广义Jacobi恒等式与几何括号的刚性定理的证明

王 根

（厦门大学数学与科学学院，福建厦门 361005）

Hamilton 结构起源于经典力学,它使经典力学的相空间可以在有限偶数维上得到较好的处理,任意维上的广义Hamilton 系统(GHS)是定义在偶数维上的经典Hamilton 系统的自然推广且扩大了经典力学的研究范围[1-4]。它是建立在无限维广义Ρoisson 括号(GΡB)的基础上的。由于广义Hamilton 系统基本理论体系框架并不完善，经常有实际问题不能用广义Hamilton 系统表达。所以很多学者研究带附加项的广义Hamilton 系统[5-12]。广义结构Ρoisson 括号(GSΡB)改进和拓展了广义Ρoisson 括号,它具有几何势函数的特殊结构性，从而得到了广义协变Hamilton 系统(GCHS),广义协变Hamilton 系统是定义在任意维上的广义Hamilton 系统的自然推广，使广义Hamilton 系统的基本理论体系框架变得更完善[2,13]。广义协变Hamilton 系统可以广泛地应用于物理，应用数学等领域。

1 广义结构Ρoisson 括号与广义Jacobi恒等式

ℝr上的广义结构Ρoisson 括号(GSΡB)定义为[2,13]

其中几何括号

式中几何标量势函数s只表示流形本身的属性,以及ℝr上的广义Ρoisson 括号(GΡB)[1,3,4]定义为

式中：i,j=1,2,…,n,结构矩阵Jij(x)=-Jji(x)。因此，广义结构Ρoisson 括号分为两部分表示如下：

广义结构Ρoisson 括号=广义Ρoisson 括号+几何括号。

对于广义结构Ρoisson 括号{f,g} 退化为广义Ρoisson 括号{f,g}GPB有以下两种情况：

（1）当s=0或者s=常数时，发生平凡退化；

（2）当几何势函数s=ln(g/f)，fg＞0 或者s=ln(-g/f)，fg＜0时，发生非平凡退化；

文章采用Einstein约定求和法。

定义1[2,13]设M为n维的光滑流形,M上的广义结构Ρoisson 括号{},是一个光滑映射,满足：（1）双线性；（2）反对称性；（3）广义Leibniz 恒等式；（4）广义Jacobi 恒等式，具有广义结构Ρoisson 括号结构的流形M,称为广义Ρoisson流形,记为(M,{}),简记为M。

设广义 Ρoisson 流形的局部坐标为x=(x1,…,xn)T，关于局部坐标x的广义协变Hamilton系统的整体形式写为

广义协变Hamilton 系统又由两部分构成，完整的广义Hamilton系统与S-动力学分别为

式中：bk=Jjk Aj=-ck，对于坐标的完整广义Hamilton系统为dxk/dt==Jkj∂jH+Hck

定义2[2,4]设C:P→ℝ 为非常数的光滑函数.如果对所有的可微函数f:P→ℝ,都有{C,f}GPB=0，则C称为Ρoisson流形P上的Casimir函数。

其中由广义结构Ρoisson 括号给出的广义Jacobi恒等式是广义Ρoisson 括号给出的Jacobi 恒等式I(f,g,h)=0 的自然延伸。本文将基于广义结构Ρoisson 括号所给出的广义Jacobi 恒等式，证明在几何势函数为Casimir 函数的特殊条件下的广义Jacobi恒等式的具体表达式，同时证明了一个有关几何括号的刚性定理以及一系列推论。

2 主要结果与证明

2.1 广义Jacobi恒等式与Casimir 函数

定理1对于f,g,h,s∈C∞(M)，若几何势函数s为Casimir 函数，则广义Jacobi恒等式为

显然，当几何势函数s为Casimir 函数，广义Leibniz 恒等式此时符合Leibniz 恒等式的一般形式，在这种界定之下，广义Jacobi 恒等式可以得到简化，使之具有可以计算的可能性。

推论1对于f,g,h,s∈C∞(M)，若几何势函数s为Casimir 函数，则有

证明：对于f,g,h,s∈C∞(M)，由于几何势函数s为Casimir 函数，则{s,f}GPB=0，

轮换函数f,g,h，并相加三式即可得证。

显然，当几何势函数s为Casimir 函数时，易得一个与几何括号相关的恒等式，显然，这是一个隐性的恒等式，同时也说明了Casimir 函数的特殊角色。

2.2 几何括号的刚性定理与推论的证明

更一般的，可以证明一个有关几何括号的刚性定理如下：

定理2对于f,g,h,s∈C∞(M)，则恒有

证明：由于f,g,h,s∈C∞(M)，计算几何括号

式中运用了广义Ρoisson 括号下的Leibniz 恒等式

轮换函数f,g,h，分别得到G(s,g,G(s,h,f)),G(s,h,G(s,f,g))，相加三式即可得证。

显然，刚性定理对于几何势函数没有特别的额外要求，这是一个与几何括号相关的更铁的隐性恒等式。推论1是定理1的一种特殊情况。同时，这也说明几何括号与广义Ρoisson 括号作为两个彼此并列的括号形式，具有相似的数学结构约束，因此，对于f,g,h,s∈C∞(M)，(1)进一步简化为

因此，广义Jacobi恒等式可以紧致的简写为

同时，可以推导出以下结论：

推论2对于f,g,h,s∈C∞(M)，则恒有

证明：对于f,g,h,s∈C∞(M)，则有

轮换函数f,g,h，则有

三式相加即可得证。

推论3对于f,g,h,s∈C∞(M)，则恒有

证明：对于f,g,h,s∈C∞(M)，则有

轮换函数f,g,h，以及代入定理2 与推论2，即可得证。

很显然，通过分析推论2 和推论3 的表达形式，易知这完全是属于几何括号与广义Ρoisson 括号相互联系的结果，具有一定的美感性，更重要的是几何势函数起到了沟通桥梁的作用，将流形上的三个可微函数的相互作用联系了起来。

3 结论与展望

基于对广义结构Ρoisson 括号与广义协变Hamilton系统理论的相关分析与讨论，研究了几何势函数为Casimir 函数这一具体给定条件下的广义Jacobi恒等式的具体表达式，以及几何括号在Casimir 函数条件下的一个特殊恒等式。由于广义Ρoisson 括号给出的Jacobi 恒等式具有良好的特性，证明了几何括号在无任何限制条件下的一个普遍刚性结论，这个恒等式具有与Jacobi恒等式相似的特征，说明了几何括号与广义Ρoisson 括号具有并列的研究特性，基于此相似的特点，普遍地证明了有关几何括号与广义Ρoisson 括号相互作用的一系列推论，得到了一些结构优美的恒等式。这极大地拓广了广义协变Hamilton系统的应用前景与研究深度。这说明了对于广义结构Ρoisson 括号与广义协变Hamilton 系统理论还有待更深入的研究与讨论如对称性研究，Mei 对称性，规范型形式研究等等。