Lorentz-Dirac 模型的梯度表示与稳定性研究

尹明旭，陈向炜

(1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；2.商丘师范学院 电子电气工程学院，河南 商丘 476000)

Lorentz-Dirac 方程是一个非常重要的动力学模型.Lorentz 和Dirac[1-2]分别研究了非相对论和相对论辐射反应，得到了Lorentz-Dirac 方程.该方程描述了带电粒子在磁场中并且同时受辐射阻尼力影响的运动.进一步的研究中，Kupriyanov[3]得到了约化的Lorentz-Dirac 方程.丁光涛[4]给出了约化的Lorentz-Dirac 方程在3 种力学系统中的分析力学表示，并给出了约化的Lorentz-Dirac 方程的解.罗绍凯[5-6]构造了一类分数维Lorentz-Dirac 模型并探讨该模型的动力学行为，研究了该模型平衡状态流行的稳定性.Lorentz-Dirac 模型在工程领域也得到了应用[7].梯度系统是一类数学系统，是动力系统中重要的研究对象[8].直接通过微分方程构造Lyapunov 函数是较为困难的，Lyapunov 函数非常适用于研究梯度系统解的稳定性.如果动力系统可以转化为梯度系统，通过梯度系统的性质研究动力系统的稳定性是比较简便的.梅凤翔等[9-12]研究了Lagrange 系统、Hamilton 系统和Birkhoff 系统的梯度系统方法和斜梯度系统方法；李彦敏等[13-14]研究了非自治Birkhoff 系统的广义斜梯度表示和广义Birkhoff 系统的两类广义梯度表示；陈向炜等[15-16]研究了Chetaev 型非完整系统的广义梯度表示以及定常Chetaev 型非完整系统的组合梯度表示；张毅[17]得到了一类非自治Birkhoff 系统的梯度表示；王嘉航等[18]给出了事件空间中Birkhoff 系统的2 类广义梯度表示；章婷婷、董孟峰[19-22]利用组合梯度系统对稳定性问题进行了一系列研究.本文进一步研究约化Lorentz-Dirac 方程的梯度表示，并用梯度系统方法探讨该系统的稳定性.首先，给出约化Lorentz-Dirac 方程的斜梯度表示和一种组合梯度表示.其次，利用Lyapunov 函数研究约化Lorentz-Dirac 方程的稳定性，得到稳定性判据.最后，举例说明结果的应用.

1 Lorentz-Dirac 方程

描述带电粒子在磁场中受辐射阻尼力影响下的运动微分方程称为Lorentz-Dirac 方程，分为相对论Lorentz-Dirac 方程和非相对论Lorentz-Dirac 方程.将点电荷的世界线记作zα(t)，是关于时间t的点电荷的坐标函数.记为四维速度，记为四维加速度.相对论Lorentz-Dirac 方程为

非相对论Lorentz-Dirac 方程为

式中：m为点电荷质量，q是自身电荷，是辐射阻尼力

当带电粒子在均匀磁场中做阻尼运动且由于沿z轴运动解耦，得到了约化的Lorentz-Dirac 方程[4]：

该方程描述了带点粒子在磁场中做平面阻尼运动.如果 α=0，方程就成为了通常的洛伦兹方程.本文研究一般形式，即 α≠0，β≠0的约化的Lorentz-Dirac 方程.

引入速度空间变量将坐标空间中粒子运动微分方程改写成状态空间中粒子运动微分方程

令a1=x,a2=y,a3=u,a4=v.就得到了方程的一阶化表示

2 梯度系统和组合梯度系统

2.1 梯度系统当微分方程可以表示为下列形式

根据矩阵Ai j的不同类型可以得到以下类型的基本梯度系统.

当矩阵Ai j为 负单位矩阵时系统为通常梯度系统；当矩阵Aij为反对称时矩阵系统为斜梯度系统；当矩阵Ai j为 对称负定矩阵时系统为对称负定的梯度系统；当矩阵Aij为半负定矩阵时系统为半负定的梯度系统[9].

