高中数学排列组合解题方法的研究*

佳木斯大学(154007) 史冰 张志旭

一、引言

排列组合模块曾经作为人教版数学教科书选修2-3 第1章的内容.经2019 年教育课程大调整后,已被改为人教A 版选择性必修第三册第6 章的内容.第6 章由基本计数原理、排列与组合及二次项定理共4 个小节组成[1].其中,排列组合是本章的重点内容,需要学生深刻理解并扎实掌握.此外,排列组合在高中数学中占有重要地位,通过排列组合的学习可以促进学生抽象思维的拓展,尤其是将其应用于解决实际生活问题中,学生能够学会从不同角度去解决数学问题.因此,高中数学教师应该对排列组合的解题方法进行研究并不断反思改进.

高中数学中的排列组合问题通常可以从多个角度出发.从不同角度解决的问题,其复杂程度也会有所不同.因此,在解决排列组合问题时,教师应该多思考,多总结,选择恰当的解题方法开展教学,用更少的精力发挥出最大的效果,真正的做到化繁为简,从而使学生对排列组合相关的解题方法深刻掌握的同时,能够巧妙的将其应用于实际问题中[2].

二、高中数学排列组合的解题方法

(一)先特殊后一般

这种类型题分为两种情况,即元素特殊或是位置特殊.针对这种排列组合的习题,我们就需要优先考虑特殊情况,之后再进行整体思考[3].

例题1从0 到9 共十个数字中选取不同的四个数字构成一个新的数,那么构成的数为偶数的情况有多少种?

解析由于0 在本题中是一个特殊的元素,因此我们需要分情况进行讨论.第一种情况,如果新构成的个位数是0,那么其符合题中要求的偶数的条件,这时只需要从剩余的九个数字中随机选取三个数字,而这三个数字的顺序不同结果也不同,所以列式应为A39.第二种情况,如果新构成的个位数不是0,要满足构成的数为偶数的条件,因此,个位数可以取2、4、6、8 共四种情况,列式为C14,而千位数是一个特殊位置,因为其不能取0,所以要从剩余的八个数中取一个数,列式为C18,百位数是从包括0 的剩余八个数中选取一个为C18,十位数则是从剩余七个数中选取一个为C17,根据分布乘法计数原理可得第二种情况下的结果为C14C18C18C17.综上所述,根据分类加法计数原理可得本题的结果为A39+C14C18C18C17=2296 种.

评析在讲解这种类型题时,教师应该引导学生在完全掌握排列组合相关知识的基础上善于发现题中的特殊元素或特殊位置,并教会学生正确采用先特殊后一般的解题方法,以此来帮助学生理清题目信息,从而轻松解出答案.

(二)正难则反

在排列组合中,有一些问题按照常规方法进行解答会比较困难.这时,我们可以采用正难则反的解题方法,即从相反的角度去思考问题,对不符合题干的情况进行排列组合,最后用整体的排列组合减去不符合题干情况的排列组合从而得出答案[4].

例题2某医院皮肤科有3 名女医生、4 名男医生,其中小亮(男)是科室主任;眼科有3 名女医生、2 名男医生,其中小美(女)是科室主任.现在医院想从两科室中选4 人参加培训.

(1)若至多有1 名科室主任参加,那么有多少种选法?

(2)若皮肤科至少有2 名医生参加,那么有多少种选法?

解析本题如果采用直接法解题会相对比较复杂,这时我们就想到采用正难则反的解题方法.

(1)首先对“2 名科室主任都参加”进行排列组合,那么应从2 名主任中选2 人,从剩余10 名医生中选2 人,列式为C22C210,而所有情况为从两科室中任意选出4 人参加,列式为C412.所以至多有1 名科室主任参加的选法共有C412−C22C210=450 种.

(2)由(1)知所有情况为C412,若皮肤科没有医生参加,则从眼科中选4 人,列式为.C45,若皮肤科有1 名医生参加,则从眼科中选3 人,从皮肤科中选1 人,列式为C35C17.所以皮肤科至少有2 名医生参加的选法共有C412−C45−C35C17=420种.

