感受位值的数学智慧——“10的认识”教学实践与思考

湖南株洲市二中附属小学（412007） 陈胜钦 程汝莹

一、课前慎思

10 是学生认识的第一个两位数，它的写法和0～9 不同：它不再是用一个新的符号来表示，而是由学过的“1”和“0”这两个数字符号组合而来的，数位是关键概念。对此教材是如何编排的呢？笔者对比了人教版2012 版教材及2021 版《生本学材》。人教版教材从数的意义、读写、排序、组成等对“10”进行介绍，侧重于对数的认识；而《生本学材》则突出了“十”作为计数单位的里程碑式的意义，从用1根大树枝表示10根小树枝，到生活中按十计数的习惯，再到用1 根小棒表示十，将人类几百年的创造位值制的历史浓缩在一段教材内，引导学生感受位值制的精妙。

作为入学不到三个月的一年级学生，他们又有怎样的认知基础呢？笔者从每个班随机选出几名学生进行访谈。对于问题“请你帮牧羊人计数，用一根树枝代表1 只羊，数到10 只，再来1 只羊，树枝不够了，怎么办？”，不少学生的回答是可以找一块石头，或再折一根树枝来计数，由此可见，学生的思维停留在用一个物体对应另一个物体这种一对一的计数方法，而没有达到“一对多”“以一当十”的水平。

这也让笔者想到，学生在数数时，遇到的难点之一就是数到几十九后不知道接下来怎么数。实际上，学生产生学习障碍最根本的原因是没有理解十进位值制计数法的本质：一个一个地数，每个数位上最大的数字是9，哪一位上满十，则应该向前一位进1。例如，数到29，再数一个，个位满十向十位进1，个位变为了0，十位进1 变成了3，是30。掌握了这个抽象的位值思想方法，就可以此类推。因此，“10 的认识”这一课的数学本质就是要让学生体会位值的思想。

二、教学过程

1.创设情境，温故知新

师：同学们，我们已经认识了好几个数，这节课让我们穿越时空，和古人一起来继续学习认数吧！古代的牧羊人是怎么数羊的呢？羊圈里走出来1只羊，牧羊人就在地上摆1根树枝。

师（课件依次出示小羊）：请一位小朋友当牧羊人来数一数羊。

生1：1只、2只、3只、4只、5只、6只、7只、8只。

师：又来了1 只羊，8 添上1 是9，再来1 只羊，9添上1是几？

生2：9添上1是10。

【设计意图】课件依次出示小羊，让学生在数数的过程中，理解数的本质，初步感受“数是一个一个地数出来的，而且一个比一个大”“9 添上1 就是10”。同时请一位学生上台模拟牧羊人数羊，屏幕上每出来1只羊，学生就摆1根小树枝，增加数数的趣味性的同时，也让学生体验一一计数的方法。

2.实践操作，探究新知

（1）在数数中发展数感

师：大家都来当一当牧羊人吧！如果用一个圆片表示一只羊，应该摆几个呢？请你们从盒子里拿出圆片，快速地在桌子上摆一摆。

师：你摆了几个圆片来表示小羊的只数？

生3：10个。

师：我们一起来数一数，看看有没有摆对。

生（齐）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

师：很准确，刚刚我们是一个一个地数，还可以怎么数呢？

生4（边摆圆片边数）：可以两个两个地数，2、

4、6、8、10。

生5：10里面有5个2。

生6：三个三个地数，3、6、9，另外多出1 个，一起是10。

生7：我能五个五个地数，是5、10。

师：请大家像生7 这样五个五个地数圆片，看10里面有几个5？

生8：10里面有2个5。

【设计意图】用半抽象的圆片表示数，让学生完整经历从实物到抽象的过程。用不同方法数出10，丰富了学生数数的经验，在数数中发展学生的数感。

（2）学习10的组成

师（出示图1）：10 只羊和10 个圆片成了好朋友，图上还有什么可以跟10 个圆片做好朋友？你是怎么看出10个的？

图1 “10的认识”教学课件

生9：我看到了10个橙子，左边3个右边7个。

师：观察得真仔细，左边3 个与右边7 个合成10。

生10：我还看到了10个苹果，4和6合成10。

生11：我还看到了10朵花，8和2合成10。

生12：还有10个梨，5和5合成10。

师：苹果、橙子、梨、花，它们的形状相同吗？大小、颜色呢？

生13：都不相同。

师：那为什么它们都可以和10 个圆片做好朋友？

生14：因为它们都是10个。

师：正如同学们所说，因为它们的数量都是10，所以它们都是10的好朋友。

【设计意图】图1 上的苹果、梨、橙子、花的数量都指向10 的组成。让学生观察图片，找10 个圆片的好朋友，学生能感受10 是物体个数为10 的集合标记，感受数是对数量的抽象。

