千变万化，九九归一，万变不离其宗。

在教学过程中，“什么变，什么不变”的哲问是永恒的问题主线。学生习得这些不变的特性，需践行“变式”练习，规避死记硬背。通过“变化的问题”来体现“不变的特性”，从“一题多解”迈向“一题多变”的台阶，然后回归到“多题一解”的平台，周而复始，方可促使学生的数学认知形成螺旋上升的通途。

综上，变式教学脱胎于我国传统的数学文化教学实践，“易”则根植于我国古典文化《易经》，两者貌似无关，在哲理上却一脉相承。所谓世间万物运行，其道简易，其形变易，其理不易。因此，只有坚守“不变”的数学文化教学理念，才能凸显“变”的文化自信与育人自觉，真正赋予课堂以深度生长的力量。