评析正难则反是高中数学比较普遍的研究方法,当问题难以分析时,通过相反的角度去思考问题,那么许多困难的数学问题都会迎刃而解.在解决这种类型题时,教师应该培养学生分辨正向解答和反向解答哪种更简单,使学生在解答此类数学题时能够及时想到正难则反的解题方法,从而更快速更准确的得出答案.

(三)元素相邻,先捆绑为一

如果几个元素彼此是相邻的,那么可以把这些元素看作为一个整体,我们把排列组合的这种解题方法叫做捆绑法,这是解决复杂排列组合问题的有效途径.即把相邻的元素看作一个整体并与其他元素进行排列组合,最后再对相邻元素之间进行排列.通过以这种方式解决排列组合的问题,学生可以轻松解决相邻情况下几个元素的排列问题.

例题3假如让你给高三年级的学生排一天的课表,要求数学、语文、英语、化学、物理、生物、自习各上一节,并且数学和语文两门课要连着上,那么试着思考共有多少种排列的方法?

解析根据题干中要求的数学和语文两门课连着上可以想到这是元素相邻的问题,因此需要用捆绑法来解答此题.首先把数学和语文两门课捆绑在一起看作一个整体,再与其他五门课进行排列组合,由于顺序对结果有所影响,所以列式应为A66,而数学和语文两门课也需要进行排列,列式为A22,根据分布乘法计数原理,最终结果应为A66A22=1440 种排列的方法.

评析把相邻的元素先捆绑为一个整体来观察,这种先整体后局部的解题方法有助于解决排列组合中相对较复杂的问题.教师在向学生教授运用捆绑法解决排列组合问题时,要重点强调应该考虑到剩余的元素之间是组合的问题还是排列的问题,当剩余元素之间是排列问题时,我们就要考虑到顺序对结果的影响,而当剩余元素之间是组合问题,我们就应该考虑到要排除顺序对结果的影响.

(四)元素不相邻,最后插空

插空法是解决元素不相邻的排列组合问题的一种典型方法.当需要排列多个元素时,插空法可以有效地简化排列过程.当元素不相邻时,首先应该排列没有限制的元素,之后将有所限制的相关元素插入排列好的元素中.

例题4在一节体育课上,体育老师要求每八人为一组站成一排,其中小明和小红想要站在一起,但他们又都不想和小强站在一起,那么他们这一组共有多少种站法?

解析本题既包含元素相邻的情况又包含元素不相邻的情况,这时我们要优先考虑元素相邻的情况,由于小明和小红想要站在一起,因此小明和小红是两个相邻的元素,根据方法(三),把小明和小红捆绑在一起看作一个整体,小强单独看作一个整体,我们先排列剩余的五个人,列式应为A55,接下来我们进行插空,五个人有六个空,有两个元素需要插进去,列式应为A26,最后小明和小红之间也要排列,列式为A22,根据分布乘法计数原理,最终答案应为A55A26A22=7200种站法.

评析教师在给学生讲解本题时,首先要引导学生分辨哪些是相邻元素,哪些是不相邻元素,之后让学生独立思考每种情况所对应的解题方法是什么,通过数形结合的思想,可以画简图让学生直观感受插空法是如何进行插空的.此外教师要向学生强调不能有遗漏的情况,即要考虑全面.

(五)平均分成n 组,要除以n!

这种类型题主要是将几个元素分成n组,这里的n是某个具体的数.对于这类问题,我们需要根据题意对元素进行分组,而重点在于要除去重复的部分,即除以n!.

例题5学校组织全体师生进行班级大扫除,高三一班班主任要将班里的十二名男生平均分成四组,共同完成大扫除的工作,那么该班主任可以有多少种分组的方式?

