基于共轭梯度法的航天发动机典型管路载荷重构方法研究

田淑侠,张朋,郝冉,李广棵,何文斌

（郑州轻工业大学机电工程学院,河南 郑州 450002）

航天发动机中管路是用来为发动机输送燃油、润滑油、液压油等各种介质,具有空间结构复杂、传输介质种类较多、工作环境复杂等特性[1].随着人们对结构轻量化、高强度的不断追求,发动机内部各种管路的设计方案中薄壁结构的相关应用越来越多,而这些薄壁管路结构大多服役于力、热、振动、噪声等多种恶劣环境中[2].由于管路轻量化的追求,发动机在运行状态下的约束状况和管路所受载荷信息情况越来越被重视, 传统的基于结构前期设计理论预估发动机所受载荷大小的方法已经无法满足现代航天工程需求.人们在工程实践中需要尽可能考虑振动载荷对发动机管路薄壁结构的影响,依据载荷信息对管路结构进行健康监测[3]、动态响应分析[4]、可靠性分析[5].然而受限于载荷测量技术和结构的服役环境,很多情况下难以直接测量管路结构承受的载荷参数情况,因此要实现对复杂结构中的载荷大小进行测量,则需利用间接识别的方法对管路结构承受的载荷进行重构[6].

1 重构理论分析

载荷、结构与响应是振动问题的三个要素,根据待求解要素的不同,振动问题可以分为响应分析、系统辨识与载荷识别重构三种类型[7].载荷识别重构问题属于逆问题的一种,是在已知结构特性与振动响应信息的前提下,对振动系统的输入激励进行识别.结构所受载荷与位移响应是线性关系,而位移与应变也存在线性关系,因此载荷与应变是线性关系[8],用数学公式表达则如式（1）,式中[ε]为应变矩阵,[C]为相关性矩阵,[F]为载荷矩阵.

航天发动机管路系统载荷重构可以转化为最优化问题, 选取一定载荷及约束条件下的有限元计算模拟参数与真实结构测量参数的残差函数作为优化问题的目标函数, 而管路系统载荷的重构问题可以等价为在参数可行域内寻找最优解使得目标函数极小的过程[9].

2 管路模型建立

航天发动机管路系统结构复杂,具有较多的细节特征[10],对其重构载荷参数,建立准确的三维模型成为首要问题.以航天发动机某典型管路为例,实际结构如图1-a 所示,根据管路结构特点,使用ANSYS APDL 参数化语言对其进行建模处理, 分别选用PIPE289 三节点直管单元和EBLOW290 三节点弯管单元对管路结构建立简化的有限元模型,并进行相应网格划分,网格大小为5 mm,整体单元数为377,节点数为755,最终建立该航天发动机管路结构有限元模型,如图1-b 所示.

图1 航天发动机管路实际结构与有限元模型Fig.1 Actual structure and finite element model of airspace engine pipeline

3 载荷重构逆问题算法

3.1 目标函数

航天发动机管路载荷重构问题是在测点响应已知的情况下反演载荷的大小, 以测点的应变响应仿真计算值和测量值之间的误差为目标函数[11],即

式（2）中:M 为参与计算的响应参数数量,一般来说测点数目多,可以提高重构的精度,c 为待求系统载荷的特征参数向量（应变响应参数）,Zmobs为实验测量信号特征参数,Zm（c）为有限元数值模拟计算所得信号的特征参数.

3.2 共轭梯度法

共轭梯度法的基本思想[12]是将共轭性与最速下降理论相结合,利用上一次搜索的方向与目标函数在当前迭代点的负梯度方向进行线性组合,从而构造一个新的搜索方向,不断利用目标函数的梯度方向逐步产生共轭方向来作为迭代搜索的方向进而计算模型的修正量.共轭梯度法只需要利用目标函数的一阶导数信息即梯度, 因此不需要类似牛顿法对矩阵进行计算、存储.本文使用PRP（Polak-Ribière-Polyak）非线性共轭梯法,该法由Polak、Ribière[13]和Polyak[14]在1969 年提出,具体形式如下

当β 选取方法不同时,会产生其他不同形式的共轭梯度法[15],对于式（2）中所示的目标函数的无约束优化问题,共轭梯度法的收敛方向如式（6）和式（7）所示

式（6）（7）中:{d}n为搜索迭代方向,{∂ε/∂c}n为目标函数梯度方向,an为步长因子,βn-1为确定共轭梯度方向迭代加速的函数,其中βn-1可如式（8）计算

梯度方向的计算是共轭梯度法的核心,本文采用式（9）进行计算.式中振动参量对各结构载荷特征参数的偏导需采用式（10）的差分法进行计算,即对相应载荷进行微小扰动前后利用振动信号正演模型进行信号计算,然后通过差分近似计算梯度方向分量.

