探索运算本质 提高学生简便运算能力

☉金小英

“数与运算”作为“数与代数”最基本的一项内容，贯穿于小学数学学习的整个阶段。在中高年级中，又加入了加法和乘法的运算定律。教育部发布的《数学课程标准（2022 版）》将运算能力定义为：能根据法则和运算律进行正确运算的能力［1］。这里包含了两个不同的层次需求：一是根据法则正确地运算；二是根据运算律正确运算。第二个层次不应简单地理解为按简便运算的运算律进行计算，而是自觉地根据数据特征选择方法进行计算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力。这反映出的是关于运算方法选择的策略水平［2］。但在实际教学中，一方面教师往往主要关注学生的计算过程、计算结果以及计算技巧的熟练程度，忽视了对运算模型的建构；另一方面，学生思维简单化，只是机械重复，出现了“三乱”，即乱用、乱造、乱搭配。

一、理解本质 关注学生高阶思维的培养

（一）培养符号意识，注重学生对算理的理解

怎么看待2 ＋3 ＝5 这个算式?“在数学上，这是一个完美的句子，有名词、连词和动词。”［3］教育部发布的《数学课程标准2022 年版》将符号意识的培养与数感、量感三者共同归为“会用数学的眼光观察世界”，有利于培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。符号意识可以分为符号理解、符号表示、符号运算、符号推理四个维度［4］。教师在教学中，应引导学生正确认识符号，理解符号语言。

以四年级下册《乘法分配律》为例。

1.结合具体情境，加深对符号的理解

教材通过生活情境和学生已有经验，采取情境呈现、解答列式、比较发现、举例验证、概括总结这几个环节进行教学，引导学生通过逻辑推理得到规律，培养学生的问题意识和应用意识。

2.重视语言文字与符号语言之间的联系

在这个环节教学中，教师除了要注重运算律的推导、总结以及符号化展示外，还要把着力点放在帮助学生理解运算符号表示的意义上，推进学生对符号运算和符号推理的思考。要在学生充分体验、深刻感知的基础上，抽象和概括出乘法分配律，将浅层学习认知水平推进到深层学习认知水平。如褚明月老师在讲座“‘以学习为中心’的数学课堂改进”中就提到，可以在之后加入一个环节：让学生说说为什么（即对算理的理解）。引导学生从不同方面阐述——从生活现象中，实际举例说明；从原有学习经验中，用几何意义解释；从列式解答上，用算理推导解释……从简单的讨论发现上升到高阶的逻辑演绎推理。

（二）加强认知，注重学生对运算规则本质的建模

张苾菁老师在《加法运算律》这节课上，为了让学生理解加法交换律和加法结合律的数学本质，在完成例题教学之后，并没有匆匆进入探究规律环节，而是采用不同形式继续探究，让人耳目一新。

环节一：根据例题条件提出问题，解决问题。初步感知两个算式的特点。

环节二：模型支撑 沟通建构

①举例子。“先买3 元的尺，再买1 元的橡皮”和“先买1 元的橡皮，再买3 元的尺”付的钱是一样，让学生理解加法交换律的意义。

②数小棒。例如12 ＋8 和8 ＋12，让学生通过数小棒后发现，这两个算式的结果是相同的，加深对加法交换律的理解。

③画图。让学生画图解释这种等量关系。例如：

在不断推导下，得到等式a＋b ＝b ＋a，等号两边两个算式的相同点是：两个加数没有变，都是加法运算，得数一样；不同点是：左右两边的算式中两个加数的位置交换了位置。因此，加法交换律可以表述为：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。

1.结合经验去理解

在这个环节中，张老师先通过展示情境，利用学生已有经验列出两种算式，从计算结果去进行观察归纳，让学生从算式层面理解，初步感知了算理。

“学习是指学习者因经验而引起的行为、能力和心理倾向比较持久的变化。”［5］学习是始于经验，要求经验的。数学知识是有承接性的，一个知识的学习必定会有相应的前期知识的铺垫。教师在教学中，要充分发掘学生的旧有知识储备，然后去引导学生完成知识的正迁移、深拓展以及资源再整合。

2.结合数形去理解

“数”是抽象的，“形”是具体的，数形结合就可以把抽象思维和具体化内容相转化。培养学生模型意识、建立模型观念可以加强学生对运算律的理解，从而促进学生数感的发展。在这个环节的第3 步中，张老师通过画图的形式，引导学生建模，加深对加法交换律算理的理解。在接下来教学中，学生运用了这种思维方式得到并理解了加法结合律过程：