解析本题是一道典型的平均分组的问题,我们首先对十二名男生进行分组,十二名男生平均分成四组,那么每组有三人,先从十二名男生中随机选取三人,列式为C312,再从剩余九名男生中随机选取三人,列式为C39,以此类推,列式有C36,C33,根据分布乘法计数原理,可得分组结果为C312C39C36C33.由于四组都为三人的分组,所以要除去重复的部分,即除以4!,综上,最终答案应为=15400种分组的方式.

评析教师在讲解本题前,可以给学生举一个简单的平均分组的例子,例如“将a、b、c、d平均分成两组,共有多少种组合方式? ”由于本例中元素数量少,可以让学生直接进行排列分组,以此让学生感受为什么会出现重复的情况.在此基础上再对本题进行讲解,这样可以使学生更容易理解平均分组的问题要在最后除以n!的原因.

(六)先分组后分配

这种类型题主要是将元素进行分配,其重点在于分配后每一组都不止一个元素.这时我们就需要先对元素进行分组,之后再将分好的组进行分配.

例题6学校将在教师节这天举办联欢晚会,现有五名教师要分别去唱歌组、舞蹈组以及演讲组进行表演,且每组节目至少要有一人,那么共有()种情况.

A.60 B.180 C.300 D.120

解析本题要分情况进行讨论,第一种情况为三名教师去一组表演,剩余两名教师各自到另外两组表演,首先从五名教师中随机选取三人,列式为C35,将这三人看作一个整体,再从剩余二人中选取一人,列式为C12,将三组进行排列组合.此时顺序对结果有影响,因此列式应为A33,根据分布乘法计数原理,这种情况的结果为C35C12A33=120 种.第二种情况为有两组分别有两名教师,有一组为一名教师,首先从五名教师中随机选取两人到一组表演,列式为C25,再从剩余三名教师中随机选取两人,列式为C23,最后对三组进行排列组合,列式为A33,根据分布乘法计数原理,这种情况的结果为C25C23×A33=180 种.将两种情况相加得出最终答案为选项C.

评析学生在解答这种类型题时可能会想不到分类讨论的方法,因此教师要培养学生善于运用分类讨论的解题方法,以此使复杂的问题简单化.当遇到既要分组又要分配的类型题时,运用先分组后分配的解题方法往往能事半功倍.

(七)先选后排

有一些排列组合的题不仅要从多个元素中选取几个元素,还要对选取的元素进行排列,针对这种类型题我们要采取先选后排的解题方法,即首先对选取的元素进行列式,再进行排列,最后根据分布乘法计数原理,将式子相乘得出答案.

例题7幼儿园老师在课堂上和小朋友们做游戏,老师让小明在1、3、5、7、9 共五张数字卡片中选出三张,又让小红在0、2、4、6、8 共五张数字卡片中选出两张,试着思考将五张卡片放在一起能构成多少个不同的五位数的奇数?

解析由于0 在本题中是一个特殊的元素,因此要分类讨论,第一种情况为选取的卡片中不含0 这张,即从四张偶数卡片中选取两张为C24,从五张奇数卡片中选取三个为C35,而题中要求构成的数为奇数,因此个位数为一个特殊位置,应该从选取的三张奇数卡片中选一张排列在个位数,列式为A13,最后将剩余四张卡片进行排列为A44,根据分布乘法计数原理,第一种情况列式应为C24C35A13A44=4320.第二种情况为选取的卡片中含有0 这张,这时从剩余四张偶数卡片中选取一张为C14,从五张奇数卡片中选取三个为C35,再从选取的三张奇数卡片中选一张排列在个位数,列式为A13,而这种情况下首位也是一个特殊位置,因此先对首位进行排列,即从除0 外剩余三张中选取一张为A13,最后对其他三张进行排列为A33,根据分布乘法计数原理,第二种情况列式应为C14C35A13A13A33=2160.两种情况相加最终答案为6480 个.

评析本题较为复杂,不仅需要运用先选后排的方法,而且题中还包含了特殊元素和特殊位置,教师在讲解本题时要把每一个步骤运用的方法及列式给学生讲解清楚,帮助学生理清思路的同时能够恰当运用各种排列组合的解题方法.