同样采用共轭梯度法确定收敛步长,计算方法如式（11）（12）（13）所示

4 数值算例

为验证所提出的共轭梯度法在航天发动机管路结构载荷重构中的可行性与有效性, 对管路结构进行数值模拟分析,根据管路上应变测点的局部振动响应进行了多种载荷参数的反演,包括冷车时受到连接部位预紧力等静载荷、热车工作时受到的简谐激励、随机激励等.

4.1 静载荷重构

航天发动机在冷车状态下,管路由于连接位置的预紧力、管夹的约束,会出现受到静载荷作用的情况,虽然这种状态会在工作时被简谐激励取代,但仍需对管路受到的静载荷作用进行分析,确保管路不会在静载荷作用下发生破坏.数值仿真分析中,在图2 所示位置处施加静载荷F,分别在靠近管路左端管夹位置105.00 mm、右管夹左侧距离265.00 mm 处、右管夹右侧距离管夹处185.00 mm 处外表面各布置3个轴向应变测点.在静力学仿真分析中分别得到在20 N、40 N、80 N 静力加载下3 个应变测点处6 个应变数据,如表1 所示,将6 个应变信号数据作为重构静载荷的特征参量,根据管路工作实际情况引入5%误差,分别进行静载荷重构,结果见表2.

表1 典型管路静力载荷下应变值Tab.1 Strain values of typical pipes under static load

表2 管路静载荷幅值重构结果Tab.2 Pipe static load amplitude reconstruction results

图2 典型管路静力加载示意图Fig.2 Static loading diagram of a typical pipe

由表2 载荷幅值重构结果可以看出,对于简单受力状态的情况,根据应变特征参数使用共轭梯度法可以对静载荷幅值进行识别重构,最大误差为0.06%.对于引入5%随机误差,重构误差增大至3.94%,整体来说该算法对静载荷幅值重构表现出较高的准确性.

4.2 简谐激励重构

对管路结构进行单个正弦激励重构,管路边界约束条件为两端管口部位固定约束,在管路中部两个抱箍管夹位置分别使用径向两个方向的弹簧单元模拟管夹约束,弹簧刚度系数为1.00×104N·m/rad.如图3 所示,设定施加在管路径向的载荷大小为100 N、500 N、1 000 N,频率为30 Hz 的正弦激励载荷幅值作为待反演变量,管路中9 个位置轴向应变值数据作为特征参量进行重构.表3 分别给出了三组正弦激励幅值的重构结果,可以看出,通过谐响应仿真分析得到的9 个轴向应变值可以准确地将施加在管路中部的单一方向的简谐激励幅值重构出来,且最大误差仅为0.25%.对仿真计算结果施加5%的随机噪声,得到的重构结果误差将增大,最大误差值约为0.76%.

表3 典型管路单一简谐激励重构结果Tab.3 Single harmonic excitation reconstruction results of typical pipelines

图3 典型管路单一简谐加载示意图Fig.3 Simple harmonic loading diagram of a typical pipe

考虑到管路结构实际工作中所受的复杂激励情况,需对该管路进行多激励测试分析.本文对该管路结构同时受到两个方向简激励作用的情况进行激励载荷幅值的重构, 管路的约束方式与单一简谐激励幅值重构时相同.在图4 所示位置,同时施加两个方向上频率30 Hz 的简谐激励,并使用该管路中10 个位置的应变值作为重构激励幅值的特征参量,对施加在管路中部的激励进行同时重构,对应变参数施加5%的随机误差.从表4 中可以看出,通过谐响应仿真分析得到的10 个轴向应变值可以准确地将施加在管路中部的两个方向的简谐激励同时重构出来,最大误差仅为6.63%.因此本文所提出的基于共轭梯度法的载荷重构方法,可以很好地重构出复杂管路结构所受正弦激励的幅值,即使测试数据存在一定量的随机误差,对重构结果也不会造成太大影响.