加法结合律就是三个数相加可以用两种不同的运算顺序计算，且得数保持不变。如：计算23 ＋36 ＋45 的两种方法的原理是这样的：

所以，可以写成23 ＋36 ＋45 ＝23 ＋（36 ＋45），比较这个等式两边的算式，相同点是：三个加数没有变化，都是连加运算，得数一样；不同点是：左边是先把前两个数23 和36 相加，再加第三个数45，右边是先把后两个数36 和45 相加，再与第一个数23 相加。因此，加法结合律的定义是：三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，和不变。

二、多样化形式与过程，提高学生在实际问题中的简便运算能力

（一）呈现形式多样化

运算能力重点在于理解算理、掌握算法，经历探索过程，它是运算技能和数学思维能力的共同产物。为进一步提高运算技能，简便运算形式应提倡多样化，帮助学生认识简便运算的实际意义。教学中，一方面可以适当增加口算和估算，另一方面可以引导学生将简便运算运用到实际生活，使之生活化、主动化、内涵化。

（二）思维过程多样化

单向思维是低端思维的外在，多向思维才是高质量思维。在进行数学简便运算时，要尽可能引导学生发掘多样化算法，以培养其数学运算和数学思维。以下面的学生解答为例：

首先，教师应让学生准确地描述想法，然后让学生比较，通过“观察、多样化解决、择优、意识”几个环节，进一步分析算法的区别和联系，达到简算择优化和算理的理解。

（三）评价形式多样化

在关注“四基”“四能”同时，教师要注意对学生核心素养的评价。在简便运算教学中，一方面要注重运算技能和运算结果的评价，了解学生基础知识和基本技能的掌握情况；另一方面，要注重学生对自身思维方式、思维水平的评价和反思，培养学生用数学思想分析、解决实际问题的能力，以促进学生的长远发展。

三、掌握规律，巩固意识，让各种形式的运算有机融合

（一）通过对比，梳理沟通。例如125×8÷125×8 这种算式，很多学生会第一时间认为答案是1。究其原因，可能是与（125×8）÷（125×8）、125×8÷125÷8这些类型混淆。教师可以将多种类型放在一起，让学生通过对比后知道它们的异同之处，理解这些算式的意义，进而得到正确的运算顺序。

（二）透过现象，尝试感悟。在四则运算中，减和除、加和乘的计算是存在联系的。在小学数学中，对加法的描述是“两个数合在一起是加法”，对乘法的描述是“两个自然数A×B，表示A 个B 相加，自然数乘法可以看作相同加数求和的简便运算”。例如103×5，可以看成103 个5相加。

（三）通过联结，构建知识网。在教材中，数的运算被平铺到每个年级段。例如乘法：

按口诀表计算两、三位数乘一位数两位数乘两位数三位数乘两位数小数乘法分数乘法二年级下册三年级上册三年级下册四年级（整数的简便运算）五年级上册（小数的简便运算）六年级上册（分数的简便运算）

可以看出，各个年级段的乘法螺旋递进上升，知识点之间的联系非常紧密。只有让学生理解乘法的意义、计算的方法、过程中每一步计算的意义，才能在原有基础上拓展提高，真正地掌握乘法计算，构建完整的知识体系。

例如103×5，从形式上看，学生大部分会作为三位数乘一位数口算或者笔算。但是从算理上理解，可以引导学生把算式理解成103 个相加5，进一步理解为（100 ＋3）个5，即100×5 ＋3×5。既体现了简算的运用，也进一步解释了乘法笔算的算理。

四、注重学生计算习惯的养成

叶圣陶先生说：“教育就是培养习惯，把良好的学习习惯转化为学生内在的需要或倾向，那就是教育的成功。”良好的运算能力有助于学生形成严谨规范的思考意识。

（一）注重观察（审题）。审题作为数学解题中的第一步，是培养学生解决问题的基础和关键。如何“审”？是否有一个共性的流程与标准？学生在简便运算中，既要审具体情境和数量关系，又要观察运算符号和数字符号，审时度势地选择最优解答思维和正确的运算定律。

（二）注重验算。验算作为数学运算中最后一步，近年来教材逐步加强了学生验算意识方面的引导。在实际操作中，应要求学生做到“四查”——查运算符号、查数字、查顺序、查结果。

（三）注重错误反思。在实际教学中，书面作业作为衡量学生掌握情况和巩固知识点的重要工具，处于比较尴尬的地位，有足够高的关注度，但也存在放大化的评价作用。教师在面对作业中的错误时，不要简单地以“批改、讲解、订正”为整个过程，而应让学生自我反思错误原因：算理不清、技能不熟、基础不牢还是不良习惯？找到了问题所在，才能有针对性地进行纠错。

对小学数学而言，数学运算是最核心、最关键的内容之一。简便运算意识作为一种优化意识，反映出学生深层次的学习水平。教学中，教师应认识到学生对数的简便运算的感悟是一个循序渐进的过程，要注重沟通联结，引发深度思维，促进学生数学关键能力与核心素养的发展。