1-奇异变换半群Tn(1)的格林关系

徐 波,卢琳璋,游泰杰

(1.贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵安新区 550025;2.厦门大学数学科学学院,福建 厦门 361005)

1 预备知识

设自然数n≥4,Xn={1,2,…,n},Tn是Xn上全变换之集,在变换的复合下作成一个半群.自20世纪60年代以来,对Tn及其子结构的研究一直是变换半群理论中较为活跃的课题[1 -17].而要有效地对Tn及其子结构展开研究,离不开一类重要的等价关系——格林关系.

设S是半群,则下列5个关系

L={(a,b):a,b∈S,S1a=S1b},

R={(a,b):a,b∈S,aS1=bS1},

J={(a,b):a,b∈S,S1aS1=S1bS1},

D=L○R=R○L,

H=L∩R,

统称为半群S上的格林关系,这里○表示S上的二元关系的复合运算.

设α∈Tn,若∃x∈Xn1},使得xα=1α,则称α为1-奇异变换.Xn上所有1-奇异变换构成的集合,关于变换的复合运算构成Tn的子半群,记作Tn(1).它是Tn的一类新的正则右理想.本文给出了Tn(1)上的格林关系的等价描述,为Tn(1)的后续研究奠定了重要的基石.

文中未定义的术语参见文献[18].

2 R与L

这一部分给出Tn(1)上的格林关系R与L的等价刻画.为方便叙述,设α∈Tn(1),通常用im(α),|im(α)|以及ker(α)分别表示α的象集,α的象集中元素的个数以及等价关系α-1○α={(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα}.又若|im(α)|=r,1≤r≤n-1,则α可以表示为

这里,Xn关于等价关系ker(α)的商集Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α之下的象为ai,i=1,2,…,r.

关于Tn(1)上的格林关系R有

定理1设α,β∈Tn(1),则αRβ⟺ker(α)=ker(β).

证明(⟹)设α,β∈Tn(1),若αRβ,则存在γ,δ∈(Tn(1))1使得α=βγ,β=αδ.于是对任意(x,y)∈ker(α),由xβ=x(αδ)=(xα)δ=(yα)δ=y(αδ)=yβ,知ker(α)⊆ker(β).同理可证ker(β)⊆ker(α),故ker(α)=ker(β)成立.

(⟸)若ker(α)=ker(β),则α,β可分别表示为

其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α)=ker(β)的商集Xn/ker(α)=Xn/ker(β)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α,β之下的象分别为ai,bi(i=1,2,…,r).以下分4种情况讨论

情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).

此时,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:

则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

情形2 1∈im(β)im(α).

不失一般性设1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:

则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

情形3 1∈im(α)im(β).

不失一般性设1=ar,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:

则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

情形4 1∈im(β)∩im(α).

不失一般性设1=ar,1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定义γ,δ如下:

则γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

关于Tn(1)上的格林关系L有

定理2设α,β∈Tn(1),则αLβ⟺im(α)=im(β).

证明(⟹) 设α,β∈Tn(1),若αLβ,则存在μ,υ∈(Tn(1))1使得α=μβ,β=υα.一方面im(α)=im(μβ)⊆im(β),另一方面im(β)=im(υα)⊆im(α),所以im(α)=im(β);

(⟸) 若im(α)=im(β),则α,β可分别表示为

其中,|im(α) |=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α),ker(β)的商集分别为Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象为ai,Bi在β之下的象为bi(i=1,2,…,r).

接下去,分别取定pi∈Bi,qi∈Ai(i=1,2,…,r),并定义μ,δ如下:

则μ,υ∈(Tn(1))1且α=μβ,β=υα,得αLβ.

3 D,H与J

关于Tn(1)上的格林关系D有

定理3设α,β∈Tn(1),则αDβ⟺|im(α)|=|im(β)|.

证明(⟹) 设α,β∈Tn(1),若αDβ,则存在γ∈(Tn(1))1,使得αLγRβ.由定理1,得ker(β)=ker(γ);由定理2,得im(α)=im(γ).于是|im(α)|=|im(γ)|=|Xn/ker(γ)|=|Xn/ker(β)|=|im(β)|.

(⟸) 若|im(α)|=|im(β)|,则α,β可分别表示为

其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α),ker(β)的商集分别为Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象为ai,Bi在β之下的象为bi(i=1,2,…,r).

令

则γ∈(Tn(1))1,由定理1与定理2,得αLγRβ,即αDβ.

关于Tn(1)上的格林关系J有

定理4设α,β∈Tn(1),则αJβ⟺|im(α)|=|im(β)|.

证明(⟹) 设α,β∈Tn(1),若αJβ,则存在γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1,使得γαρ=β,δβθ=α.于是,由|im(α)|=|im(δβθ)|≤|im(β)|=|im(γαρ)|≤|im(α)|,得|im(α)|=|im(β)|.

(⟸) 若|im(α)|=|im(β)|,设α,β可分别表示为

其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn关于等价关系ker(α),ker(β)的商集分别为Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象为ai,Bi在β之下的象为bi(i=1,2,…,r).

以下分4种情况讨论

情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).

此时,记Y1=Xna1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

情形2 1∈im(β)im(α).

不失一般性设1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r,令

则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

情形3 1∈im(α)im(β).

不失一般性设1=αr,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

情形4 1∈im(β)∩im(α).

不失一般性设1=ar,1=br,记Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

则γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

最后,结合定理1、定理2、定理3与定理4,立即有如下的推论.

推论设α,β∈Tn(1),则

(1)αHβ⟺ker(α)=ker(β),im(α)=im(β).

(2)D=J.