(八)同种的n 个元素不加以区分: 占位法或除以n!法

这种类型题中包含了相同的元素,此时对元素进行排列组合就会出现重复的部分,可以采用与方法(五)同样的解题方法,即除以n!法,也可以采用占位法.

例题8某高三一班的学生想在教师节这天送给老师们一朵花,现有三朵同样的康乃馨和两朵同样的郁金香,学生们要从中选出四朵分别送给四位老师,每位老师一朵,那么共有()种送法

A.10 B.12 C.9 D.11

解析采用占位法的解答思路为: 首先要进行分类讨论,第一种情况为将三朵康乃馨和一朵郁金香送给四位老师,选择其中一位老师送给他郁金香,其他老师送康乃馨,列式为C14,第二种情况为将两朵康乃馨和两朵郁金香送给四位老师,选择其中两位老师送给他们郁金香,其他老师送康乃馨,列式为C24,根据分类加法计数原理,将两式相加得出答案为10 种.也可以采用除以n!法,此时第一种情况的列式为=4,第二种情况的列式为=6,最后根据分类加法计数原理,将两式相加得出答案为10 种.故本题答案为A.

评析在讲解这种类型题时,教师应该引导学生善于观察题中是否有相同元素,当看到题中含有相同元素时,能够快速想到运用占位法或除以n!法,这样便能使问题简单化,从而更有助于学生正确解答.

(九)涂色法

这类问题是排列组合问题比较经典的一类问题,通常会给出一个图形,并要求在图中进行着色.这类问题也属于复杂的排列组合问题,需要先涂好一个位置,再对其他位置进行分类讨论.

例题9学校在劳动节这天组织全体师生共同为校园种树种花,高二一班被分配到种花的活动中,学校要求在如图所示的一个花坛中进行种花,并且相邻的区域要种不同颜色的花,现有四种颜色的花可供选择,那么高二一班共有多少种种法呢?

解析首先对区域A进行分析,共有四种颜色可以选择,此时区域B 剩三种颜色可以选择,区域C 剩两种颜色可以选择,由于区域D 与区域A 不相邻,此时我们就要分类讨论,假设区域D 与区域A 同色,那么区域D 颜色确定,区域E 还剩两种颜色可以选择.假设区域D 与区域A 不同色,那么区域D 剩一种颜色可以选择,区域E 还剩两种颜色可以选择.根据分布乘法计数原理以及分类加法计数原理,最终答案为4×3×2×1×2+4×3×2×1×2=96 种种法.

评析这种类型题基本都要用到分类讨论的思想,教师在讲解这种类型题时要帮助学生分清在什么地方应该进行分类讨论,学生在掌握这种方法后再去解题就会更加轻松.也可以把某些区域同时进行涂色,再思考剩余的区域.

(十)求幂法

排列组合中有一些类型题,采用求幂法来解决会更清晰便捷.

例题10学校为了实现劳逸结合并促进师生之间和同学之间的友谊,在周末组织了春游活动,学校共提供了三个地点供师生们选择,其中高一年级共有八个班,他们要去三个地点游玩,那么:

(1)如果每班去一个地点,共有多少种情况?

(2)如果每个地点来一个班,共有多少种情况?

解析第一问是班级去选择地点,所以班级数应为幂指数,地点数为底数,列式为38=6561 种情况.第二问是地点进班级,因此地点数应为幂指数,班级数为底数,列式为83=512 种情况.

评析教师在讲解这种类型题时,只需要教会学生分辨幂指数及底数的位置应该是哪个元素,在此基础上问题便能够迎刃而解.

三、结语

通常情况下,排列组合问题不仅考察学生的数学逻辑,还考察他们解决现实生活中数学问题的能力[5].因此,数学教师需要有效地将排列组合的解题与现实生活相结合,使学生掌握哪种类型题应该用哪种解题方法去解决,以及如何选择恰当的解题方法更准确地解决排列组合相关问题.