以导数知识为“工具”，快速证明不等式

安晓丽

证明不等式问题比较常见，其命题方式多种多样，解答这类问题的方法也很多.而对于一些较为复杂的证明不等式问题，如含有多个单项式、指数式、对数式的不等式证明问题，采用常规方法，很难使问题快速获解，此时，需以导数知识为“工具”，才能顺利证明不等式．

一、利用导数与函数的单调性之间的关系证明不等式

导数与函数的单调性之间的关系是研究函数问题的重要“工具”，常用于判断函数的单调性、求函数的最值、求函数的单调区间.函数的导数与其单调性之间的关系为：（1）在某个区间（a，b） 内，如果函数的导数大于零，则该函数在此区间内单调递增；（2）如果在某个区间内，函数的导数恒等于零，则该函数为常数；（3）在某个区间（a，b） 内，如果函数的导数小于零，则该函数在此区间内单调递减.若不等号两侧的式子属于同一函数模型，可直接对函数求导，根据导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式；若不等号两侧的式子分属不同的函数模型，需将不等式两侧的式子移项，构造辅助函数F（x） =f （x）-g（x）（其中f （x）、g（x）为不等号两侧的函数），再对函数F（x） 求导，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，求得函数的最值，判断函数的最值与0的大小关系，即可证明不等式.

对于简单的证明不等式问题，可以通过作差法进行证明，对于复杂的证明不等式问题往往要结合不等式的特征，构造出合适的辅助函数，再利用函数的单调性、极值、最值、拉格朗日中值定理、泰勒定理等，来证明不等式.因此，证明同一个不等式可能有多种方法，有时甚至要综合运用多种方法才能證明.

（作者单位：吉林省磐石市红光中学校）