（3）学习按群计数

师：我们在这儿数数，羊圈里的小羊们可着急了，它们也想和大家一起玩。这时，又出来1 只羊，一共有11 只羊了，可是现在没有小树枝了，牧羊人该怎么计数呢？

生15：用1个苹果代替1只羊。

生16：用1块石头代替1只羊。

师：你们想到的方法都是找一个其他物品代替1只羊。古人跟你们一样，也找了一个物品——一根大树枝，不过是用大树枝代替这里的10 根小树枝，再拿出一根小树枝，就表示了11只羊。

师：你觉得谁的方法更好呢？

生17：我觉得古人的方法很好，用一根大树枝表示10，我能很快知道有多少只羊。

师：谁再说一说，古人是怎么用这个大树枝表示11只羊的呢？

生18：用1 根大树枝代替10 根小树枝，再加上1根小树枝。

师：10 根树枝、10 个圆片，还有这1 根大树枝，都可以用数字10 来表示，这就是我们今天要认识的新朋友（把“10”贴在黑板上）。10 跟以前我们学的数有什么不一样的地方？

生19：10 是由1 和0 两个数字组成的，以前学的数是一个数字。

师：是的，10 是我们学的第一个两位数。10 的左边是1，右边是0，合起来读“十”，今天我们就一起来认识10。

【设计意图】用1根大树枝代替10根小树枝，让学生经历从“一一计数”到“按群计数”的过程。

（4）感受计数单位“一”和“十”之间的十进关系

师：我们的学具——小棒也想和10 做朋友，请从你的学具盒子里数出10 根小棒。老师跟你们一起数，比比谁数得快！10根小棒数了几次？

生（齐）：10次。

师：一根小棒是1个一，你们数了几个一？

生（齐）：10个一。

师（贴1 捆小棒）：10 个一就是10，为了让人一眼看出它是10，把它们捆在一起，这一捆就表示1个十。

师：现在把1捆小棒拆开，它是10个一，再把它捆起来，它是1个十，数量没变，那我们就说10个一是1个十。

【设计意图】学生经历玩小棒活动，把10 个一变成1 个十，又把1 个十变成10 个一。在变的过程中，学生深刻理解10 个一就是1 个十，感知计数单位“一”和“十”的关系。

（5）初步感知位值

师：刚才我们把10 根小棒捆成一捆，用一捆来表示十。聪明的古人也用1根小棒表示了10，你们能猜到他们是用什么方法表示10的吗？

生20：在小棒上贴1个“十”字。

生21：把小棒切成10段。

生22：在后面加个0。

生23：把小棒摆在不同的位置。

师（出示图3）：聪明的古人把1 根小棒放在右边的竹筒，表示1 个一；把1 根小棒放在左边的竹筒，表示1个十。

图3 古人表示数的方法

师：后来，人们用珠子代替小棒，计数时把珠子摆在不同的位置表示不同的数，根据这个原理，后来人们就发明了的计数器。

师（边拨计数器的算珠边问学生）：老师这里有一个计数器，我们一起来数一数。我们在这一位上拨的算珠每颗都表示1 个一，所以这一位就叫作“个位”。1个十怎么表示？

生24：在十位上拨1颗算珠。

师：个位上的10 个一表示10，十位上拨1 颗算珠是1个十，也表示10，哪种方法更简便？

生25：1个十。

师：在十位上拨的算珠每颗都表示1 个十，我们把它叫作“十位”。

师（在田字格里示范写10）：10这样写。1后面为什么要加个0？

生26：因为个位上的10 颗算珠变成了十位上的1颗算珠，所以个位上就变成了0。

师：0可以省略不写吗？

生27：不可以，不写0的话，10就变成了1。

【设计意图】从十进制到位值制经历了漫长的过程，这部分的学习对学生来说也是一个难点。“怎样用1根小棒来表示10”学生根据已有知识和经验进行讨论交流，想出可以把小棒放在不同的位置，进而教师引出计数器这个学具，并用其直观地表示“十位”“个位”作为数位，且“十”“一”作为计数单位的含义。