2.2 组合梯度系统Ⅰ 若系统满足

式中：矩阵bi j(x)=-bji(x)为反对称矩阵，称为组合梯度系统Ⅰ[9].

由方程（7）可得

若V为Lyapunov 函数，可知负定，则系统是渐进稳定的.

2.3 组合梯度系统Ⅱ 若系统满足

式中：矩阵Sij(x)=S ji(x)为对称负定矩阵，称为组合梯度系统Ⅱ[9].由方程（9）可得

若V为Lyapunov 函数，可知负定，则系统是渐进稳定的.

2.4 组合梯度系统Ⅲ 若系统满足

式中：矩阵ai j=aij(x)为半负定矩阵，称为组合梯度系统Ⅲ[9].

由方程（11）得到

若V为Lyapunov 函数，可知负定，则系统是渐进稳定的.

2.5 组合梯度系统Ⅳ 若系统满足

式中：矩阵bi j(x)=-bji(x)为 反对称矩阵，Sij=Si j(x)为对称负定矩阵，称为组合梯度系统Ⅳ[9].

由方程（13）得到

若V为Lyapunov 函数，可知负定，则系统是渐进稳定的.

2.6 组合梯度系统Ⅴ 若系统满足

式中：矩阵bi j(x)=-bji(x)为 反对称矩阵，ai j=aij(x)为半负定矩阵，称为组合梯度系统Ⅴ[9].

由方程（15）得到

若V为Lyapunov 函数，可知负定，则系统是渐进稳定的.

2.7 组合梯度系统Ⅵ 若系统满足

式中：矩阵ai j=aij(x)为 半负定矩阵，Sij=Si j(x)为对称负定矩阵，称为组合梯度系统Ⅵ[9].

由方程（17）得到

若V为Lyapunov 函数，可知负定，则系统是渐进稳定的.

微分方程化为组合梯度系统后，V为Lyapunov 函数，若负定，则系统是渐进稳定的.

3 Lorentz-Dirac 方程的梯度表示

微分方程能够化为梯度系统的充分必要条件是

通过Lorentz-Dirac 方程的一阶化表示（5）得

已知 β≠0，故方程不能化为梯度系统，尝试将方程化为斜梯度系统.

Lorentz-Dirac 方程的一种Birkhoff 表示[5]为

B为Birkhoff 方程，Ru(u=1,2,3,4)为Birkhoff 函数组.自治Birkhoff 方程的B可直接用来构造Lyapunov 函数，即取V=αa1-βa2-a3.

就得到了约化Lorentz-Dirac 方程的一种斜梯度表示.

将Lorentz-Dirac 方程化为组合梯度系统并研究稳定性.

一阶化的微分方程（3）仅与a3和a4相关，故Lyapunov 函数仅与a3和a4相关.

4 算例

相对论Lorentz-Dirac 有

式中：xu=(t,x)是四维时空中的粒子坐标，是四维速度，是四维加速度，Fuv=(E,H) 是电磁场张量，c是光速，e是电荷.

非相对论Lorentz-Dirac 有形式

当带电粒子处于均匀磁场中，H=(0,0,Hz)，E=0.约化的Lorentz-Dirac 方程为

当m=c=1时，可得

因为α≠0，所以带电粒子在xy平面做螺旋运动.此时α＜0，可以得到零解是渐进稳定的，即带电粒子在xy平面螺旋运动是渐进稳定的.

5 结论

本文利用组合梯度系统方法研究了Lorentz-Dirac 方程的稳定性.将约化的Lorentz-Dirac 方程一阶化,给出该方程转化为组合梯度系统的条件，通过组合梯度系统的性质研究该方程的平衡点稳定性，得到了稳定性判据.从研究结果可以看出Lorentz-Dirac 方程转化为组合梯度系统比转化为梯度系统，条件更加简化，可能性更大.本文结果为研究实际物理模型的稳定性提供了一种方便可行的方法，可以推广用于其他动力学模型稳定性研究.