表4 典型管路两个简谐激励重构Tab.4 Typical pipeline two harmonic excitation reconstruction

图4 典型管路两个简谐激励加载示意图Fig.4 Schematic diagram of two typical pipelines under harmonic excitation loading

航天发动机典型管路结构同时受到两个简谐激励作用时, 使用共轭梯度法可以较为准确地重构出载荷信息,同样将对管路同时受到四个简谐激励的情况进行模拟,具体加载工况为两端固支,在管路中部两个弹簧单元模拟管夹约束,弹簧刚度系数为1.00×104 N·m/rad,管路中同时施加四个频率为30 Hz 简谐激励,如图5 所示.得到四个激励重构结果,如表5 所示,相比于两个简谐激励同时重构时,重构误差稍微增大,最大误差为5.16%.

表5 4 个简谐激励同时重构Tab.5 Simultaneous reconstruction of four harmonic excitations

图5 典型管路4 个简谐激励加载示意图Fig.5 Schematic diagram of four simple harmonic excitation loading for typical pipelines

4.3 随机激励重构

随机振动分析主要是对已知的结构在某种统计规律的载荷激励作用下的系统响应.工程上随机振动的案例有很多,如地震波、航空航天中的压力脉动、航空发动机服役状态下受到的载荷、汽车在行驶途中的振动等,而这些振动特性用确定函数表示是难以进行说明的,对这类情况只能获得其概率密度的分布函数,例如功率谱密度（PSD）函数,结构所受的载荷幅值在时间领域上难以用明确的定量表示.在这种特殊情况下,则就要用随机振动理论进行求解[16].而在ANSYS 软件中,可以对系统输入已知载荷谱值,求得系统结构的响应功率谱密度（RPSD）、响应的均方根值（RMS）等信息.利用模态分析与功率谱相结合,计算系统的结构响应,从而可以得到结构的位移、速度、加速度等参量[17].

在本文所研究的航天发动机中,管路受到的大多数是来自连接部位的随机振动[18].在随机激励重构识别过程中,通过对随机振动分析中的中间参数进行积分、求导,将原本在时域内不确定的参量转换成确定的特征量.针对管路结构随机载荷重构而言,在管路左右管嘴处轴向施加单方向15～25 Hz 窄带随机激励,每个管口处施加XYZ 三个方向同时施加加速度随机激励,如图6 所示,依据共轭梯度法流程,对管路中的3 个方向上的6 个随机激励载荷分别重构, 在迭代过程中不断改变施加在管路中的力激励PSD 值,通过PSD 值的微小扰动,得到不同方向上输出应变响应参数的变化量,再对这些变量进行积分、求偏导,获得该方向的一个梯度值,通过算法不断对梯度进行调整,最终将不同方向上施加的PSD 值进行重构.

图6 典型管路随机激励加载示意图Fig.6 Schematic diagram of typical pipe loading under random excitation

设定施加在左右管嘴轴向的随机激励载荷PSD 值作为待反演变量, 管路8 个位置,24 个轴向应变值随机响应PSD 积分值,即随机响应均方值作为特征参量进行反演,具体对管路承受的随机激励重构结果如表6.

表6 随机激励力载荷重构结果（施加5%随机误差,单位:g2/Hz）Tab.6 Results of random excitation load reconstruction（5% random error applied,unit:g2/Hz）

由表6 中的两组随机激励PSD 值的反演结果,可以看出,通过仿真结果得到的24 个轴向应变值的功率谱密度可以很好地反演出施加在结构上的随机激励.对应变仿真结果施加5%的随机误差,反演结果误差增大,最大误差值约为4.15%,在工程误差允许范围内,因此对带有一定随机误差的仿真结果也能很好地反演出施加在结构上的随机激励.

5 结论

本文使用ANSYS APDL 对航天发动机典型管路结构进行参数化建模,可以实现建模、约束、加载求解等操作过程一体化.并基于所提出的共轭梯度法,根据管路结构正问题应变响应参数,以仿真计算得到的测点应变和测量应变的残差作为目标函数,实现对管路受到的载荷信息进行重构.

在对航天发动机典型管路进行静载荷重构时,根据6 个应变参数可以实现静载荷的识别重构,在对应变响应参数施加5%随机噪声的情况下仍可以准确重构出载荷幅值,最大误差仅为3.94%.对于简谐激励重构,分别验证了单一、两个、四个激励同时重构的情况,使用共轭梯度法均可准确重构出管路结构上所施加的激励信息,在测点响应信息存在一定量误差的情况下,重构误差均在5%左右.为了更好地模拟该管路在航天发动机中的激励情况,对管路中同时受到6 个随机激励进行同时重构,结果显示使用24个带有5%随机误差的应变响应值对管路中承受的随机激励进行重构,重构误差最大仅为4.15%,由此证明本文使用的共轭梯度法在该航天发动机典型管路载荷重构中具有较好的效果.