3.对比关联，感受位值的精妙与简洁

师：我们跟着古人一起学习了计数的方法，还认识了一个新朋友——10，你能从图4 的每一组框里找到10吗？

（课件出示图4）

生28：大树枝是10，小树枝是1。

师：大树枝是用几根小树枝换来的呢？

生29：10根。

师：在这里，我们是根据树枝的大小来区分1和10。

生30：一捆小棒也是10。

生31：计数器十位上的1颗算珠也是10。

师：算珠的大小、数量一样，为什么同样的算珠表示的意思却不同呢？

生32：因为这两颗算珠所在的位置不同，右边计数器中的算珠在个位，左边计数器的算珠在十位。

师：你说得太好了！同样的一颗算珠，放在个位就表示1个一，放在十位就表示1个十，算珠所在的位置不同，表示的数量不一样。

【设计意图】从用1 根大树枝表示十，到用1 捆小棒表示十，再到计数器十位上的1 颗算珠表示十，学生在对比与关联中体会位值制的简洁与精妙。

三、教学反思

学生在上小学之前已经会认读10，但仅仅是从表面上认识。如何让学生从本质上认识10 呢？0～9 各数是一位数，只有个位，而10 是两位数，有个位和十位两个数位，学生认识10 不仅要经历数量到数的抽象过程，更重要的是理解数位、发展数感。

1.经历数的抽象过程

数是对数量的抽象，本课遵循“具体—半抽象—抽象（符号）—具体”的学生认知规律设计教学活动，由小羊、苹果、梨子、橘子、花的数量，抽象出10个圆片组成的点子图，让学生思考后发现它们的共同点是数量相同，进而明确“虽然数的事物不同，只要数量相同，都可以用同样数量的点子图表示”，渗透“10 是物体个数为10 的集合的标记”的含义，接着回到“具体”——数出10 根小棒并捆成一捆，进一步加深学生对10 的认识。本课的教学活动让学生完整地经历了数的抽象过程。

2.培养学生的数感

“10 的认识”的学习，承载着培养数感的重任。这节课安排了大量的活动帮助学生建立数感。

“数”出数感。数羊，一个一个、两个两个、五个五个地数小圆片；数小棒、在计数器上数，不同材料、不同形式，数数的活动达到10 次以上，充分地“数”能很好地让学生感知10 这个符号对应的数量是多少。

“看”出数感。牧场里的苹果、梨、橙子、花数量都是10，学生在观察图片的过程中能形成10 有多少的直觉。

“玩”出数感。玩小棒，把10 个一变成1 个十，又把1个十变成10个一，学生能在玩的过程中感知计数单位“一”和“十”的关系，建立进率的概念。

3.感受位值的数学智慧

为什么表示10 时没有再用新的数字，而是从0～9 中选择0 和1 这两个数字呢？这里蕴含着我们祖先计数的数学智慧——位值。如何让刚入学三个多月的一年级学生也能感受这一智慧，教学中设计了挑战性任务。

任务1：怎么表示11只羊呢？当学生想不出办法时，教师提示“古人用1 根大树枝表示十”，再引导“用1 根大树枝加1 根小树枝表示11，和你们不断地找新物品来代替，两种方法哪种更好？好在哪里？”。

任务2：怎么用1 根小棒表示10？当学生想不出办法时，教师提示“可以通过把小棒摆在不同位置来表示10”，再引导“用1 根小棒表示10，用1 捆小棒表示10，哪个更好？好在哪里？”。

任务3：为什么同样一颗算珠，大小、多少都一样，却能表示10？有了前面两次的比较，可以看到学生在回答这个问题时是非常顺畅的，说明位值在他们心中已经烙下了深深的印记，学生能充分地感知位值制的简洁美。

在这样的教学活动中，学生完整经历了数的抽象过程，体会了位值的简洁与精妙，形成初步的数感。