一类非线性脉冲时滞分数阶偏微分方程的振动分析

罗李平

(衡阳师范学院 数学与统计学院，湖南衡阳 421002)

振动是自然界和工程技术等领域中普遍存在的现象，如单摆的振动，杠、梁的振动，建筑物和机器的振动，飞行器的结构振动，控制系统中的自激振动，同步加速器中波束的振动，火箭发动机燃烧时产生的振动，化学反应过程中的复杂振动等.脉冲是事物在其发展过程中受到瞬时扰动而产生的一种很普遍的现象，现实世界中的许多生命现象和人类的开发行为几乎都是脉冲的.例如，生物体中的心脏跳动、血液循环，生物种群的生长，化疗对身体癌细胞增长的控制，农作物害虫管理中的农药或天敌的投放，渔业养殖中的捕捞（或放养）以及目前跟我们生活接触非常紧密的Internet 网络中传输的切换信号、节点之间的连接等都存在脉冲现象，其数学模型大都可归结为脉冲偏微分方程.因此，有关脉冲偏微分方程解的振动性问题受到人们的广泛关注，并取得了一些很好的研究成果[1-4].分数阶微分方程是整数阶微分方程向任意阶的推广，它的出现已有近3 个世纪的历史，但得到广泛应用则是近30 年来的事情.它比整数阶偏微分方程能更准确地描述一些实际应用过程，在流变学、粘弹性力学、信号处理和系统辨识、神经网络、分形和混沌、分数控制系统及分数阶图像处理等领域有着广泛的应用[5-12].与此同时，关于分数阶偏微分方程解的振动性研究引起人们的极大兴趣，也取得了长足的进展[13-18].然而，据笔者所知，关于带脉冲扰动的分数阶偏微分方程解的振动性研究还很少，仅见文献[19].目前脉冲分数阶偏微分方程解的振动性研究仍处于起步阶段，因此发展分数阶偏微分方程的定性理论，深入研究脉冲分数阶偏微分方程解的振动性具有重要的意义.本文的目的是考虑一类非线性脉冲时滞分数阶偏微分方程(1)在Neumann 边值条件(2)下解的振动性问题，得到了判别其所有解振动的新的充分性条件.所得结果充分表明这类方程的振动是由脉冲扰动和时滞效应引起的.

问题(1)，(2)的非零解u(x，t)称 为在G内 是振动的，若它既不最终为正又不最终为负.否则，就称为是非振动的.

1 预备知识

下面我们给出本文将用到的Riemann-Liouville 分数阶导数和积分的定义以及引理.

定义1[5]称

则脉冲时滞微分不等式

无最终正解(参见文献[21]定理2).

2 主要结果及其证明

定理1若存在一个常数 θ∈(0，1)，使得

由Green 公式及边值条件(2)有

这里N表示 ∂Ω 的 单位外法向量，dS是 ∂Ω上的面积元素.

又由(H2)，(H3)有

结合引理1，由(11)式可得

由(12)式易知，E′′(t)＜0，t≥T，t≠tk. 我们可以断言E′(t)＞0，t≥T，t≠tk. 事实上，倘若不然，则存在T1＞T，使得E′(T1)＜0 . 由于E′(t)在 [T，∞)上单调递减，故有

因此可得函数Z(t)=E′(t)＞0是脉冲时滞微分不等式(13)，(15)的一个最终正解.但由条件(6)和引理3 可知，脉冲时滞微分不等式(13)，(15)无最终正解.这是一个矛盾.

另一方面，假设存在T＞0，使当(x，t)∈Ω×[T，∞) 时，有u(x，t)＜0，E(x，t)＜0，E(x，t-σ)＜0，则类似于上面的讨论，同样可以得到矛盾.证毕.

注1若用下面条件

代替本文引理3 中的极限条件(参见文献[21]定理3)，则还可得到如下的平行于本文定理1 的关于问题(1)，(2)解振动的新结果.

定理2若存在一个常数 θ∈(0，1)，使得

注2本文结果充分表明问题(1)，(2)的解在区域G内 振动与脉冲量tk和时滞量 σ有关.

注3利用本文的思想，我们还可以考虑其它边值条件.例如，考虑如下的Robin 边值条件

(其中 β(x，t)∈C(∂Ω×R+，R+))或Dirichlet 边值条件

我们不难得到问题(1)，(16)或问题(1)，(17)的若干振动判据.但限于篇幅，在此省略之.

3 结论

本文讨论了一类非线性脉冲时滞分数阶偏微分方程在Neumann 边值条件下解的振动性问题，获得了判别其所有解振动的新的充分性条件，所得结果反映出此类方程在这种情况下的振动状态——它始终发生振动，同时充分表明脉冲扰动和时滞效应对方程振动性的影响作用，这为解决光学、热学系统、流变学、材料力学系统、信号处理、系统识别和控制、机器人等领域中的一些实际问题提供了数学理论依据和科学基础.